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1、考点测试 50 抛物线考点测试 50 抛物线 高考概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为 5 分或 12 分， 中、高等难度 考纲研读 1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离 心率) 2理解数形结合的思想 3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用 一、基础小题 1抛物线yx2的准线方程是( ) 1 4 Ay1 By2 Cx1 Dx2 答案 A 解析 依题意，抛物线x24y的准线方程是y1，故选 A 2 设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是 4， 则点P到该抛物线准线的距离为( ) A4 B6 C8 D12 答案 B 解析
2、依题意得，抛物线y28x的准线方程是x2，因此点P到该抛物线准线的距 离为 426，故选 B 3到定点A(2，0)与定直线l：x2 的距离相等的点的轨迹方程为( ) Ay28x By28x Cx28y Dx28y 答案 A 解析 由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p4，焦点在x轴正半轴上，故选 A 4若抛物线y22px(p0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的 3 倍，2 则p等于( ) A B1 C D2 1 2 3 2 答案 D 解析 由题意 3x0x0 ，x0 ，则2，p0，p2，故选 D p 2 p 4 p2 2 5过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，
3、B(x2，y2)两点，若x1x26， 则|AB|等于( ) A4 B6 C8 D10 答案 C 解析 由抛物线y24x得p2，由抛物线定义可得|AB|x11x21x1x22， 又因为x1x26，所以|AB|8，故选 C 6若抛物线y4x2上一点到直线y4x5 的距离最短，则该点为( ) A(1，2) B(0，0) C，1 D(1，4) 1 2 答案 C 解析 解法一：根据题意，直线y4x5 必然与抛物线y4x2相离，抛物线上到直线 的最短距离的点就是与直线y4x5 平行的抛物线的切线的切点由y8x4 得x ， 1 2 故抛物线的斜率为 4 的切线的切点坐标是 ，1，该点到直线y4x5 的距离最
4、短故选 C 1 2 解法二 ： 抛物线上的点(x，y)到直线y4x5 的距离是d |4xy5| 17 |4x4x25| 17 ，显然当x 时，d取得最小值，此时y1故选 C 4x1 2 24 17 1 2 7 已知动圆过点(1， 0)， 且与直线x1 相切， 则动圆的圆心的轨迹方程为_ 答案 y24x 解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x1 的距 离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x 8已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且 满足|NF|MN|，则NMF_ 3 2 答案 6 解析 过N作准线的垂线，
5、垂足是P，则有|PN|NF|，|PN|MN|，NMF 3 2 MNP又 cosMNP，MNP，即NMF 3 2 6 6 二、高考小题 9(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为 的直线 2 3 与C交于M，N两点，则( )FM FN A5 B6 C7 D8 答案 D 解析 根据题意，过点(2，0)且斜率为 的直线方程为y (x2)，与抛物线方程联 2 3 2 3 立Error!Error!消去x并整理， 得y26y80， 解得M(1， 2)，N(4， 4)， 又F(1， 0)， 所以(0， 2)，FM (3，4)，从而可以求得03248，故选 DFN FM FN
6、 10 (2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点， 过F作两条互相垂直的直线l1， l2， 直线l1与C交于A，B两点， 直线l2与C交于D，E两点， 则|AB|DE|的最小值为( ) A16 B14 C12 D10 答案 A 解析 因为F为y24x的焦点，所以F(1，0) 由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为 0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为 ，故 1 k 直线l1，l2的方程分别为yk(x1)， y (x1) 1 k 由Error!Error!得k2x2(2k24)xk20 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2，x1x21， 2k24 k2 所以|AB|x1
7、x2|1k2 1k2x1x224x1x2 1k2 2k24 k2 24 41k2 k2 同理可得|DE|4(1k2) 所以|AB|DE|4(1k2)411k284k284216， 41k2 k2 1 k2 1 k2 当且仅当k2，即k1 时，取得等号故选 A 1 k2 11(2018全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k 的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_ 答案 2 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error!Error! 所以yy4x14x2， 2 12 2 所以k y1y2 x1x2 4 y1y2 取AB的中点M(x0，y0)， 分别过
8、点A，B作准线x1 的垂线， 垂足分别为A， B 因为AMB90，所以|MM| |AB| (|AF|BF|) (|AA|BB|) 1 2 1 2 1 2 因为M为AB的中点，所以MM平行于x轴 因为M(1，1)，所以y01，则y1y22，所以k2 12(2018北京高考)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴若l被抛物线y24ax截 得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_ 答案 (1，0) 解析 由题意得a0，设直线l与抛物线的两交点分别为A，B，不妨令A在B的上方， 则A(1，2)，B(1，2)，故|AB|44，得a1，故抛物线方程为y24x，其焦aaa 点坐标为(1，0) 13(2017天
9、津高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l已知点C在l上，以C 为 圆 心 的 圆 与y轴 的 正 半 轴 相 切 于 点A 若 FAC 120， 则 圆 的 方 程 为 _ 答案 (x1)2(y)213 解析 由y24x可得点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x1 由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为1，圆的半 径为 1，CAO90 又因为FAC120，所以OAF30，所以|OA|，所以点C的纵坐标为33 所以圆的方程为(x1)2(y)213 三、模拟小题 14(2018沈阳监测)抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是( ) A(0，a) B(a，0) C D
