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1、课下层级训练(四十八) 抛物线课下层级训练(四十八) 抛物线 A 级 基础强化训练 1点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是( ) Ay12x2 By12x2或y36x2 Cy36x2Dyx2或yx2 1 12 1 36 D D 分两类a0，a0)，若直线y2x被抛物线所 截弦长为 4，则抛物线C的方程为( )5 Ax28yBx24y Cx22yDx2y C C 由Error!得Error!或Error! 即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则4，得p1(舍去负值)，故4p28p25 抛物线C的方程为x22y. 5 (2018山东潍坊二模)直线yk(
2、x2)(k0)与抛物线C：y28x交于A，B两点，F 为C的焦点，若 sin ABF2sin BAF，则k的值是( ) AB 2 3 2 2 3 C1D 2 B B 分别过 A，B 项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，则AFAM，BFBN. 设直线y(x2)(k0)与x轴交于点P，则P(2,0) 抛物线的方程为y28x，抛物线的准线方程为x2，即点P在准线上sin ABF2sin BAF， 根据正弦定理可得AF2BF，AM2BN， ，即B为PA的中点 PB PA BN AM 1 2 联立方程组Error!消去x可得y2160 8y k 设A，B，则y1y216 ( y2 1 8 ，y1)
3、( y2 2 8 ，y2) B为PA的中点，y12y2，即B(1,2)2 P(2,0)，直线AB的斜率为. 2 2 3 6直线l过抛物线x22py(p0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长 是 6，AB的中点到x轴的距离是 1，则此抛物线方程是_ x28y 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|y1y2p2p6，p4.即抛物线 方程为x28y. 7(2018四川南充三模)已知斜率为 2 的直线l过抛物线y2ax的焦点F，且与y轴 相交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为 4，则a_ 8 焦点坐标，|OF| ，直线的点斜式方程y2在y轴的截距是 ， ( a 4，0)
4、a 4(x a 4) a 2 所以SOAF 4，解得a264，a0，a8，y28x，故答案为8. 1 2 a 4 a 2 8(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的 直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_ 2 方法一 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error! yy4(x1x2)，k 2 12 2 y1y2 x1x2 4 y1y2. 设AB中点M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x1 的垂线，垂 足为A，B， 则|MM| |AB| (|AF|BF|) 1 2 1 2 (|AA|BB|) 1 2 M(x0，y0)为AB中
5、点， M为AB的中点，MM平行于x轴， y1y22，k2 方法二 由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为yk(x1)，直线方 程与y24x联立，消去y，得k2x2(2k24)xk20 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2 2k24 k2 由M(1,1)，得(1x1,1y1)，(1x2,1y2)AM BM 由AMB90，得0，AM BM (x11)(x21)(y11)(y21)0， x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10 又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1， y1y2k(x1x22)， 11k2k10， 2k24 k2(1
6、 2k24 k2 1) ( 2k24 k2 2) 整理得 10，解得k2. 4 k2 4 k 9已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为 4，且位于x轴上方 的点，A到抛物线准线的距离等于 5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M (1)求抛物线的方程； (2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标 解 (1)抛物线y22px的准线为x ， p 2 于是 4 5，p2，抛物线方程为y24x p 2 (2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2) 又F(1,0)，kFA 4 3 MNFA，kMN 3 4 FA的方程为y (x1)，MN的
7、方程为yx2， 4 3 3 4 联立Error!解方程组得x ，y ， 8 5 4 5 点N的坐标为 ( 8 5， 4 5) 10(2019河南郑州月考)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为 2的直线交2 抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A，B，C， 若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为( ) Ay2xBy23x 3 2 Cy2xDy29x 9 2 B B 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D， 设|BF|a，则|BC|2a，由抛物线的定义得，|BD|a，故BCD30，在直角三角 形ACE中，因为|
8、AE|AF|3，|AC|33a,2|AE|AC|，所以 633a，从而得a1， 因为BDFG，所以.即 ，解得p ，因此抛物线方程为y23x. |DB| |FG| |BC| |FC| 1 p 2 3 3 2 13已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB 为直角，则实数a的取值范围为_ 1，) 如图，设C(x0，x)(xa)，A(，a)，B(，a)， 2 02 0 aa 则(x0，ax)，(x0，ax)CA a 2 0 CB a 2 0 CACB， 0， 即(ax)(ax)20， (ax)(1ax)0.xaCA CB 2 02 02 02 02 0 10，a1. 1
9、4(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线 交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_ 6 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线 的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF 由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2 点M为FN的中点，PMOF，|MP| |FO|1 1 2 又|BP|AO|2， |MB|MP|BP|3 由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6. 15如图，已知抛物线Cy22px(p0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C 于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2) (1
10、)若y1y28，求抛物线C的方程； (2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另 一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值 (1)解 设直线AM的方程为xmyp， 代入y22px得y22mpy2p20， 则y1y22p28，得p2 抛物线C的方程为y24x (2)证明 设B(x3，y3)，N(x4，y4) 由(1)可知y3y42p2，y1y3p2 又直线AB的斜率kAB， y3y1 x3x1 2p y1y3 直线MN的斜率kMN， y4y2 x4x2 2p y2y4 2 kAB kMN y2y4 y1y3 2p2 y1 2p 2 y3 y1y3 2p
11、2 y1y3 y1y3 y1y3 故直线AB与直线MN斜率之比为定值 16(2018浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上 存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上 (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围. y2 4 (1)证明 设P(x0，y0)，A，B ( 1 4y 2 1，y1) ( 1 4y 2 2，y2) 因为PA，PB的中点在抛物线上， 所以y1，y2为方程 24 ( yy0 2) 1 4y 2x0 2 即y22y0y8x0y0 的两个不同的实根 2 0 所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴 (2)解 由(1)可知，Error!， 所以|PM| (yy)x0y3x0， 1 8 2 12 2 3 4 2 0 |y1y2|22y2 04x0 因此，PAB的面积 SPAB |PM|y1y2|(y4x0) 1 2 3 2 4 2 0 3 2 因为x1(x00)， 2 0 y2 0 4 所以y4x04x4x044,5， 2 02 0 因此，PAB面积的取值范围是 6 2， 15 10 4