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1、问题 28 立体几何中折叠问题问题 28 立体几何中折叠问题 一、考情分析 立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题, 多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主 要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等. 二、经验分享 (1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照 某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几 何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几
2、何体的表面展开问题.折叠与 展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展 开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点. (2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发 生变化，我们称其为“不变量” 求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键 (3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲 面上最短路线的一种常用方法. 三、题型分析三、题型分析 (一) 平面图形的折叠(一) 平面图形的折叠 解答
3、折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的 数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起 点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等 的重要依据. 1. 折叠后的形状判断1. 折叠后的形状判断 【例 1】 如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成 正方体的是_(要求：把你认为正确图形的序号都填上) 【分析】根据平面图形的特征,想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形 进行
4、折叠. 【答案】 【解析】可以. 把横着的小方形折起后,再折竖着的小方形,则最上方的小方形与正方体的一个侧面重合,导致正方体缺少 一个侧面； 把下方的小方形折起后,则上方的小方形中的第 1,2 个重合,导致正方体的底面缺少,不能折成正方体； 把中间的小方形当成正方体的底面,则右下方的小方形折叠不起来,构不成正方体. 【小试牛刀】下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（ ） A. B. C. D. 【例 2】 将图 1 中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图 2),则在空间四边 形ABCD中,AD与BC的位置关系是( ) 图 1 图 2
5、 A相交且垂直 B相交但不垂直 C异面且垂直 D异面但不垂直 【答案】C 【解析】在图 1 中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则ADBC,折叠后如图 2,AD 与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD、CD,这两条线段与AD垂直,即ADBD,ADCD,故AD平 面BCD,所以ADBC. 【小试牛刀】如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为边 BC,AD 的中点,将沿 BF 所在直线进行翻折,将 沿 DE 所在直线进行翻折,在翻折过程中（ ） A. 点 A 与点 C 在某一位置可能重合 B. 点 A 与点 C 的最大距离为 C. 直线 AB 与直线 CD
6、 可能垂直 D. 直线 AF 与直线 CE 可能垂直 3.折叠后几何体的数字特征3.折叠后几何体的数字特征 折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面, 也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的 数量关系之间的对应. 【例 3】（体积问题） 如图所示,等腰ABC的底边6 6AB ,高3CD ,点E是线段BD上异于点BD， 的动点,点F在BC边上,且EFAB,现沿EF将BEF折起到PEF的位置,使PEAE,记 BEx,( )V x表示四棱锥PACFE的体积 （1）求( )V x的表达式； （2）
7、当x为何值时,( )V x取得最大值？ P ED F B C A 【解析】 （1）由折起的过程可知,PE平面 ABC,9 6 ABC S, V(x)= （03 6x） （2）,所以 (0,6)x 时, ( )0v x ,V(x)单调递增 ；63 6x时 ( )0v x ,V(x)单调递减 ； 因此 x=6 时,V(x)取得最大值12 6. 【小试牛刀】 【河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期一诊】在平面四边形 中，AB=BC=2,AC=AD=2 ，现沿对角线 AC 折起,使得平面 DAC平面 ABC，则此时得到的三棱锥 D-ABC 外接球的表面 积为（ ） A B C D 【例 4】
8、（空间角问题）如左图,矩形ABCD中,12AB ,6AD ,E、F分别为CD、AB边上的点,且 3DE ,4BF ,将BCE沿BE折 起 至PBE位 置 (如 右 图 所 示 ),连 结AP、EF、PF,其 中 2 5PF . ()求证:PF 平面ABED； ()求直线AP与平面PEF所成角的正弦值. 【解析】()由翻折不变性可知, , , 在PBF中, ,所以PFBF 在图1中,易得, 在PEF中, ,所以PFEF 又,BF 平面ABED,EF 平面ABED,所以PF 平面ABED. . . A CD B E F 图图 图图 A B C D P E F ()方法一方法一:以D为原点,建立空间
9、直角坐标系Dxyz如图所示,则6,0,0A, , 0,3,0E,6,8,0F,所以, , , 设平面PEF的法向量为, ,x y zn,则 0 0 FP EF n n ,即,解得 5 6 0 xy z 令6y ,得, 设直线AP与平面PEF所成角为,则 8 1281 427 . 所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为 8 1281 427 . 方法二方法二:过点A作AHEF于H, 由()知PF 平面ABED,而AH 平面ABED 所以PFAH,又,EF 平面PEF,PF 平面PEF, 所以AH 平面PEF, 所以APH为直线AP与平面PEF所成的角. 在Rt APF中, 在AEF中,由等面积
