《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.2.1 椭圆的标准方程 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.2.1 椭圆的标准方程 Word版含解析.pdf（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2 椭 圆 椭 圆 2.2.1 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程 的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形 知识点一 椭圆的定义 1我们把平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫 做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距 2椭圆的定义用集合语言叙述为： PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2| 32a 与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件结论 2a|F1F2|动点的轨迹是椭圆 2a|F1F2|动点的轨迹是线段
2、 F1F2 2ab0) x2 a2 y2 b2 F1(c,0)，F2(c,0)2c 焦点在 y 轴上1(ab0) y2 a2 x2 b2 F1(0，c)，F2(0，c)2c 2椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中的位置 标准方程1(ab0) x2 a2 y2 b2 1(ab0) y2 a2 x2 b2 焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c) a，b，c 的关系b2a2c2 3.根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2项和 y2项的分母哪个更大一些，即 “谁大在谁上” 如方程为 1 的椭圆，
3、焦点在 y 轴上， 而且可求出焦点坐标 F1(0， 1)， y2 5 x2 4 F2(0,1)，焦距|F1F2|2. 1到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆( ) 2椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关( ) 3椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备 a2b2c2.( ) 题型一 椭圆定义的应用 例 1 点 P(3,0)是圆 C：x2y26x550 内一定点，动圆 M 与已知圆相内切且过 P 点， 判断圆心 M 的轨迹 解 方程 x2y26x550 化成标准形式为(x3)2y264，圆心为(3,0)，半径 r8.因为 动圆 M 与已知圆相内切且过 P 点，
4、所以|MC|MP|r8，根据椭圆的定义，动点 M 到两 定点 C，P 的距离之和为定值 86|CP|， 所以动点 M 的轨迹是椭圆 反思感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量 常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条 件 跟踪训练 1 下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上) 已知定点 F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2|的点 P 的轨迹为椭圆；2 已知定点 F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4 的点 P 的轨迹为线段； 到定点 F1
5、(3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆 答案 解析 b0) y2 a2 x2 b2 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以Error!所以Error! 所以所求的椭圆的标准方程为 x21. y2 4 (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上， 所以设它的标准方程为1(ab0)， y2 a2 x2 b2 由椭圆的定义知， 2a ( 3 2) 2(5 22) 2 ( 3 2) 2(5 22) 2 2，10 即 a，10 又 c2，所以 b2a2c26， 所以所求椭圆的标准方程为 1. y2 10 x2 6 (3)方法一 当椭圆焦点在 x 轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0) x2 a
6、2 y2 b2 依题意，有Error!解得Error! 由 ab0，知不合题意，故舍去； 当椭圆焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 1(ab0) y2 a2 x2 b2 依题意，有Error!解得Error! 所以所求椭圆的标准方程为 1. y2 1 4 x2 1 5 方法二 设椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，mn) 则Error!解得Error! 所以所求椭圆的方程为 5x24y21， 故椭圆的标准方程为 1. y2 1 4 x2 1 5 反思感悟 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程 (2)待定系数法 ： 先判断焦
7、点位置， 设出标准方程形式， 最后由条件确定待定系数即可 即 “先 定位，后定量” 当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类讨论，但要 注意 ab0 这一条件 (3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成 mx2ny21(m0，n0 且 mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的位置， 从而简化求解过程 跟踪训练 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(4,0)， F2(4,0)， 椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10 ； (2)椭圆过点(3,2)，(5,1)； (3)
8、椭圆的焦点在 x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1) 解 (1)设其标准方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 则 2a10，c4，故 b2a2c29， 所求椭圆的标准方程为 1. x2 25 y2 9 (2)设椭圆的一般方程为 Ax2By21(A0，B0，AB)， 则Error!解得Error! 故所求椭圆的标准方程为1. x2 91 3 y2 91 16 (3)设椭圆的标准方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 则Error!解得Error! 所求椭圆的标准方程为 y21. x2 4 题型三 椭圆中焦点三角形问题 例 3 (1)已知 P 是椭圆 1 上的一点，F1，F2是椭圆的
9、两个焦点，且F1PF230， y2 5 x2 4 求F1PF2的面积； (2)已知椭圆 1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上若|PF1|4，求F1PF2的大小 x2 9 y2 2 解 (1)由椭圆的标准方程，知 a，b2，5 c1，|F1F2|2.a2b2 又由椭圆的定义，知|PF1|PF2|2a2 . 5 在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2， 即 4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30， 即 420(2)|PF1|PF2|，3 |PF1|PF2|16(2)3 |PF1|PF2|s
10、inF1PF2 12 F PF S 1 2 16(2) 84. 1 2 3 1 2 3 (2)由 1，知 a3，b，c， x2 9 y2 2 27 |PF2|2a|PF1|2， cosF1PF2 ， |PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| 1 2 又0F1PF2180， F1PF2120. 反思感悟 在椭圆中， 当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时， 这个点与椭圆的两个 焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形这个三角形中一条边长等于焦距， 另两条边长之和等于椭圆定义中的常数 在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|MF2|2a 及三角形中的
