《2020高考数学刷题首秧第二章函数导数及其应用考点测试13函数模型及其应用文含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考数学刷题首秧第二章函数导数及其应用考点测试13函数模型及其应用文含解析.pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、考点测试 13 函数模型及其应用考点测试 13 函数模型及其应用 高考概览 高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆 炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用 的函数模型)的广泛应用 一、基础小题 1. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示， 则下列说法正确的是( ) A甲比乙先出发 B乙比甲跑的路程多 C甲、乙两人的速度相同 D甲比乙先到达终点 答案 D 解析 由题图知，甲和
2、乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙 快 2. 如图是张大爷晨练时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象 若用黑点表 示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( ) 答案 D 解析 根据图象可得， 张大爷先是离家越来越远， 后离家距离保持不变， 最后慢慢回家， 符合的只有 D. 3国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入 在 280 万元及以下的税率为p%，超过 280 万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税 比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是( ) A560 万元 B420 万元 C350 万元 D320
3、 万元 答案 D 解析 设该公司的年收入为a万元，则 280p%(a280)(p2)%a(p0.25)%，解 得a320.故选 D. 280 2 20.25 4某种动物的种群数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为yalog2(x1)， 若这种动物第一年有 100 只，则到第 7 年它们发展到( ) A300 只 B400 只 C500 只 D600 只 答案 A 解析 由题意，得 100alog2(11)，解得a100，所以y100log2(x1)，当x7 时，y100log2(71)300，故到第 7 年它们发展到 300 只 5设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从甲
4、地到乙地用了 20 min，在乙 地休息 10 min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 min，则小王从出发到返回原地所 经过的路程y与其所用的时间x的函数的图象为( ) 答案 D 解析 由题意知小王在 020 min，3060 min 这两段时间运动的路程都在不断增加， 在 2030 min 时，运动的路程不变故选 D. 6f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进 行比较，下列选项中正确的是( ) Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x) Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x) 答案 B 解析 画出三个函数
5、的图象，如下图所示，当x(4，)时，指数函数的图象位于 二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)f(x)h(x) 7某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前 5 天监测到的数据： 第x天12345 被感染的计算机数量y/台12244995190 则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是( ) Ay12x By6x26x12 Cy62x Dy12log2x12 答案 C 解析 由表格可知， 每一天的计算机被感染台数大约是前一天的 2 倍， 故增长速度符合 指数型函数，故选 C. 8 已知甲、 乙两种商品在过去一段时间内的价格
6、走势如图所示 假设某商人持有资金 120 万元， 他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品， 且买卖能够立即成交(其他费用忽略不 计)如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( ) A40 万元 B60 万元 C120 万元 D140 万元 答案 C 解析 甲6元时该商人全部买入甲商品， 可以买120620(万份)， 在t2时刻全部卖出， 此时获利 20240(万元)， 乙 4 元时该商人买入乙商品， 可以买(12040)440(万份)， 在t4时刻全部卖出，此时获利 40280(万元)，共获利 4080120(万元)故选 C. 9 某公司为了实现 1000 万元销售利润的目标
7、， 准备制订一个激励销售人员的奖励方案 ： 在销售利润达到 10 万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x 的增加而增加，但奖金不超过 5 万元，同时奖金不超过销售利润的 25%，则下列函数最符合 要求的是( ) Ayx Bylg x1 1 4 Cy x Dy 3 2 x 答案 B 解析 由题意知，x10， 1000， 符合公司要求的模型需同时满足 ： 函数为增函数 ； 函数的最大值不超过 5；yx25%.对于yx，易知满足，但当x20 时，y5，不满 1 4 足要求；对于y x，易知满足，因为45，故当x4 时，不满足要求；对于y ，易 3 2 3 2 x 知满足，
8、但当x25 时，y5， 不满足要求 ； 对于ylg x1， 易知满足， 当x10， 1000时，2y4，满足，再证明 lg x1x25%，即 4lg x4x0，设F(x)4lg x4x， 则F(x)1200， 则lg 130(112%)n1lg 200， lg 130(n1)lg 1.12lg 22， 2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，0.11(n1)0.050.30，解得n. 24 5 又nN N* *，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 2019 年故选 B. 14(2015北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图 描述
9、了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( ) A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D 解析 对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米，所以 A 错误对于 B 选项，由图可知 甲车消耗汽油最少对于 C 选项，甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 1
