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1、课时跟踪检测（五十二） 直线与圆锥曲线课时跟踪检测（五十二） 直线与圆锥曲线 1过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等 于 2，则这样的直线( ) A有且只有一条 B有且只有两条 C有且只有三条 D有且只有四条 解析：选 B 设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|AF|FB|xA xB xAxB132p2.所以符合条件的直线有且只有两条 p 2 p 2 2(2019张掖高三诊断)过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点， 若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|( ) 10 3 A. B. 13 3 14 3 C5 D
2、.16 3 解析：选 D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|px1x2.p2，|AB|2 10 3 . 16 3 3(2018聊城二模)已知直线l与抛物线C：y24x相交于A，B两点，若线段AB的 中点为(2,1)，则直线l的方程为( ) Ayx1 By2x5 Cyx3 Dy2x3 解析：选 D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有Error!得yy4(x1x2)，由题 2 12 2 可知x1x2. 2， 即kAB2， 直线l的方程为y12(x2)， 即 2xy y1y2 x1x2 4 y1y2 4 2 30.故选 D. 4 (2019厦门模拟)过双曲线C：1 的左焦点作倾斜角为的直线l
3、， 则直线l x2 4 y2 9 6 与双曲线C的交点情况是( ) A没有交点 B只有一个交点 C有两个交点且都在左支上 D有两个交点分别在左、右两支上 解析 ： 选 D 直线l的方程为y， 代入C：1， 整理得 23x28x 3 3 (x 13) x2 4 y2 9 13 1600，(8)24231600，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次13 方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上 5已知抛物线yx23 上存在关于直线xy0 对称的相异两点A，B，则|AB| ( ) A3 B4 C3 D422 解析 ： 选C 由题意可设lAB为yxb， 代入yx2
4、3得x2xb30， 设A(x1，y1)， B(x2，y2)，则x1x21，x1x2b3，y1y2x1bx2b12b.所以AB中点坐 标为， 该点在xy0 上， 即 0， 得b1， 所以|AB| ( 1 2， 1 2b) 1 2( 1 2b) 112 3.x1x224x1x22 6(2019青岛模拟)已知点A是抛物线C：x22py(p0)的对称轴与准线的交点，过 点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若APQ 的面积为 4，则p的值为( ) A. B1 1 2 C. D2 3 2 解析 ： 选 D 设过点A与抛物线相切的直线方程为ykx .由Error!得x22pkxp2 p 2 0， 由
5、4k2p24p20，可得k1， 则 Q，P， (p， p 2)(p， p 2) APQ 的面积为 2pp4，p2.故选 D. 1 2 7 已知双曲线C：1(a0，b0)， 过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点， x2 a2 y2 b2 且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为( ) A2 B.3 2 C. D. 3 5 5 5 2 解析 ： 选 B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由AB的中点为N(12， 15)， 得x1x224，y1y230， 由Error! 两式相减得：， x1x2x1x2 a2 y1y2y1y2 b2 则.由直线AB的斜率k1，1，则 ， y
6、1y2 x1x2 b2x1x2 a2y1y2 4b2 5a2 156 123 4b2 5a2 b2 a2 5 4 双曲线的离心率e . c a 1b 2 a2 3 2 8(2019福州模拟)已知抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为 1 的直 线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，MNy轴于 点N，若四边形CMNF的面积等于 7，则E的方程为( ) Ay2x By22x Cy24x Dy28x 解析：选 C F，直线AB的方程为yx . ( p 2，0) p 2 联立得方程组Error!可得x23px0， p2 4 设A(x1，y1)，B(x2
7、，y2)，则x1x23p， 则y1y2x1x2p2p， M，N(0，p)，直线MC的方程为yx. ( 3p 2 ，p) 5p 2 C， 四边形CMNF的面积为S梯形OCMNSONF p7， ( 5p 2 ，0) ( 3p 2 5p 2)p 2 1 2 p 2 7p2 4 又p0，p2，即抛物线E的方程为y24x.故选 C. 9 (2018湖北十堰二模)如图，F1，F2是双曲线C：1(a0， x2 a2 y2 b2 b0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A，B.若 ABF2为等边三角形， 则双曲线的离心率为( ) A4 B. 7 C. D. 2 3 3 3 解析：选 B AB
8、F2为等边三角形， |AB|AF2|BF2|，F1AF260. 由双曲线的定义可得|AF1|AF2|2a， |BF1|2a. 又|BF2|BF1|2a，|BF2|4a. |AF2|4a，|AF1|6a. 在AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF2|AF1|cos 60， (2c)2(6a)2(4a)224a6a ，即c27a2， 1 2 e .故选 B. c a c2 a2 7 10(2019贵阳模拟)已知双曲线x2y21 的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：ykxm 与圆x2y21 相切， 且与双曲线左、 右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x
9、2，y2)， 则x2x1的最 小值为( ) A2 B22 C4 D3 2 解析：选 A l与圆相切， 原点到直线的距离d1， |m| 1k2 m21k2，由Error!得(1k2)x22mkx(m21)0， Error! k21，1k1，由于x1x2， 2mk 1k2 x2x1，x1x224x1x2 2 2 |1k2| 2 2 1k2 0k21， 当k20 时，x2x1取最小值 2.故选 A.2 11 (2019安庆模拟)设抛物线x24y的焦点为F， 点A，B在抛物线上， 且满足AF ，若| ，则的值为_FB AF 3 2 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线x24y得焦点F
