《专题06 三角函数及解三角形-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学（理） Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题06 三角函数及解三角形-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学（理） Word版含解析.pdf（26页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题 06 三角函数及解三角形 1【2019 年高考全国卷理数】函数 f(x)= 2 sin cos xx xx 在的图像大致为, A B C D 【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称， 22 sin()()sin ()( ) cos()()cos xxxx fxf x xxxx ( )f x 排除 A又，排除 B，C，故选 D 2 2 1 42 2 ( )1, 2 ( ) 2 f 2 ()0 1 f 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或 赋值法，利用数形结合思想解题解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除 A，再
2、注 ( )f x 意到选项的区别，利用特殊值得正确答案 2 【2019 年高考全国卷理数】关于函数有下述四个结论：( )sin |sin |f xxx f(x)是偶函数f(x)在区间（，）单调递增 2 f(x)在有 4 个零点f(x)的最大值为 2, 其中所有正确结论的编号是 A B CD 【答案】C 【解析】为偶函数，故正确 sinsinsinsin,fxxxxxf xf x 当时，它在区间单调递减，故错误 2 x 2sinf xx, 2 当时，它有两个零点：；当时，0x 2sinf xx0 0x sinsinf xxx ，它有一个零点：，故在有个零点：，故错误2sin x f x , 30
3、 当时 ，； 当时 ，2, 2xkkk N 2sinf xx2, 22xkkk N ，又为偶函数，的最大值为，故正确 sinsin0f xxx f x f x2 综上所述，正确，故选 C 【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图） ，由图象可得正确 sinsinf xxx 3【2019 年高考全国卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是 2 4 2 Af(x)=|cos2x| Bf(x)=|sin2x| Cf(x)=cos|x| Df(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图 1，知其不是周期函数，排除 D；sin |yx 因为，周期为，排除 C；cosco
4、syxx2 作出图象如图 2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A 正确；cos2yx 24 2 作出的图象如图 3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除 B，sin2yx 24 2 故选 A 图 1 图 2 图 3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数 图象，即可作出选择本题也可利用二级结论 ： 函数的周期是函数周期的一半 ； ( )yf x( )yf x 不是周期函数.sinyx 4【2019 年高考全国卷理数】已知 (0，)，2sin2=cos2+1，则 sin= 2 A B 1 5 5 5 C D 3 32 5 5
5、 【答案】B 【 解 析 】，2sin2cos21 2 4sincos2cos.0,cos0 2 sin0, ，又，又，故2sincos 22 sincos1 22 1 5sin1,sin 5 sin0 5 sin 5 选 B 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余 弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数 值的正负很关键，切记不能凭感觉解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及 正余弦平方和为 1 关系得出答案 5【2019 年高考全国卷理数】设函数=sin（）(0)，已知在
6、有且仅有 5 f x 5 x f x0,2 个零点，下述四个结论： 在（）有且仅有 3 个极大值点 f x0,2 在（）有且仅有 2 个极小值点 f x0,2 在（）单调递增 f x0,10 的取值范围是) 12 29 5 10 ， 其中所有正确结论的编号是 AB CD 【答案】D 【解析】若在上有 5 个零点，可画出大致图象，( )f x0,2 由图 1 可知，在有且仅有 3 个极大值点.故正确；( )f x(0,2) 由图 1、2 可知，在有且仅有 2 个或 3 个极小值点.故错误；( )f x(0,2) 当=sin（）=0 时，=k（kZ），所以， f x 5 x 5 x 5 k x 因
7、为在上有 5 个零点，( )f x0,2 所以当 k=5 时，当 k=6 时，解得， 5 5 2x 6 5 2x 1229 510 故正确. 函数=sin（）的增区间为：， f x 5 x 2 2 252 kxk . 73 22 1010 kk x 取 k=0， 当时，单调递增区间为， 12 5 71 248 x 当时，单调递增区间为， 29 10 73 2929 x 综上可得，在单调递增.故正确. f x 0,10 所以结论正确的有.故本题正确答案为 D. 【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深 度高，考查数形结合思想注意本题中极小值点个数
