《黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练二十七5.3平面向量的数量积及应用举例理含解析新人教A版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练二十七5.3平面向量的数量积及应用举例理含解析新人教A版.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、核心素养提升练二十七核心素养提升练二十七 平面向量的数量积及应用举例平面向量的数量积及应用举例 (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知|a a|=6,|b b|=3,向量 a a 在 b b 方向上的投影是 4,则 a ab b 为( ) A.12B.8C.-8D.2 【解析】选 A.因为|a a|cos=4,|b b|=3, 所以 a ab b=|a a|b b|cos=34=12. 2.如图,在圆 C 中,点 A,B 在圆上,则的值( ) A.只与圆 C 的半径有关 B.既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关 C.只与弦 AB 的长度有关
2、D.是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值 【解析】选 C.如图,过圆心 C 作 CDAB,垂足为 D,则= |cosCAB=|2.所以的值只与弦 AB 的长度有关. 3.在ABC 中,若|2=+,则ABC 是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.直角三角形 【解析】选 D.依题意得|2=(+)+=|2+,所以 =0,ABC 是直角三角形. 【变式备选】已知向量 a a=(,1),b b=(0,1),c c=(k,),若 a a+2b b 与 c c 垂直,则 k=( ) A.-3 B.-2 C.1 D.-1 【解析】 选A.因为a a+2b b与c c垂直,所以(
3、a a+2b b)c c=0,即a ac c+2b bc c=0,所以k+2=0, 解得 k=-3. 4.已知ABC 为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足=,=(1-),R,若 =-,则 =( ) A.B. C.D. 【解析】选 A.因为=-, 所以-= = =-|2-|2+ =-4-4+2 =-22+2-2,解得=. 【一题多解】 选 A.如图,建立平面直角坐标系, 设 A(-1,0),B(1,0), C(0,),另设 P(x1,0), Q(x2,y2),由=,得 x1=2-1, 由=(1-),得 x2=-;y2=(1-), 于是=(-1,(1-), =(2-1,-), 由=-得: (
4、-1)(2-1)-3(1-) =-,解得=. 【变式备选】已知非零向量 a a,b b 的夹角为,且|b b|=1,|b b-2a a|=1, 则|a a|=( ) A. B.1 C. D.2 【解析】 选A.依题意得(b b-2a a)2=1,即b b2+4a a2-4a ab b=1,1+4|a a|2-2|a a|=1, 4|a a|2-2|a a|=0(|a a| 0), 因此|a a|=. 5.(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+ )的最小值是( ) A.-2B.-C.-D.-1 【解析】选 B.取 BC 的中点 D,以 BC 为 x 轴,
5、BC 的垂直平分线 AD 为 y 轴,D 为坐标原点建立坐 标系,则 A(0,),B(-1,0),C(1,0),设 P(x,y),所以=(-x,-y),=(-1-x,-y), =(1-x,-y),所 以+=(-2x,-2y), (+)=2x2-2y(-y)=2x2+2- -,当 P时,(+)取得最小值,最小值为-. 【变式备选】已知平面向量 a a,b b 的夹角为 120,且 a ab b=-1,则|a a-b b|的最小值为( ) A. B. C. D.1 【解析】选 A.由题意可知-1=a ab b=|a a|b b|cos 120,所以 2=|a a|b b|,即 |a a|2+|b
6、b|24,当且仅当|a a|=|b b|时等号成立,|a a-b b|2=a a2-2a ab b+b b2 =a a2+b b2+24+2=6,所以|a a-b b|,所以|a a-b b|的最小值为. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.已知向量m m=(+1,1),n n=(+2,2),若(m m+n n)(m m-n n),则向量m m,n n的夹角的余弦值为_. 【解析】 因为m m+n n=(2+3,3),m m-n n=(-1,-1),所以由(m m+n n)(m m-n n)得(m m+n n)(m m-n n)=0,即(2+3) (-1)+3(-1)=0,解得=-
7、3,则 m m=(-2,1),n n=(-1,2), 所以 cos=. 答案: 7.(2019济南模拟)已知A(-1,cos ),B(sin ,1),若|+|=|-|(O为坐标原点), 则锐角 =_. 【解析】利用几何意义求解:由已知可得,+是以 OA,OB 为邻边所作平行四边形 OADB 的 对角线向量,-则是对角线向量,由对角线相等的平行四边形为矩形.知 OAOB. 因此=0,所以锐角=. 答案: 【一题多解】坐标法:+=(sin -1,cos +1),-=(-sin -1, cos -1),由|+|=|-|可得(sin -1)2+(cos +1)2=(-sin -1)2+ (cos -1
8、)2,整理得 sin =cos ,于是锐角=. 答案: 8.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,BAD=60,M 为 DC 的中点,若 N 为菱形内任意一点(含边界), 则 的最大值为_. 【解析】由平面向量的数量积的几何意义知,等于|与在方向上的投 影之积,所以()ma ax=(+)=|2+|2 +=9. 答案:9 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知向量 a a=,b b=(cos x,-1). (1)当 a ab b 时,求 2cos2x-sin 2x 的值. (2)求 f(x)=(a a+b b)b b 在上的值域. 【解析】(1)因为 a ab b,所以cos x+