10、的坐标为(0,1)， 准线方程为y1， | ，y11 ，解得y1 ，AF 3 2 3 2 1 2 x1，由抛物线的对称性取x1，22 A，直线AF的方程为yx1， ( 2， 1 2) 2 4 由Error!解得Error!或Error! B(2，2)，|213，2FB ，|， 3，解得 .AF FB AF FB 3 2 1 2 答案：1 2 12(2019武汉调研)已知直线MN过椭圆y21 的左焦点F，与椭圆交于M，N两 x2 2 点直线PQ 过原点O且与直线MN平行，直线PQ 与椭圆交于P，Q 两点，则_. |PQ|2 |MN| 解析 ： 法一 ： 由题意知， 直线MN的斜率不为 0， 设直
11、线MN的方程为xmy1， 则直线PQ 的方程为xmy.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)， Q(x4，y4).Error!(m22)y22my10 y1y2，y1y2. 2m m22 1 m22 |MN|y1y2|2.1m22 m21 m22 Error!(m22)y220y3y40，y3y4. 2 m22 |PQ|y3y4|2 .1m22 m21 m22 故2. |PQ|2 |MN| 2 法二 ： 取特殊位置， 当直线MN垂直于x轴时， 易得|MN|， |PQ|2b2， 则 2b2 a 2 |PQ|2 |MN| 2.2 答案：2 2 13 (2019石家庄重中高中摸底)已
12、知抛物线C：y22px(p0)， 直线l：y(x1)，3 l与C交于A，B两点，若|AB|，则p_. 16 3 解析：由Error!消去y，得 3x2(2p6)x30，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系 数的关系， 得x1x2，x1x21， 所以|AB|22 2p6 3 x1x224x1x2 ，所以p2. 2p62 9 4 16 3 答案：2 14(2018深圳二模)设过抛物线y22px(p0)上任意一点P(异于原点O)的直线与 抛物线y28px(p0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y28px(p0)的另一个交点为 Q， 则_. S ABQ S ABO 解析：设直线OP的方程为y
13、kx(k0)， 联立得Error!解得P， ( 2p k2， 2p k) 联立得Error!解得 Q， ( 8p k2， 8p k) |OP| ， 4p2 k4 4p 2 k2 2p1k2 k2 |PQ| ， 36p2 k4 36p 2 k2 6p1k2 k2 3. S ABQ S ABO |PQ| |OP| 答案：3 15已知抛物线E：y22px(p0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为 4. (1)求抛物线E的方程； (2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为1，求直线l 的方程 解：(1)抛物线E：y22px(p0)的准线方程为x ， p 2 由抛物线的
14、定义可知 3 4， ( p 2) 解得p2，抛物线E的方程为y24x. (2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y24x，焦点F(1,0)， 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则Error! 两式相减，整理得 (x1x2) y2y1 x2x1 4 y2y1 线段AB中点的纵坐标为1， 直线l的斜率kAB2， 4 y2y1 4 1 2 直线l的方程为y02(x1)，即 2xy20. 法二：由(1)得抛物线E的方程为y24x，焦点F(1,0)， 设直线l的方程为xmy1， 由Error!消去x，得y24my40. 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)
15、， 线段AB中点的纵坐标为1， 1，解得m ， y1y2 2 4m 2 1 2 直线l的方程为xy1，即 2xy20. 1 2 16(2019佛山模拟)已知直线l过点P(2,0)且与抛物线E：y24x相交于A，B两点， 与y轴交于点C，其中点A在第四象限，O为坐标原点 (1)当A是PC中点时，求直线l的方程； (2)以AB为直径的圆交直线OB于点D，求|OB|OD|的值 解：(1)A是PC的中点，P(2,0)，C在y轴上， A点的横坐标为 1，又A在第四象限，A(1，2) 直线l的方程为y2x4. (2)显然直线l的斜率不为 0， 设l的方程为xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联
16、立得方程组Error!消去x得y24my8 0， y1y28，故x1x24， y2 1 4 y2 2 4 D在以AB为直径的圆上，且在直线OB上，AD OD 设(x2，y2)，OD OB 则(x2x1，y2y1)，AD OD OA (x2x1)x2(y2y1)y20，AD OD 即2x42y80，易知0， 2 22 2 (xy)4. 2 22 2 |OB|OD|x2 2y2 22x2 22y2 2 |(xy)4. 2 22 2 17(2019广州调研)如图，在直角坐标系xOy中，椭圆C： y2 a2 1(ab0)的上焦点为F1，椭圆C的离心率为 ，且过点. x2 b2 1 2(1， 2 6 3
17、) (1)求椭圆C的方程； (2)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆C交于点B(B不在y轴上)， 垂直于l的直线 与l交于点M，与x轴交于点H，若0，且|MO|MA|，求直线l的方程F1B F1H 解：(1)因为椭圆C的离心率为 ， 1 2 所以 ，即a2c. c a 1 2 又a2b2c2，所以b23c2，即b2a2， 3 4 所以椭圆C的方程为1. y2 a2 x2 3 4a 2 把点代入椭圆C的方程中，解得a24. (1， 2 6 3) 所以椭圆C的方程为1. y2 4 x2 3 (2)由(1)知，A(0,2)，设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为ykx2， 由Error!得(3
18、k24)x212kx0. 设B(xB，yB)，得xB， 12k 3k24 所以yB， 6k28 3k24 所以B. ( 12k 3k24， 6k28 3k24) 设M(xM，yM)，因为|MO|MA|，所以点M在线段OA的垂直平分线上， 所以yM1，因为yMkxM2，所以xM ， 1 k 即M. ( 1 k，1) 设H(xH,0)，又直线HM垂直于直线l， 所以kMH ，即 . 1 k 1 1 kx H 1 k 所以xHk ，即H. 1 k(k 1 k，0) 又F1(0,1)，所以，.F1B ( 12k 3k24， 49k2 3k24) F1H (k 1 k，1) 因为0，所以0，F1B F1H 12k 3k24(k 1 k) 49k2 3k24 解得k. 2 6 3 所以直线l的方程为yx2. 2 6 3