8、是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错 6 【2019 年高考天津卷理数】 已知函数是奇函数， 将( )sin()(0,0,|)f xAxA yf x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为若的 g x g x 最小正周期为，且，则22 4 g 3 8 f AB22 CD22 【答案】C 【解析】为奇函数，； ( )f x(0)sin0,= ,0,fAkkkZ0 又， 12 ( )sin,2, 1 2 2 g xAxT 2 又， ( )2 4 g2A ，故选 C.( )2sin2f xx 3 ()2. 8 f 【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函
9、数的求值问题，解题关键是求出函数，再根据函数性 g x 质逐步得出的值即可., ,A 7【2019 年高考北京卷理数】函数 f（x）=sin22x 的最小正周期是_ 【答案】 2 【解析】函数，周期为. 2 sin 2f xx 1 cos4 2 x 2 【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的 函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 8【2019 年高考全国卷理数】的内角的对边分别为.若，则ABC, ,A B C, ,a b c 6,2 , 3 bac B 的面积为_ABC 【答案】6 3 【解析】由余弦定理得，所以，即， 2
10、22 2cosbacacB 222 1 (2 )2 26 2 ccc c 2 12c 解得（舍去） ，2 3,2 3cc 所以，24 3ac 113 sin4 32 36 3. 222 ABC SacB 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误解答此类问题，关键是在明确方 法的基础上，准确记忆公式，细心计算本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、 c, a c 三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变 形及运算求解能力的考查 9 【2019 年高考江苏卷】已知，则的值是 . tan2 3 tan 4 sin 2 4
11、 【答案】 2 10 【解析】由，得， tan1tantantan2 tan1 tan13 tan 1tan4 2 3tan5tan20 解得，或.tan2 1 tan 3 sin 2sin2 coscos2 sin 444 22 22 222sincoscossin sin2cos2= 22sincos ， 2 2 22tan1tan = 2tan1 当时，上式tan2 2 2 22 2 1 22 = 22110 ； 当时，上式= 1 tan 3 2 2 11 2 () 1 () 22 33 = 1 210 ()1 3 . 综上， 2 sin 2. 410 【名师点睛】本题考查三角函数的化简
12、求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨 论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问tan 题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 10 【2019 年高考浙江卷】在中，点在线段上，若ABC90ABC4AB 3BC DAC ，则_，_45BDCBD cosABD 【答案】， 12 2 5 7 2 10 【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而, ABD sinsin ABBD ADBBAC 3 4, 4 ABADB ，所以. 22 5AC=AB +BC = 34 sin,cos 55 BCAB BACBAC AC
13、AC 12 2 5 BD . 7 2 coscos()coscossinsin 4410 ABDBDCBACBACBAC 【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想. 在中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. ABD 11 【2019 年高考全国卷理数】的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设ABC 22 (sinsin)sinsinsinBCABC （1）求 A； （2）若，求 sinC22abc 【答案】 （1）；（2）. 60A 62 sin 4 C 【解析】 （1）由已知得，故由正弦定理得
14、222 sinsinsinsinsinBCABC 222 bcabc 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc 因为，所以 0180A 60A （2）由（1）知，由题设及正弦定理得， 120BC 2sinsin 1202sinACC 即，可得 631 cossin2sin 222 CCC 2 cos60 2 C 由于，所以，故 0120C 2 sin60 2 C sinsin6060CC sin60cos60cos60sin60CC 62 4 【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三 角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对
15、边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角 之间的关系. 12 【2019 年高考全国卷理数】 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知sinsin 2 AC abA （1）求 B； （2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围 【答案】 （1）B=60；（2）. 33 (,) 82 【解析】 （1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为sinA0，所以sinsin 2 AC B 由，可得，故180ABC sincos 22 ACB cos2sincos 222 BBB 因为，故，因此B=60cos0 2 B 1 s
