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1、2003 年全国高中数学联合竞赛试卷2003 年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试第一试 (10 月 12 日上午 8:009:40) 一、选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1(2003 年全国高中数学联赛)删去正整数数列 1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数 列这个数列的第 2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2设 a，bR，ab0，那么直线 axy+b=0 和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是 3过抛物线 y2=8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60的直线，若此直线与抛物线交于 A、B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交
2、于点 P，则线段 PF 的长等于 (A) (B) (C) (D) 8 16 3 8 3 16 3 33 4若 x， ，则 y=tan(x+)tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是 5 12 3 2 3 6 6 (A) (B) (C) (D) 12 5 2 11 6 2 11 6 3 12 5 3 5已知 x，y 都在区间(2，2)内，且 xy=1，则函数 u=+的最小值是 4 4x2 9 9y2 (A) (B) (C) (D) 8 5 24 11 12 7 12 5 6在四面体 ABCD 中， 设 AB=1，CD=，直线 AB 与 CD 的距离为 2，夹角为 ，则四面体 ABCD3 3
3、的体积等于 (A) (B) (C) (D) 3 2 1 2 1 3 3 3 二填空题(每小题 9 分，共 54 分) 7不等式|x|32x24|x|+3mn0 已知=， 其中x=xx， 而x表示不超过 x 的最大整数 求这种三角形周长的最小值 3l 104 3m 104 3n 104 三、 （本题 50 分） 由 n 个点和这些点之间的 l 条连线段组成一个空间图形，其中 n=q2+q+1，l q(q+1)2+1，q2，q 1 2 N已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有 q+2 条连线段证明：图中必存 在一个空间四边形(即由四点 A、B、C、D 和四条连线段 AB、BC
4、、CD、DA 组成的图形) 1997 年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1删去正整数数列 1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第 2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 解：452=2025，462=2116 在 1 至 2025 之间有完全平方数 45 个，而 2026 至 2115 之间没有完全平方数故 1 至 2025 中共有新 数列中的 202545=1980 项还缺 20031980=23 项由 2025+23=2048知选 C 2设 a，bR，ab0，那么直线 axy+b=
5、0 和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是 解：曲线方程为 + =1，直线方程为 y=ax+b x2 a y2 b 由直线图形，可知 A、C 中的 a0，C 图的 b0，ba)为长轴的椭圆 C 而 MN 上任一异于 P 的点 Q， 都有 OQ+QA=OQ+QAOA 故点 Q 在椭圆 C 外即折痕上所有的点都在椭圆 C 上及 C 外 反之， 对于椭圆 C 上或外的一点 S， 以 S 为圆心， SA 为半径作圆， 交O 于 A，则 S 在 AA的垂直平分线上，从而 S 在某条折痕上 最后证明所作S 与O 必相交 1 当 S 在O 外时，由于 A 在O 内，故S 与O 必相交； 2 当 S 在O 内
6、时(例如在O 内， 但在椭圆 C 外或其上的点 S)， 取过 S的半径 OD， 则由点 S在椭圆 C 外， 故 OS+SAR(椭圆的长轴) 即 SASD 于是 D 在S内或上， D S M N S Q P A OA 即S与O 必有交点 于是上述证明成立 综上可知，折痕上的点的集合为椭圆 C 上及 C 外的所有点的集合 加试题 (10 月 12 日上午 10:0012:00) 一、 （本题 50 分） 过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线，切点为 A、B，所作割线交圆于 C、D 两点，C 在 P、D 之 间在弦 CD 上取一点 Q，使DAQ=PBC 求证：DBQ=PAC 分 析 ： 由 PB
7、C= CDB， 若 DBQ= PAC= ADQ， 则 BDQ DAQ 反 之 ， 若 BDQ DAQ则本题成立而要证BDQDAQ，只要证=即 BD AD DQ AQ 可 证明：连 AB PBCPDB， =，同理，= BD BC PD PB AD AC PD PA PA=PB， = BD AD BC AC BAC=PBC=DAQ，ABC=ADQ ABCADQ = = BC AC DQ AQ BD AD DQ AQ DAQ=PBC=BDQ ADQDBQ DBQ=ADQ=PAC证毕 二、 （本题 50 分） 设三角形的三边长分别是正整数 l，m，n且 lmn0 已知=， 其中x=xx， 而x表示不超
