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1、专题 03 导数及其应用 1【2019 年高考全国卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则eln x yaxx A Ba=e，b=1e1ab ， C D， 1 e1ab ， 1 ea 1b 【答案】D 【解析】eln1, x yax 切线的斜率， 1 |e 12 x kya 1 ea 将代入，得.(1,1)2yxb21,1bb 故选 D 【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a，b 的等式，从而求解，属 于常考题型. 2 【2019 年高考天津理数】 已知， 设函数若关于的不等式aR 2 22 ,1, ( ) ln ,1. xaxax f
2、x xaxx x( )0f x 在上恒成立，则的取值范围为Ra AB0,10,2 CD0,e1,e 【答案】C 【解析】当时，恒成立；1x (1)12210faa 当时，恒成立，1x 2 2 ( )2202 1 x f xxaxaa x 令， 2 ( ) 1 x g x x 则 222 (11)(1)2(1) 1 ( ) 111 xxxx g x xxx ， 11 122 (1)20 11 xx xx 当，即时取等号， 1 1 1 x x 0x ，则. max 2( )0ag x0a 当时，即恒成立，1x ( )ln0f xxax ln x a x 令，则，( ) ln x h x x 2 l
3、n1 ( ) (ln ) x h x x 当时，函数单调递增， ex ( )0h x( )h x 当时，函数单调递减，0ex( )0h x ( )h x 则时，取得最小值， ex ( )h x(e)eh ， min ( )eah x 综上可知，的取值范围是. a0,e 故选 C. 【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后 解决恒成立问题. 3（2019 浙江） 已知， 函数 若函数恰有 3, a bR 32 ,0 ( ) 11 (1),0 32 x x f x xaxax x ( )yf xaxb 个零点，则 Aa0 Ca1，b1，b0 【答案
4、】C 【解析】当 x0 时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得 x，= 1 则 yf（x）axb 最多有一个零点； 当 x0 时，yf（x）axbx3（a+1）x2+axaxbx3（a+1）x2b，= 1 3 1 2 = 1 3 1 2 ， 2 (1)yxax 当 a+10，即 a1 时，y0，yf（x）axb 在0，+）上单调递增， 则 yf（x）axb 最多有一个零点，不合题意； 当 a+10，即 a1 时，令 y0 得 x(a+1，+） ，此时函数单调递增， 令 y0 得 x0，a+1） ，此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点. 根据题意，函数 yf（x）axb 恰有 3
5、个零点函数 yf（x）axb 在（，0）上有一个零点，在0，+） 上有 2 个零点， 如图： 0 且， 1 0 1 3( + 1) 3 1 2( + 1)( + 1) 2 0 解得 b0，1a0，b（a+1）3， 1 6 则 a1，b0， 则 当时 ，； 当时 ， 故在(,0), 3 a x ( )0fx0, 3 a x ( )0fx( )f x 单调递增，在单调递减；(,0), 3 a 0, 3 a 若 a=0，在单调递增；( )f x(,) 若 a 0) 令，解得：.() 00 0 AB( ,ln2)(ln2, + ) CD(0,e2)(e2, + ) 【答案】A 【解析】令=() ()
6、, () = () () 2 0 (e) e (2) 2 (e) (2) 故,即 x CD 【答案】D 【解析】依题意，得，. 3 ln3 ln 3 3 a 1 lne e e b 3ln2ln8 88 c 令，所以.() = ln () = 1 ln 2 所以函数在上单调递增，在上单调递减，()(0,e)(e, + ) 所以，且，即，()max= (e) = 1 e = (3) (8) 所以. 故选 D. 【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数是解题的关键，属 lnx f x x 于中档题. 22【安徽省毛坦厂中学 2019 届高三校区 4 月联考数学】 已知， 若关
7、于 的不等式() = ln + 1 e() (1) = 0() 0 当时，即， 1() 1 e 故选 D. 【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中 档题. 23 【辽宁省丹东市 2019 届高三总复习质量测试】若是函数1x 322 1 ( )(1)3 3 f xxaxaax 的极值点，则的值为 a A-2B3 C-2 或 3D-3 或 2 【答案】B 【解析】， 32222 1 13(3)(1 3 2)f xxaxaafxxxaxaa 由题意可知，即或，(1)0 f 2 12(1)303aaaa2a 当时，3a 222 ( )2(1)389(9
8、)(1)fxxaxaaxxxx 当或时，函数单调递增；当时，函数单调递减，1x 9x ( )0fx 91x ( )0fx 显然是函数的极值点；1x f x 当时，2a 2222 ( )232(111)(0aafxxaxxxx 所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去.( )f xR 故.3a 故选 B 【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出的值，没有通过单 a 调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.1x 24 【黑龙江省大庆市第一中学 2019 届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数是定义
9、f x 在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式R fx0x 2 2 f xxfxx 的解集为 2 2018+2018420xf xf A B, 2016 -2016, 2012 C D, 2018 2016,0 【答案】A 【解析】设， 2 g xx f x 因为为上的奇函数， f xR 所以， 2 2 gxxfxx f x 即为上的奇函数 g xR 对求导，得， g x 2 fgfxxxxx 而当时，有，0x 2 20f xxfxx 故时，即单调递增，0x 0gx g x 所以在上单调递增， g xR 则不等式即， 2 2018+2018420xf xf 2 2018+201842x