16、in 22 B （2）由题设及（1）知ABC的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC为锐角三角形， 故090时，在中，. 1 PPB 1 15PBPB 由上可知，d15. 再讨论点Q的位置. 由 （ 2） 知 ， 要 使 得 QA15， 点 Q只 有 位 于 点 C的 右 侧 ， 才 能 符 合 规 划 要 求 .当 QA=15时 ， .此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 2222 1563 21CQQAAC 综上， 当PBAB， 点Q位于点C右侧， 且CQ=时， d最小， 此时P， Q
17、两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3 21 .3 21 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.3 21 解法二：解法二： （1）如图，过O作OHl，垂足为H. 以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系. 因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A（4，3），B（4，3），直线AB的斜率为. 3 4 因为PBAB，所以直线PB的斜率为， 4 3 直线PB的方程为. 425 33 yx 所以P（13，9），. 22 ( 134)(93)15
18、PB 因此道路PB的长为15（百米）. （2）若P在D处，取线段BD上一点E（4，0），则EO=490时，在中，. 1 PPB 1 15PBPB 由上可知，d15. 再讨论点Q的位置. 由（2）知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9）， 由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA 22 (4)(93)15(4)AQaa43 2143 21 上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上，当P（13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离43 21 .43 21( 13)173 21PQ 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）
19、.173 21 【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学 建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 17 【2019 年高考浙江卷】设函数.( )sin ,f xx xR （1）已知函数是偶函数，求的值；0,2 ),()f x （2）求函数的值域 22 () () 124 yf xf x 【答案】（1）或；（2） 2 3 2 33 1,1 22 【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，()sin()f xxsin()sin()xx 即，sin coscos sinsin coscos sinxxxx 故，2sin cos0x 所以
20、cos0 又，因此或0,2) 2 3 2 （2） 22 22 sinsin 124124 yfxfxxx 1 cos 21 cos 2 13362 1cos2sin2 22222 xx xx 3 1cos 2 23 x 因此，函数的值域是 33 1,1 22 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力. 18 【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学试题】已知角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经过点，则(2 1)P ，cos2 AB 2 2 3 1 3 CD 1 3 2 2 3 【答案】B 【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与
21、轴正半轴重合，终边经过点， x (2 1)P ， 所以， 26 cos 32 1 因此.故选 B. 2 1 cos22cos1 3 【名师点睛】 本题主要考查三角函数的定义， 以及二倍角公式， 熟记三角函数的定义与二倍角公式即可， 属于常考题型.解答本题时，先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得 (2 1)P ， cos 出结果. 19 【四川省宜宾市 2019 届高三第三次诊断性考试数学试题】已知，则 4 cos 5 ,0 tan 4 AB7 1 7 CD 1 7 7 【答案】C 【解析】， 4 cos,0 5 a , 2 ， 33 sin,tan 54 则.故选 C tan1 ta
22、n 41tan 3 1 1 4 3 7 1 4 【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题解答 本题时， 根据已知的值， 结合同角三角函数关系式可求 tan， 然后根据两角差的正切公式即可求解 cos 20 【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学文试题】已知函数的相 ( )sin() 6 f xx(0) 邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则 2 6 ( )g x( )g x AB sin() 3 x sin(2) 3 x CDcos2x cos(2) 3 x 【答案】C 【解析】由函数的相邻对称轴之间的距离为
23、，得，即，所 ( )sin()(0) 6 f xx 2 22 T T 以，解得， 2 2 将函数的图象向左平移个单位， ( )sin(2) 6 f xx 6 得到的图象，故选 C ( )sin2()sin 2cos2 6636 g xxxx 【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质 的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型解答本题时，首先利用函数的图象求 出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果 21 【河南省郑州市 2019 届高三第三次质量检测数学试题】已知函数， sinf xAx 的部分图象如图所示，则使成立的的