11、有关 定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解 跟踪训练 3 已知两定点 F1(1,0)，F2(1,0)，动点 P 满足|PF1|PF2|2|F1F2|. (1)求点 P 的轨迹方程； (2)若F1PF260，求PF1F2的面积 解 (1)依题意知|F1F2|2， |PF1|PF2|2|F1F2|42|F1F2|， 点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆， 且 2a4,2c2，a2，c1，b，3 故所求点 P 的轨迹方程为 1. x2 4 y2 3 (2)设 m|PF1|，n|PF2|，则 mn2a4. 在PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2m2n22mncosF
12、1PF2， 4(mn)22mn(1cos 60)，解得 mn4. mnsinF1PF2 4sin 60. 1 2 PF F S 1 2 1 2 3 待定系数法求椭圆的标准方程 典例 求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，)和的椭圆的标准方程2 (1， 14 2) 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 方法一 若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 1(ab0) x2 a2 y2 b2 由已知条件得Error! 解得Error! 所以所求椭圆的标准方程为 1. x2 8 y2 4 若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0) y2 a2 x2 b2 由已知条件得Err
13、or! 解得Error! 则 a2b0 矛盾，舍去 综上可知，所求椭圆的标准方程为 1. x2 8 y2 4 方法二 设椭圆的一般方程为 Ax2By21(A0，B0，AB) 分别将两点的坐标(2，)，代入椭圆的一般方程，2 (1， 14 2) 得Error!解得Error! 所以所求椭圆的标准方程为 1. x2 8 y2 4 素养评析 通过两种解法的对比，采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题过程，减少数 学运算，提高解题效率这也正是数学运算策略升级的有力佐证. 1椭圆y21 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的距离为( ) x2 25 A5 B6 C7 D8 考点 椭圆
14、的标准方程 题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距 答案 D 解析 设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，|PF1|2. 结合椭圆定义|PF2|PF1|10，故|PF2|8. 2平面内，F1，F2是两个定点，“动点 M 满足|为常数”是“M 的轨迹是椭圆”MF1 MF2 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 考点 与椭圆有关的轨迹方程 题点 圆与椭圆 答案 B 解析 当|为常数且|时，M 的轨迹才是椭圆MF1 MF2 MF1 MF2 F1F2 3若方程 3x2ky21 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的可能取值为( ) A1 B3 C0 D2 答案
15、A 解析 当 k1 时， 原方程可化为 1， 它表示焦点在 y 轴上的椭圆， 其他选项不合题意 y2 1 x2 1 3 4已知椭圆的焦点坐标为(1,0)和(1,0)，点 P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A. 1 B. y21 x2 4 y2 3 x2 4 C. 1 D. x21 y2 4 x2 3 y2 4 答案 A 解析 c1，a ()2，b2a2c23， 1 2 21202120 椭圆的方程为 1. x2 4 y2 3 5设 F1，F2是椭圆 1 的焦点，P 为椭圆上一点，则PF1F2的周长为_ x2 25 y2 9 答案 18 解析 PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F
16、2|2a2c.因为 2a10，c4，所以周259 长为 10818. 1椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)在解题过程中将|PF1|PF2|看成一个整体， 可简化运算 2 椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数， 因而在解决问题时， 若出现 “两定点” 、 “距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决 3凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|MF2|2a(M 为椭圆 上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标 M(x0，y0)是否 适合椭圆的方程，然后再进行代数运算. 一、选择题 1椭圆1 的焦
17、距为 4，则 m 等于( ) x2 10m y2 m2 A4 B8 C4 或 8 D12 答案 C 解析 当焦点在 x 轴上时，10mm20， 10m(m2)4，m4. 当焦点在 y 轴上时，m210m0， m2(10m)4，m8. m4 或 8. 2已知椭圆 5x2ky25 的一个焦点坐标是(0,2)，那么 k 的值为( ) A1 B1 C. D55 答案 B 解析 原方程可化简为 x2 1，由 c2 14，得 k1. y2 5 k 5 k 3已知椭圆 1 的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) x2 a2 y2 2 A. 1 B. 1 x2 4 y2 2 x2 3 y2 2 Cx2
18、1 D. 1 y2 2 x2 6 y2 2 答案 D 解析 由题意知 a224，a26， 所求椭圆的方程为 1. x2 6 y2 2 4“1b0) x2 a2 y2 b2 设焦点 F1(c,0)，F2(c,0)(c0) F1AF2A, 0，F1A F2A 而(4c,3)，(4c,3)，F1A F2A (4c)(4c)320， c225，即 c5. F1(5,0)，F2(5,0) 2a|AF1|AF2|4.4523245232109010 a2，10 b2a2c2(2)25215.10 所求椭圆的标准方程为1. x2 40 y2 15 14已知椭圆 E：1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点
19、 F 的直线交椭圆于 A，B 两 x2 a2 y2 b2 点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为_ 答案 1 x2 18 y2 9 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入椭圆方程得Error! 相减得0， x2 1x2 2 a2 y2 1y2 2 b2 所以0. x1x2 a2 y1y2 x1x2 y1y2 b2 因为 x1x22，y1y22， kAB . y1y2 x1x2 10 13 1 2 所以 0， 2 a2 1 2 2 b2 化为 a22b2，又 c3，解得 a218，b29.a2b2 所以椭圆 E 的方程为 1. x2 18 y2 9 15.如图所示，A
20、BC 的底边 BC12，其他两边 AB 和 AC 上中线的和为 30，求此三角形重 心 G 的轨迹方程，并求顶点 A 的轨迹方程 解 以 BC 边所在直线为 x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 B(6,0)，C(6,0)，CE，BD 为 AB，AC 边上的中线， 则|BD|CE|30. 由重心性质可知，|GB|GC| (|BD|CE|)20. 2 3 B，C 是两个定点，G 点到 B，C 的距离和等于定值 20，且 2012， G 点的轨迹是椭圆，B，C 是椭圆焦点， 2c|BC|12，c6,2a20， a10，b2a2c21026264， 故 G 点的轨迹方程为1(x10) x2 100 y2 64 设 G(x，y)，A(x，y)， 则有1. x2 100 y2 64 由重心坐标公式知Error! 故 A 点轨迹方程为1， ( x 3) 2 100 ( y 3) 2 64 即1(x30). x2 900 y2 576