10、f xf 即， 2 2018+201842xf xf 即， 20182g xg 所以，解得.20182x2016x 故选 A. 【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合， 有一定的技巧性，属于中档题. 25 【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学】 曲线在点处的切 2 1 ( )ln 2 f xxxx(1(1)f， 线与直线垂直，则_.10axy a 【答案】 1 2 【解析】因为，所以， 2 1 ( )ln 2 f xxxx( )ln1fxxx 因此，曲线在点处的切线斜率为， 2 1 ( )ln 2 f xxxx(1(1)f，(
11、1)1 12k f 又该切线与直线垂直，所以.10axy 1 2 a 故答案为. 1 2 【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考 题型. 26 【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（6 月）数学】已知函数若方程 2 2,0, ( ) e ,0, x xx f x x 恰有两个不同的实数根，则的最大值是_ 2 ( )f xa 12 ,x x 12 xx 【答案】3ln22 【解析】作出函数的图象如图所示， f x 由，可得， 即， 2 f xa ( ),1f xaa1a 不妨设 ，则， 12 xx 2 2 1 2exxa 令，则，(
12、1)at t 12 ,ln 2 t xxt ， 12 ln 2 t xxt 令，则，( )ln 2 t g tt 42 ( ) 4 t g t t 当时，在上单调递增；18t 0g t ( )g t 1,8 当时，在上单调递减，8t 0g t ( )g t 8, 当时，取得最大值，为.8t ( )g t(8)ln823ln22g 故答案为.3ln22 【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函 数的极值与最值，属于难题.求函数的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数 f x ；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）判断在的根
13、fx 0,fx fx 0fx 0 x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么在处取极大值，如果左负右正（左减右 f x 0 x 增） ，那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如 f x 0 x 果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小. 27 【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学】已知函数，. 42 11 ( ) 42 f xxaxaR （1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a ( )f x(2,(2)f （2）设函数，其中是自然对数的底数，讨论的 2 ( )(22)ee ( ) x g xxxaf x
14、e2.71828.( )g x 单调性并判断有无极值，有极值时求出极值 【答案】 （1）；6100xy （2）当时，在上单调递增，无极值；当时，在和0a ( )g x(,) 0a ( )g x(,)a 单调递增，在单调递减，极大值为，极小值为(,)a (,)aa 2 e ()(22)e 4 a gaaa . 2 e ()( 22)e 4 a gaaa 【解析】 （1）由题意，所以当时， 3 ( )fxxax1a (2)2f(2)6 f 因此曲线在点处的切线方程是，( )yf x(2,(2)f26(2)yx 即.6100xy （2）因为， 2 ( )(22)ee ( ) x g xxxaf x
15、所以 2 ( )(22)e(22)ee ( ) xx g xxxxafx ， 232 ()ee()()(ee ) xx xaxaxxax 令，则，( )ee x h xx( )ee x h x 令得，( )0h x 1x 当时，单调递减，(,1)x ( )0h x ( )h x 当时，单调递增，(1,)x( )0h x ( )h x 所以当时，1x min ( )(1)0h xh 也就说，对于恒有.x R( )0h x 当时，0a 2 ( )() ( )0g xxa h x 在上单调递增，无极值；( )g x(,) 当时，令，可得0a ( )0g x xa 当或时，单调递增，xa xa 2 (
16、 )() ( )0g xxa h x( )g x 当时，单调递减，axa( )0g x ( )g x 因此，当时，取得极大值；xa ( )g x 2 e ()(22)e 4 a gaaa 当时，取得极小值.xa( )g x 2 e ()( 22)e 4 a gaaa 综上所述： 当时，在上单调递增，无极值；0a ( )g x(,) 当时，在和上单调递增，在上单调递减，0a ( )g x(,)a (,)a (,)aa 函数既有极大值，又有极小值， 极大值为， 2 e ()(22)e 4 a gaaa 极小值为. 2 e ()( 22)e 4 a gaaa 【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值
17、问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想， 是一道综合题 28 【陕西省 2019 届高三第三次联考数学】已知函数，.() = ln () = 2 （1）求函数的极值点；() （2）若恒成立，求 的取值范围.() () 【答案】 （1）极大值点为 ，无极小值点.（2）. 1 1 【解析】 （1）的定义域为， lnf xxax(0, + )() = 1 当时， 0() = 1 0 所以在上单调递增，无极值点；()(0, + ) 当时，解得，解得， 0() = 1 0 0 1 所以在上单调递增，在上单调递减，()(0, 1 ) ( 1 , + ) 所以函数有极大值点，为 ，无极小值点.()
18、1 （2）由条件可得恒成立，ln 2 0( 0) 则当时，恒成立， 0 ln 令，则，() = ln ( 0)() = 1 2 ln 2 令，() = 1 2 ln( 0) 则当时，所以在上为减函数. 0() = 2 1 0(1, + )() 0 所以在上单调递增，所以，()1, + )()min= (1) = 2e 1 所以. 2e 1 （2）当时，. = 1() = ln e+ ( 0) 则，() = 1 ( + 1)e + 1 = ( + 1)(1 e ) 令，则，() = 1 e () = 1 2 e 0 (1) 0(0) = 0e0= 1 0 当时，；当时，. (0,0)() 0() 0 (0, + )() 0()(0, 1 3) 当时，在上单调递减, ( 1 3,1) () ( 1) 所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点. 2e 13 e4 = 6 e3 = () = 2 3 e 2 , 4 即当或时，函数在区间上有两个零点. 2e 13 e4 = 6 e3 () 2 , 4 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.