2020版数学人教B版选修2-1：阶段训练六 Word版含解析.pdf

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1、阶段训练六阶段训练六(范围：范围：3.13.2) 一、选择题 1 (2018上海市奉贤区模拟)若直线l的一个方向向量为d(6,2,3)， 平面的一个法向量为n (1,3,0)，则直线 l 与平面 的位置关系是( ) A垂直 B平行 C直线 l 在平面 内 D直线 l 在平面 内或平行 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面平行 答案 D 解析 dn62300，dn，直线 l 与平面 的位置关系是直线 l 在平面 内或平行 2设直线 l 的方向向量为 u(2,2，t)，平面 的法向量为 v(6，6,12)，若直线 l平 面 ，则实数 t 等于( ) A4 B4 C2 D2 考

2、点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 答案 B 解析 由题意得，uv，即 t4. 2 6 t 12 3已知直线 l1的一个方向向量 a(2,4，x)，直线 l2的一个方向向量 b(2，y,2)，若|a|6， 且 l1l2，则 xy 的值是( ) A3 或 1 B3 或1 C3 D1 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 答案 A 解析 |a|6，x4.2242x2 l1l2，ab44y2x0， 即 y1 . x 2 xy 11 或3. x 2 4 四棱锥PABCD中， 底面ABCD是平行四边形，(2， 1， 4)，(4,2,0)，(AB AD

3、AP 1,2，1)，则直线 PA 与底面 ABCD 的关系是( ) A成 30角 B垂直 C成 45角 D成 60角 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 答案 B 解析 设平面 ABCD 的法向量为 n(x，y，z)，则Error!Error!即Error!Error! 令 x1，则 y2，z1， 平面 ABCD 的一个法向量为 n(1，2,1)，而n，AP PA平面 ABCD，故选 B. 5在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则 这个二面角的余弦值为( ) A. B 15 6 5 6 C. D.或 15 3 15

4、 6 15 6 考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 答案 D 解析 ， 0，1，32，2，4 194416 15 6 这个二面角的余弦值为或. 15 6 15 6 6.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线 BC1 与直线 AB1夹角的余弦值为( ) A. B. 5 5 5 3 C. D. 25 5 3 5 考点 向量法求解直线与直线所成的角 题点 向量法求解直线与直线所成的角 答案 A 解析 不妨设 CB1， 则 CACC12， 由题中图知， A(2， 0,0)， B(0,0,1)， B1(0,2,1)， C1(0

5、,2,0)， 所以(0,2，1)，(2,2,1)，所以cos，BC1 AB1 BC1 AB1 . 0 22 21 1 35 5 5 7 已知在长方体 ABCDA1B1C1D1中， ABBC1， AA12， E 是侧棱 BB1的中点， 则直线 AE 与平面 A1ED1所成角的大小为( ) A60 B90 C45 D以上都不对 考点 向量法求解直线与平面所成的角 题点 向量法求解直线与平面所成的角 答案 B 解析 以点 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系，如图 由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0

6、,0)， 所以(0,1，1)，A1E (1,1，1)，D1E (0，1，1)EA 设平面 A1ED1的一个法向量为 n(x，y，z)， 则Error!Error!得Error!Error! 令 z1，得 y1，x0，所以 n(0,1,1)， cosn， 1，EA nEA |n|EA | 2 2 2 所以n， 180.EA 所以直线 AE 与平面 A1ED1所成的角为 90. 二、填空题 8设平面 ， 的一个法向量分别为 u(1,2，2)，v(3，6,6)，则 ， 的位置关系 为_ 考点 向量求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面平行 答案 平行 解析 v3(1,2，2)3u，. 9(2

7、018广安期末)已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，AB BC AB BC BP 且平面 ABC，则_.BP BP 考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 答案 (33 7 ，15 7 ，3) 解析 ，0，352z0，z4.AB BC AB BC (x1，y，3)，且平面 ABC，BP BP Error!Error!即Error!Error! 解得Error!Error!故.BP ( 33 7 ，15 7 ，3) 10直线 l 的方向向量 a(2,3,2)，平面 的一个法向量 n(4,0,1)，则直线 l 与平面 所成 角的正弦值为_ 考点 向量法

8、求解直线与平面所成的角 题点 向量法求解直线与平面所成的角 答案 6 17 解析 直线 l 与平面 所成角的正弦值为|cosn，a|. |2 43 02 1| 17 17 6 17 11已知平面 的一个法向量为 n(1，1,0)，点 A(2,6,3)在平面 内，则点 D(1,6,2)到平 面 的距离为_ 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 3 2 2 解析 (3,0，1)，AD 点 D(1,6,2)到平面 的距离 d. |AD n| |n| 3 2 32 2 三、解答题 12.如图， 在五面体 ABCDEF 中， FA平面 ABCD， ADBCFE， ABAD， M 为