9、sin x=0, 所以 tan x=-, 2cos2x-sin 2x= =. (2)因为 a a+b b=. f(x)=(a a+b b)b b=sin. 因为-x0,所以-2x+, 所以-1sin, 所以-f(x), 所以函数 f(x)的值域为. 10.已知向量 a a1=(1,-7),d d=(1,1),对任意 nN*都有 a an+1=a an+d d. (1)求|a an|的最小值. (2)求正整数 m,n,使 a ama an. 【解析】(1)设 a an=(xn,yn),由 a an+1=a an+d d 得所以xn,yn都是公差为 1 的等差数列. 因为 a a1=(1,-7),
10、所以 xn=n,yn=n-8, a an=(n,n-8), |a an|=4, |a an|的最小值为 4. (2)由(1)可知 a an=(n,n-8),a am=(m,m-8), 由已知 a ama an得:a ama an=0, mn+(m-8)(n-8)=0,(m-4)(n-4)=-16 因为 m,nN+,所以或或 或 【变式备选】一条河的两岸平行,河的宽度 d=500 m,一艘船从 A 处出发到河对岸.已知船的速 度|v v1|=10 km/h,水流速度|v v2|=2 km/h.要使船行驶的时间最短,那么船行驶的距离与合速度的 比值必须最小.此时我们分三种情况讨论: 当船逆流行驶,
11、与水流成钝角时; 当船顺流行驶,与水流成锐角时; 当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时. 请同学们计算上面三种情况,并判断是否当船垂直于对岸行驶时,与水流成直角时,所用时间 最短 【解析】设 v v1与 v v2的夹角为,合速度为 v v,v v2与 v v 的夹角为,行驶距离为 d, 则 sin = 所以当=90,即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. (20 分钟 40 分) 1.(5 分)已知菱形 ABCD 的边长为 6,ABD=30,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC=2BE,CD=CF. 若 =-9,则 的值为( ) A.2B.3C.4D.5 【解析】选 B.依题意得=+ =-,=
12、+, 因此= =-+, 于是有62+62cos 60=-9,由此解得=3. 2.(5 分)(2018宜春模拟)已知向量与的夹角为 ,|=2, |=1,=t,=(1-t),|在 t0时取最小值,当 0I3,作 AGBD 于 G,又因为 AB=AD, 所以 OB,即 I1I3,所以 I30,所以 nm. 从而DBC45,又因为BCO=45,所以BOC 为锐角. 从而AOB 为钝角.故 I10. 又因为 OA1), =-2(21), 从而 I3=12=12I1, 又因为 121,I10,I30, 所以 I3I1,所以 I3I1I2. 【变式备选】已知圆 O 的半径为 1,A,B 是圆上的两点,且AO
13、B=,MN 是圆 O 的任意一条直径, 若点 C 满足=+(1-) (R),则的最小值为_. 【解析】由题意可得=(+)(+)=+(+)+ , 因为 MN 是圆 O 的任意一条直径, 所以+=0 0,=-1, 所以=+0-1=-1. 要求的最小值问题就是求的最小值,因为=+(1-)(R), 所以点 C 在直线 AB 上,则当 C 在 AB 中点时,OCAB,OC 最小为等边三角形 AOB 的高线为, 此时=,故的最小值为-1=-. 答案:- 4.(12 分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点 A(1,0)和点 B(-1,0),|=1,且AOC=x, 其中 O 为坐标原点. (1)若 x=,设
14、点 D 为线段 OA 上的动点,求|+|的最小值. (2)若 x,向量 m m=,n n=(1-cos x,sin x-2cos x),求 m mn n 的最小值及对应的 x 值. 【解析】(1)设 D(t,0)(0t1), 当 x=时,可得 C, 所以+=, 所以|+|2=+(0t1), 所以当 t=时,|+|2取得最小值为, 故|+|的最小值为. (2)由题意得 C(cos x,sin x),m m=(cos x+1,sin x), 则 m mn n=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x =1-cos 2x-sin 2x=1-sin. 因为 x,所以2x+. 所以当 2x+=
15、,即 x=时, m mn n=1-sin取得最小值 1-, 所以 m mn n 的最小值为 1-,此时 x=. 5.(13 分)已知向量 a a=(cos ,sin ),b b=(cos ,sin ),c c=(-1,0). (1)求向量 b b+c c 的模的最大值. (2)设 =,且 a a(b b+c c),求 cos 的值. 【解析】(1)b b+c c=(cos -1,sin ), 则|b b+c c|2=(cos -1)2+sin2=2(1-cos ). 因为-1cos 1,所以 0|b b+c c|24, 即 0|b b+c c|2. 当 cos =-1 时,有|b b+c c|
16、=2, 所以向量 b b+c c 的模的最大值为 2. (2)若=,则 a a=. 又由 b b=(cos ,sin ),c c=(-1,0)得 a a(b b+c c)=(cos -1,sin ) =cos +sin -. 因为 a a(b b+c c),所以 a a(b b+c c)=0, 即 cos +sin =1, 所以 sin =1-cos , 平方后化简得 cos (cos -1)=0, 解得 cos =0 或 cos =1. 经检验 cos =0 或 cos =1 即为所求. 【方法技巧】涉及三角问题求解方法: 去除向量的包装外衣,转化为形如:y=Asin(x+)+k,但一定要关注自变量 x 的取值范围.另 外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式,处理的结果之一 就是转化为形如:y=Asin(x+),这一点很重要.