10、 (0， 1 16a) ( 1 16a，0) 答案 C 解析 将y4ax2(a0)化为标准方程得x2y(a0)，所以焦点坐标为， 1 4a (0， 1 16a) 故选 C 15 (2018太原三模)已知抛物线y24x的焦点为F， 准线为l，P是l上一点， 直线PF 与抛物线交于M，N两点，若3，则|MN|( )PF MF A B8 C16 D 16 3 83 3 答案 A 解析 由题意F(1，0)，设直线PF的方程为yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)因为 准线方程为x1， 所以得P(1， 2k) 所以(2， 2k)，(1x1， y1)， 因为3PF MF PF ， 所以 23(1
11、x1)， 解得x1 把yk(x1)代入y24x， 得k2x2(2k24)xk20，MF 1 3 所以x1x21，所以x23，从而得|MN|MF|NF|(x11)(x21)x1x2216 3 故选 A 16(2018豫南九校联考)已知点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影 是点Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|PQ|的最小值为( ) A7 B8 C9 D10 答案 C 解析 延长PQ与准线交于M点，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y1，根据 抛物线的定义知，|PF|PM|PQ|1|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF| 1|AF|111019 当且仅当A，P，F三点共线时，
12、 等号成立， 则|PA|82712 |PQ|的最小值为 9故选 C 17(2018青岛质检)已知点A是抛物线C：x22py(p0)的对称轴与准线的交点， 过点A作抛物线C的两条切线， 切点分别为P，Q， 若APQ的面积为 4， 则实数p的值为( ) A B1 C D2 1 2 3 2 答案 D 解析 解法一 ： 设过点A且与抛物线C相切的直线为ykx 由Error!Error!得x22pkxp2 p 2 0由 4p2k24p20，得k1，所以得点Pp， p 2 Qp，所以APQ的面积为S 2pp4，解得p2故选 D p 2 1 2 解法二：如图，设点P(x1，y1)， Q(x2，y2) 由题意
13、得点A0， yx2， 求导得yx， 所以切线PA的方程为yy1 p 2 1 2p 1 p x1(xx1)，即yx1xx，切线PB的方程为yy2x2(xx2)，即yx2xx， 1 p 1 p 1 2p 2 1 1 p 1 p 1 2p 2 2 代入A0， ，得点Pp，Qp，所以APQ的面积为S 2pp4，解得p2故 p 2 p 2 p 2 1 2 选 D 18 (2018沈阳质检一)已知抛物线y24x的一条弦AB恰好以P(1， 1)为中点， 则弦AB 所在直线的方程是_ 答案 2xy10 解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由A，B都在抛物线上， 可得Error!Error!作差得(
14、y1y2)(y1 y2)4(x1x2) 因为AB中点为P(1， 1)， 所以y1y22， 则有 24， 所以kAB y1y2 x1x2 y1y2 x1x2 2，从而直线AB的方程为y12(x1)，即 2xy10 一、高考大题 1(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2，0)，B(2，0)，过点A的直线l 与C交于M，N两点 (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：ABMABN 解 (1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2，2)或(2，2) 所以直线BM的方程为yx1 或yx1 1 2 1 2 (2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所
15、以ABMABN 当直线l与x轴不垂直时， 设直线l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x10，x20 由Error!Error!得ky22y4k0，可知y1y2 ，y1y24 2 k 直线BM，BN的斜率之和为 kBMkBN y1 x12 y2 x22 x2y1x1y2 2 y1y2 x1 2 x2 2 将x12，x22 及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得 y1 k y2 k x2y1x1y22(y1y2)2y 1y24ky1y2 k 0所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN 88 k 综上，ABMABN 2(2018浙江高
16、考)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x 上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上 (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x21(x0， 解得kb0)， x2 a2 y2 b2 把点(2，0)，代入可得a24，b21，2 2 2 所以椭圆C1的标准方程为y21 x2 4 (2)由抛物线的标准方程可得C2的焦点F(1，0)， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1 直线l交椭圆C1于点M1，N1， 3 2 3 2 0，不满足题意OM ON 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，并设点M(x1，y1)，N(x2，y2)
17、由Error!Error!消去y，得(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2， 8k2 14k2 x1x2， 4 k2 1 14k2 则y1y2k(x1 1)k(x2 1)k2x1x2 (x1x2) 1k2 1 4 k2 1 14k2 8k2 14k2 3k2 14k2 由得x1x2y1y20 OM ON 将代入式，得0， 4 k2 1 14k2 3k2 14k2 k24 14k2 解得k2，所以存在直线l满足条件，且l的方程为 2xy20 或 2xy20 6 (2018石家庄质检二)已知圆C： (xa)2(yb)2 的圆心C在抛物线x22py(p 9 4 0)上，圆C过原点且与抛
18、物线的准线相切 (1)求该抛物线的方程； (2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在A，B处作抛物线的两条切 线交于点P，求PAB面积的最小值及此时直线l的方程 解 (1)由已知可得圆心C(a，b)，半径r ，焦点F0，准线y ，因为圆C与抛 3 2 p 2 p 2 物线F的准线相切，所以b 3 2 p 2 又因为圆C过原点，且圆C过焦点F，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，即b ，所以 ，解得p2， p 4 3 2 p 2 p 4 所以抛物线的方程为x24y (2)易得焦点F(0，1)，直线l的斜率必存在，设为k，即直线l的方程为ykx1， 设A(x1，y1)，B(x2，y
19、2) 由Error!Error!得x24kx40，0， 所以x1x24k，x1x24， 对y求导得y ，即kAP x2 4 x 2 x1 2 直线AP的方程为yy1(xx1)， x1 2 即yxx， x1 2 1 4 2 1 同理得直线BP的方程为yxx x2 2 1 4 2 2 设点P(x0，y0)，联立直线AP与BP的方程， 解得Error!Error!即P(2k，1)， 所以|AB|x1x2|4(1k2)，1k2 点P到直线AB的距离d2， |2k22| 1k2 1k2 所以PAB的面积S 4(1k2)24(1k2) 4， 1 2 1k2 3 2 当且仅当k0 时取等号 综上，PAB面积的最小值为 4，此时直线l的方程为y1