9、 EC 的中点， AF ABBCFE AD. 1 2 (1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小； (2)证明：平面 AMD平面 CDE； (3)求二面角 ACDE 的余弦值 考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 (1)解 如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点，射线 AB，AD，AF 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 设 AB1，依题意得 B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M. ( 1 2，1， 1 2) (1,0,1)，(0，1,1)，BF DE 于是 cos， .BF DE BF

10、 DE |BF |DE | 001 2 2 1 2 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60. (2)证明 由，(1,0,1)，AM ( 1 2，1， 1 2) CE (0,2,0)，可得0，0.AD CE AM CE AD 因此，CEAM，CEAD. 又 AMADA，故 CE平面 AMD. 而 CE平面 CDE， 所以平面 AMD平面 CDE. (3)解 设平面 CDE 的法向量为 u(x，y，z)， 则Error!Error!即Error!Error! 令 x1，可得 y1，z1，即 u(1,1,1) 又由题设知，平面 ACD 的一个法向量为 v(0,0,1) 所以 cosu，

11、v. uv |u|v| 001 3 1 3 3 因为二面角 ACDE 为锐角， 所以其余弦值为. 3 3 13.如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAPCDP90. (1)证明：平面 PAB平面 PAD； (2)若 PAPDABDC，APD90，求二面角 APBC 的余弦值 考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 (1)证明 由已知BAPCDP90，得 ABAP，CDPD， 因为 ABCD，所以 ABPD. 又 APDPP，所以 AB平面 PAD. 因为 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD. (2)解 在平面 PAD 内作 PFAD，垂足为点

12、F. 由(1)可知，AB平面 PAD，故 ABPF，可得 PF平面 ABCD. 以点 F 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标FA AB 系 Fxyz. 由(1)及已知可得 A，P，B，C， ( 2 2 ，0，0) (0，0， 2 2) ( 2 2 ，1，0) ( 2 2 ，1，0) 所以，(，0,0)，PC ( 2 2 ，1， 2 2) CB 2 ，(0,1,0)PA ( 2 2 ，0， 2 2) AB 设 n(x1，y1，z1)是平面 PCB 的一个法向量，则 Error!Error!即Error!Error! 所以可取 n(0，1，)2 设 m(x2

13、，y2，z2)是平面 PAB 的一个法向量，则 Error!Error!即Error!Error! 所以可取 m(1,0,1)， 则 cos n，m. nm |n|m| 2 3 2 3 3 又二面角 APBC 的平面角为钝角 所以二面角 APBC 的余弦值为. 3 3 14.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是( ) ABD平面 CB1D1 BAC1BD CAC1平面 CB1D1 D向量与的夹角为 60AD CB1 考点 向量法求解直线与直线所成的角 题点 向量法求解直线与直线所成的角 答案 D 解析 以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴

14、，z 轴建立空间直角坐标系(图 略)，不妨设正方体的棱长为 1， 则有 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)， 所以(1,0,0)，(1， 1,0)，(1,1,1)，(0， 1,1)，(1， 1,0)，AD BD AC1 CD1 B1D1 (1,0,1)，对于选项 A，由知结论正确 ； 对于选项 B，由0 知结论正确 ；CB1 B1D1 BD AC1 BD 对于选项 C，由0，0，且 B1D1CB1B1，知结论正确；对于选项 D，AC1 B1D1 AC1 CB1 由 cos，知结论

15、不正确AD CB1 AD CB1 |AD |CB1 | 2 2 15(2018全国)如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2，PAPBPCAC4，O2 为 AC 的中点 (1)证明：PO平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 考点 向量法求解直线与平面所成的角 题点 向量法求解直线与平面所成的角 (1)证明 因为 PAPCAC4， O 为 AC 的中点， 所以 OPAC，且 OP2 . 3 如图，连接 OB. 因为 ABBCAC， 2 2 所以ABC 为等腰直角三角形， 所以 OBAC，OB AC2. 1 2 由

16、OP2OB2PB2知 POOB. 因为 OPOB，OPAC，OBACO，OB，AC平面 ABC， 所以 PO平面 ABC. (2)解 由(1)知 OP，OB，OC 两两垂直，则以 O 为坐标原点，分别以 OB，OC，OP 所在直 线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示 由已知得 O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，(0,2,2)3AP 3 由(1)知平面 PAC 的一个法向量为(2,0,0)OB 设 M(a,2a,0)(0a2)，则(a,4a,0)AM 设平面 PAM 的法向量为 n(x，y，z) 由n0，n0，得AP AM Error!Error!可取 ya，得平面 PAM 的一个法向量为 n(a4)，a，a)，333 所以 cos，n.OB 23a4 23a423a2a2 由已知可得|cos，n|cos 30，OB 3 2 所以， 23|a4| 23a423a2a2 3 2 解得 a4(舍去)或 a . 4 3 所以 n. ( 83 3 ，4 3 3 ，4 3) 又(0,2，2)，所以 cos，n.PC 3PC 3 4 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为. 3 4