8、过 x 的最大整数 求这种三角形周长的最小值 3l 104 3m 104 3n 104 解：当 3l、3m、3n的末四位数字相同时，= 3l 104 3m 104 3n 104 即求满足 3l3m3n( mod 104)的 l、m、n 3n(3ln1)0 (mod 104)(ln0) 但 (3n，104)=1，故必有 3ln1(mod 104)；同理 3mn1(mod 104) 下面先求满足 3x1(mod 104)的最小正整数 x (104)=104 =4000故 x|4000用 4000 的约数试验： 1 2 4 5 x=1，2，时 3x1(mod 10)，而 341(mod 10)， x
9、 必须是 4 的倍数； x=4，8，12，16 时 3x1(mod 102)，而 3201(mod 102)， x 必须是 20 的倍数； x=20，40，60，80 时 3x1(mod 103)，而 31001(mod 103)， x 必须是 100 的倍数； x=100，200，300，400 时 3x1(mod 104)，而 35001(mod 104) 即，使 3x1(mod 104)成立的最小正整数 x=500，从而 ln、mn 都是 500 的倍数， 设 ln=500k，mn=500h，(k，hN*，kh) 由 m+nl，即 n+500h+nn+500k，n500(kh)500，故
10、 n501 取 n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值 所求周长的最小值=3003 三、 （本题 50 分） 由 n 个点和这些点之间的 l 条连线段组成一个空间图形，其中 n=q2+q+1，l q(q+1)2+1，q2，q 1 2 N已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有 q+2 条连线段证明：图中必存 在一个空间四边形(即由四点 A、B、C、D 和四条连线段 AB、BC、CD、DA 组成的图形) 证明 ： 设点集为 VA0，A1，An1，与 Ai连线的点集为 Bi，且|Bi|bi于是 1bin1又显 然有 O Q C D B A P bi2l
11、q(q+1)2+2 i0 n1 若存在一点与其余点都连线，不妨设 b0n1 则 B0中 n1 个点的连线数 lb0 q(q+1)2+1(n1) (注意：q(q+1)q2+qn1) 1 2 (q+1)(n1)(n1)+1 (q1)(n1)+1 1 2 1 2 (n1)+1 (n1)+1(由 q2) 1 2 1 2 但若在这 n1 个点内， 没有任一点同时与其余两点连线， 则这 n1 个点内至多连线条， 故在 B0 n1 2 中存在一点 Ai，它与两点 Aj、Ak(i、j、k 互不相等，且 1i，j，k)连了线，于是 A0、Aj、Ai、Ak连成四边形 现设任一点连的线数n2且设 b0q+2n2且设
12、图中没有四边形于是当 ij 时，Bi与 Bj没 有公共的点对， 即|BiBj|1(0i， jn1) 记VB0， 则由|BiB0|1， 得|Bi|bi1(i1， 2， nB0 B0 1)，且当 1i，jn1 且 ij 时，Bi与 Bj无公共点对从而B0 B0 中点对个数(Bi中点对个数)即B0 i1 n1 B0 CCC 2 nb0 i1 n1 2 |Bi B0 | i1 n1 2 bi1 (b 3bi+2) (bi)23bi+2(n1)(由平均不等式) 1 2 i1 n1 2 i 1 2 1 n1 i1 n1 i1 n1 (2lb0)23(2lb0)+2(n1)(2lb0)23(n1)(2lb0
13、)+2(n1)2 1 2 1 n1 1 2(n1) (2lb0n+1)(2lb02n+2)(2lq(q+1)2+2(n1)(q+1)+2) 1 2(n1) (n1)(q+1)+2b0n+1(n1)(q+1)+2b02n+2 1 2(n1) (n1)q+2b0(n1)(q1)+2b0(两边同乘以 2(n1)即 1 2(n1) (n1)(nb0)(nb01)(nqq+2b0)(nqqn+3b0)(n1q(q+1)代入) 得 q(q+1)(nb0)(nb01)(nqq+2b0)(nqqn+3b0)(各取一部分因数比较) 但(nqqn+3b0)q(nb01)(q1)b0n+3(b0q+2)(q1)(q
14、+2)n+3q2+q+1n0 (nqq+2b0)(q+1)(nb0)qb0qn+2q(q+1)n+210 又(nqqn+3b0)、(nqq+2b0)、q(nb01)、(q+1)(nb0)均为正整数， 从而由、得， q(q+1)(nb0)(nb01)(nqq+2b0)(nqqn+3b0) 由、矛盾，知原命题成立 又证：又证：画一个 nn 表格，记题中 n 个点为 A1，A2，An，若 Ai与 Aj连了线，则将表格中第 i 行 j 列的方格中心涂红于是表中共有 2l 个红点，当 d(Ai)m 时，则表格中的 i 行及 i 列各有 m 个红点且表 格的主对角线上的方格中心都没有涂红 由已知，表格中必
15、有一行有 q2 个红点不妨设最后一行前 q2 格为红点其余格则不为红点(若 有红点则更易证)，于是：问题转化为：证明存在四个红点是一个边平行于格线的矩形顶点 若否， 则表格中任何四个红点其中心都不是一个边平行于格线的矩形顶点 于是， 前 n1 行的前 q2 个方格中， 每行至多有1 个红点 去掉表格的第 n 行及前 q2 列， 则至多去掉q2(n1)q2q2q (q1)21 个红点于是在余下(n1)(nq2)方格表中，至少有 2l(q1)21q(q1)22(q1)21(q1)(q1)21q3q2q 个红点 设此表格中第i行有mi(i1， 2， n1)个红点， 于是， 同行的红点点对数的总和C
16、其中n1 i1 n1 2 mi q2q(由于当 nk 时，C C CC，故当红点总数为 q3q2q 个时，可取 q2行每行取 q 个红 2 n 2 k 2 n1 2 k1 点，q 行每行取 q1 个红点时C取最小值，由下证可知红点数多于此数时更有利于证明即) i1 n1 2 mi 但 q2C qCC 2 q 2 q1 i1 n1 2 mi 由假设，不存在处在不同行的 2 个红点对，使此四点两两同列，所以，有(由于去掉了 q2 列，故还 余 q21 列，不同的列对数为 C) 2 q21 C C i1 n1 2 mi 2 q21 所以 q2q(q1)q(q1)(q2)(q21)(q22) q(q1)(q2q2)(q1)(q1)(q22)q3q22qq3q22q2矛盾故证