10、0 km/L，故 行驶 1 小时的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误对于 D 选项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， 故用丙车比用乙车更省油， 所以 D 正确 15(2015四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足 函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在 0 的保鲜 时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是( ) A16 小时 B20 小时 C24 小时 D28 小时 答案 C 解析 由题意得Error!Error!即E
11、rror!Error!所以该食品在 33 的保鲜时间是ye33kb (e11k)3eb 319224(小时) ( 1 2) 16(2014湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年 的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B. pq 2 p 1 q11 2 C. D.1pqp 1 q 1 答案 D 解析 设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1p)(1 q)设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1x)2a(1p)(1q)，由于连续两年 持续增加，所以x0，因此x1，故选 D. 1 p 1 q 17(2018浙江高考)我
12、国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题 ： “今有鸡翁 一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几 何？” 设鸡翁， 鸡母， 鸡雏个数分别为x，y，z， 则Error!Error!当z81 时，x_，y_. 答案 8 11 解析 把z81 代入方程组，化简得Error!Error!解得x8，y11. 18(2014湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单 位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶， 单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F. 76000v v218v20l
13、(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时； (2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时 答案 (1)1900 (2)100 解析 (1)当l6.05 时，F， 76000v v218v20 6.05 F1900，当且仅当v，即v11 76000v v218v121 76000 v121 v 18 76000 2v121 v 18 121 v 时取“” 最大车流量F为 1900 辆/小时 (2)当l5 时，F， 76000v v218v20 5 76000 v100 v 18 F2000， 76000 2v100 v 18 当且仅当v，即v10
14、时取“” 100 v 最大车流量比(1)中的最大车流量增加 20001900100 辆/小时 三、模拟小题 19 (2018福建质检)当生物死亡后， 其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5730 年衰 减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分 之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳 14 用一般的放射性探 测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( ) A8 B9 C10 D11 答案 C 解析 设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 1，则经过n(nN N*)个“半衰期”后的含量 为 n，由n 得n10.所以，若探测不到
15、碳 14 含量，则至少经过了 10 个“半衰 1 2 1 2 1 1000 期” 故选 C. 20(2018德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数 量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)p02，其中p0 t 30 为t0 时的污染物数量 又测得当t0， 30时， 污染物数量的变化率是10ln 2， 则 p(60)( ) A150 毫克/升 B300 毫克/升 C150ln 2 毫克/升 D300ln 2 毫克/升 答案 C 解析 因为当t0， 30时， 污染物数量的变化率是10ln 2， 所以10ln 2 ， 所以p0600ln 2
16、， 因为p(t)p02， 所以p(60)600ln 222150ln 2(毫克/ 1 2p 0p0 300 t 30 升) 21 (2018湖北武汉质检)某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情 况， 小车P从点A出发的运动轨迹如图所示 设观察者从点A开始随小车P变化的视角为 AOP，练车时间为t，则函数f(t)的图象大致为( ) 答案 D 解析 根据小车P从点A出发的运动轨迹可得， 视角AOP的值先是匀速增大， 然 后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选 D. 22(2018河南洛阳调研)一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠卷，每张优惠卷只 能购买一件商品，
17、根据购买商品的标价，三张优惠券优惠方式不同，具体如下： 优惠券 1：若标价超过 50 元，则付款时减免标价的 10%. 优惠券 2：若标价超过 100 元，则付款时减免 20 元 优惠券 3：若标价超过 100 元，则超过 100 元的部分减免 18%. 若该顾客购买某商品使用优惠券 1 比优惠券 2、优惠券 3 减免的都多，则他购买的商品 的标价可能为( ) A179 元 B199 元 C219 元 D239 元 答案 C 解析 因为使用优惠券 1 比优惠券 2 减免的多，所以他购买的商品的标价超过 200 元 如果他购买的商品的标价为 219 元， 那么使用优惠券 1 可以减免 21.9
18、元， 使用优惠券 2 可以减免 20 元，使用优惠券 3 可以减免 21.42 元；如果标价为 239 元，那么使用优惠券 1 可以减免 23.9 元，使用优惠券 2 可以减免 20 元，使用优惠券 3 可以减免 25.02 元，不满足 题意故选 C. 23(2018江西 4 月模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是B1C的中点，动 点M在其表面上运动，且与平面A1DC1的距离保持不变，运行轨迹为S，M从P点出发，绕 其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x与lMA1MC1MD之间满足函数关系lf(x)， 则此函数图象大致是( ) 答案 D 解析 连接AB1，AC.由题意可知点M的