24、最小正值为 0,0, 2 A 0f axf axa AB 12 6 CD 4 3 【答案】B 【解析】由图象易知，即，且，即，2A (0)1f2sin1 2 6 由图可知，所以，即， 11 ()0, 12 f 1111 sin()0, 126126 kkZ 122 , 11 k k Z 又由图可知，周期，且， 1121124 , 121211 T 0 所以由五点作图法可知，2,2k 所以函数， ( )2sin(2) 6 f xx 因为，所以函数关于对称，0f axf ax( )f x xa 即有，所以可得， 2, 62 akkZ , 26 k akZ 所以的最小正值为. a 6 故选 B. 【
25、名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关 键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出，可得函数的解析式，再由, ,A ( )f x 易知的图象关于对称，即可求得 a 的值.0f axf ax( )f x xa 22 【山东省实验中学等四校 2019 届高三联合考试数学试题】在中，分别为角，ABC a b c AB 的对边，若的面积为，且，则CABCS 2 2 4 3Sabc sin 4 C A1B 2 2 CD 62 4 62 4 【答案】D 【解析】由，得， 2 2 4 3Sabc 222 1 4 3sin2 2 abCabcab ， 222 2
26、cosabcabC2 3sin2cos2abCabCab 即，即，则，3sincos1CC 2sin1 6 C 1 sin 62 C ，即，0C 5 666 C 66 C 3 C 则， sinsinsincoscossin 4343434 C 321262 22224 故选 D 【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利C 用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定 理进行化简求出的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可C 23 【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学试题】在中，角
27、，的对边ABCABC 分别为，若，则角 a b c 1a 3sincos( 3sin)cos0ACCbAA AB 2 3 3 CD 6 5 6 【答案】D 【解析】，1a 3sincos( 3sin)cos0ACCbA ，3sincos3sincoscosACCAbA ，3sin()3sincosACBbA ，3 sincosaBbA 由正弦定理可得：，3sinsinsincosABBA ，即，sin0B 3sincosAA 3 tan 3 A ，.故选 D(0,)A 5 6 A 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题解答本 题时，由，可得，再由正弦定
28、理得到3sincos( 3sin)cos0ACCbA3 sincosaBbA ，结合，即可求得的值 3 tan 3 A (0,)A A 24 【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在中，、分别是内角、ABC a b c AB 的对边，且.C3 cossin( coscos)bAA aCcA （1）求角的大小；A （2）若，的面积为，求的周长2 3a ABC 5 3 4 ABC 【答案】 （1）；（2）. 3 A 5 3 【解析】 （1），3 cossin( coscos)bAA aCcA 由正弦定理可得： ，3sincossin(sincossincos)BAAACCAs
29、insin()sinsinAACAB 即，3sincosBAsinsinAB ，sin0B ，tan3A ，(0,)A 3 A （2），的面积为， 3 A 2 3a ABC 5 3 4 ， 135 3 sin 244 bcAbc ，5bc 由余弦定理可得：， 222 2cosabcbcA 即，解得：， 2222 12()3()15bcbcbcbcbc3 3bc 的周长为.ABC2 33 35 3abc 【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解 三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 （1） 由正弦定理， 两角和的正弦函数公式化简
30、已知等式可得， 由，3sincossinsinBAABsin0B 可求，结合，可求tan3A (0,)A 3 A （2）利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理可得，即可计算的周5bc 3 3bcABC 长的值 25 【北京市昌平区 2019 届高三 5 月综合练习 （二模） 数学试题】 已知函数. 1 (=cos ( 3sincos )+ 2 f xxxx） （1）求的值； ( ) 3 f （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围 0, 2 x( )2cf xcc 【答案】 （1）1；（2）. 1 ( 1,) 2 【解析】 （1） 2 1 (= 3sincoscos+ 2 f xxxx）
31、 31 =sin2cos2 22 xx ， =sin(2) 6 x 所以. ( )1 3 f （2）因为， 0 2 x 所以， 5 2 666 x 所以. 1 sin 2 26 x （） 1 由不等式恒成立，得，解得.( )2cf xc 1 2 21 c c 1 1 2 c 所以实数的取值范围为. c 1 ( 1,) 2 【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. （1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可； （2）首先求得函数在区间上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于 c 的不等式组，求 f x 0, 2 解不等式组可得 c 的取值范围.