19、运行轨迹是B1AC，不妨设M从P点出发，沿 PCAB1P运行， 设AC的中点为Q，AB1的中点为R.可知M从P运行到C的过程中，MA1MD 从小变大， 且MC1从小变大， 即l从小变大， 同理可知M从C到Q，l从大变小 ；M从Q到A，l 从小变大；M从A到R，l从大变小；M从R到B1，l从小变大；M从B1到P，l从大变 小故选 D. 24(2018广东广州调研)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：) 满足函数关系式tError!Error!且该食品在 4 时的保鲜时间是 16 小时 已知甲在某日 10 时购 买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示给出以
20、下四个结 论： 该食品在 6 的保鲜时间是 8 小时； 当x6，6时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少； 到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； 到了此日 14 时，甲所购买的食品已过了保鲜时间 其中，所有正确结论的序号是_ 答案 解析 某食品的保鲜时间t(单位 ： 小时)与储藏温度x(单位 ：)满足函数关系式t Error!Error!且该食品在4 时的保鲜时间是16小时，24k616，即4k64，解得k ，t 1 2 Error!Error!当x6 时，t8， 故正确 ； 当x6， 0时， 保鲜时间恒为 64 小时， 当x(0， 6 时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而
21、逐渐减少，故错误 ； 此日 10 时，温度为 8 ， 此时保鲜时间为 4 小时，而随着时间的推移，到 11 时，温度为 11 ，此时的保鲜时间t2 1161.414(小时)，到 13 时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误； 1 2 2 由可知，到了此日 14 时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故正确故正确结论的序 号为. 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型 二、模拟大题 1(2018安徽六校联考)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及，据某报记 者了解， 某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体 系，为电动汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制
22、的市场化运营模式现假设该公司有 750 辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日 1725 元调查发现，若每辆 电动汽车的日租金不超过 90 元，则电动汽车可以全部租出；若超过 90 元，则每超过 1 元， 租不出的电动汽车就增加 3 辆设每辆电动汽车的日租金为x(单位：元)(60x300，x N N*)，用y(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入 减去日管理费用) (1)求函数yf(x)的解析式； (2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？ 解 (1)当 60x90，xN N*时，y750x1725； 当 9065775，故
23、当每辆电动汽车的日租金为 170 元时，日净收入最多 2(2018福建厦门质检)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对 人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚 种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收 入Q与投入a(单位：万元)满足P804，Qa120，设甲大棚的投入为x(单位：2a 1 4 万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元) (1)求f(50)的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才
24、能使总收益f(x)最大？ 解 (1)由题意知甲大棚投入 50 万元，则乙大棚投入 150 万元， f(50)804 150120277.5(万元)2 50 1 4 (2)f(x) 80 4 (200x) 120 x 4 250， 依 题 意 得Error!Error!2x 1 4 1 4 2x 20x180， 故f(x)x4250(20x180) 1 4 2x 令t，则t2，6，yt24t250 (t8)2282，x55 1 4 2 1 4 2 当t8，即x128 时，f(x)取得最大值，f(x)max282.2 所以甲大棚投入 128 万元，乙大棚投入 72 万元时，总收益最大，且最大总收益
25、为 282 万元 3 (2018河北衡水中学调研)已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万 元， 每生产 1 万部还需另投入 16 万元， 设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完， 每万部的销售收入为R(x)万元，且R(x)Error!Error! (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大 利润 解 (1)当 040 时， WxR(x)(16x40)16x8360. 40000 x 所以WError!Error! (2)当 040 时，W16x8360， 40000 x 由于
26、16x21600； 40000 x 40000 x 16x 当且仅当16x，即x50 时取等号， 40000 x 此时Wmax160083606760， 综合知，当x50 时，W取得最大值 6760 万元 4(2018湖北荆州一模)某市环保研究所对市中心每天的环境污染情况进行调查研究 后， 发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)a ，x 2x x24 2x x24 3 4 0，24，其中a是与气象有关的参数，且a0， . 1 2 (1)令t(x)，x0，24，求t(x)的最值； 2x x24 (2)若用每天的f(x)的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综
27、合污染 指数不得超过 2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标？ 解 (1)由t(x)，x0，24， 2x x24 得t(x)，x0，24， 2 x242x2x x2 4 2 2 x 2 x 2 x2 4 2 令t(x)0，得(x2)(x2)0，则 0x2， 令t(x)0，则x2， t(x)在0，2上递增，在(2，)上递减， 又t(0)0，t(2) ，t时，t(x)0， 1 2 t(x)mint(0)0，t(x)maxt(2) . 1 2 (2)令t，则由x0，24，得t0， 2x x24 1 2 令g(t)f(x)t|ta| ，t0， 3 4 1 2 则g(t)Error!Error! g(t)在 0， 和a， 上递增，在 ，a上递减， a 2 1 2 a 2 且g ，g1 ， a 2 3 4 a2 4 1 2 a 2 gg ， a 2 1 2 a2 4 a 2 1 4 令 0，得1a ； a2 4 a 2 1 4 2 1 2 令 0，得 0a1， a2 4 a 2 1 4 2 f(x)maxError!Error! f(x)max1， 目前市中心的综合污染指数没有超标