10、公式得 48 61 在Rt APH中, 所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为 8 1281 427 . 【点评】折叠问题分析求解两原则： 解法二图解法二图 A B C D P E F H x y z 解法一图解法一图 A B C D P E F (1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系； (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变. 【小试牛刀】【广东省汕头市 2019 届高三上学期期末】 如图， 已知是边长为 6 的等边三角形， 点D、E 分别是边AB、AC上的点，且满足，如图，将沿DE折成四棱锥，且有平面 平面BCED 求证：平面BCED； 记的中点为M，求二面角
11、的余弦值 (二) 几何体的展开 (二) 几何体的展开 几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面距离的问题,解题时不妨将 它展开成平面图形试一试. 1.展开后形状的判断1.展开后形状的判断 【例 5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方 体是（ ） 解析解析：这是图模型,在右图中,把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面,有“空心圆”的正方形 做“上面”,显然是正方体 C 的展形图,故选（C）. 【小试牛刀】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图, 是一个正方体的平面展
12、开图,若图中的 “似” 表示正方体的前面, “锦” 表示右面, “程” 表示下面.则 “祝” 、 “你” 、 “前”分别表示正方体的_. 2.展开后的数字特征表面上的最短距离问题2.展开后的数字特征表面上的最短距离问题 【例 6】如图,已知圆柱体底面圆的半径为 2 ,高为 2,ABCD，分别是两底面的直径,ADBC，是母线若一 只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,求小虫爬行的最短路线的长度 【解析】如图,将圆柱的侧面展开, 其中AB为底面周长的一半,即,2AD . 则小虫爬行的最短路线为线段AC. 在矩形ABCD中,. 所以小虫爬行的最短路线长度为2 2. 【点评】几何体表面上的最短距离需要将
13、几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两 点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图,如长方体的表面展开图等,要把不 同展开图中的最短距离进行比较,找出其中的最小值. 【小试牛刀】如图,在长方体中, ,求沿着长方体表面从A到 1 C的最短路线长. 四、迁移运用四、迁移运用 1 【浙江省 2019 年高考模拟训练】已知四边形中，在将沿着翻 折成三棱锥的过程中， 直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角， 设二面角 ，的大小分别为，则（ ） A B C存在 D的大小关系无法确定 【答案】B 【解析】如图，在三棱锥中，作平面于 ，连， 则分别为与平面所成的角
14、 直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角， 过 作，垂足分别为，连， 则有， 分别为二面角，的平面角， 在中，设 BD 的中点为 O，则为边上的中线， 由可得点 H 在 CO 的左侧（如图所示） ， 又， 又为锐角， 故选 B 2.【四川省德阳市 2018 届高三二诊】以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的中线AD为折痕，将ABD 与ACD折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：BD 平面ACD；ABC为等边三角形； 平面ADC 平面ABC；点D在平面ABC内的射影为ABC的外接圆圆心.其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于三角形ABC为等腰直角三角形,故,
15、所以BD 平面ACD,故正确, 排除B选项.由于ADBD,且平面ABD 平面ACD,故AD 平面BCD,所以ADCD,由此可知 ,三角形为等比三角形,故正确,排除D选项.由于,且ABC为等边三 角形,故点D在平面ABC内的射影为ABC的外接圆圆心, 正确,故选C. 3.已知梯形如下图所示,其中, 为线段的中点,四边形为正方形,现沿进行折叠, 使得平面平面,得到如图所示的几何体.已知当点 满足时,平面平面, 则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为四边形为正方形,且平面平面,所以两两垂直,且,所以建立空 间直角坐标系（如图所示）,又因为,所以, 则, ,设平面的法向量为
16、,则由 得,取,平面的法向量为,则由得,取 , 因为平面平面,所以,解得.故选 C. 4.如图是棱长为 1 的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下结论错误的是（ ） A点M到AB的距离为 2 2 BAB与EF所成角是90 C三棱锥CDNE的体积是 1 6 DEF与MC是异面直线 【答案】D 【解析】根据正方体的平面展开图,画出它的立体图形如图所示,A中M到AB的距离为 2 22 MC ,A正 确；AB与EF所成角是90,B正确；三棱锥CDNE的体积是,C正确；/ /EFMC, D错误 5.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平 面ABC所成的角的
17、大小为（ ）度 A90 B60 C45 D30 【答案】C 【解析】折叠后所得的三棱锥中易知当平面ACD垂直平面ABC时三棱锥的体积最大设AC的中点为O, 则DBO即为所求,而DOB是等腰直角三角形,所以,故选 C 6.【辽宁省辽阳市 2018 学届高三第一次模拟】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方 形ABCD的中心为O， E， F， G， H为圆O上的点， ABE， BCF， CDG， ADH分别 以AB， BC， CD， DA为底边的等腰三角形， 沿虚线剪开后， 分别以AB， BC， CD， DA为折痕 折起ABE， BCF， CDG， ADH，使得E， F， G， H
18、重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥 的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为_ 【答案】 500 3 27 3 cm 【解析】如图： 连接 OE 交 AB 于点 I，设 E，F，G，H 重合于点 P，正方形的边长为 x0x ，则 OI= 2 x ， IE6 2 x . 因为该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍， 所以， 解得4x ，设该四棱锥的外接球的球心 为 Q，半径为 R，则，解得 5 R 3 ，外 接球的体积 3 cm 7【山东省济南市 2019 届高三上学期期末】 在正方形中， 点 ， 分别为，的中点， 将四边形 沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为_ 【答案】 【
19、解析】 连接 FC，与 DE 交于 O 点，取 BE 中点为 N， 连接 ON，CN，易得 ONBD CON 就是异面直线与所成角 设正方形的边长为 2， OC=，ON=，CN= cosCON= 故答案为： 8.如图所示,在四边形ABCD中, ,将四边形ABCD沿对角线 BD折成四面体BCDA ,使平面BDA/平面BCD,则下列结论正确的是 （1）BDCA； （2）； （3）A C 与平面BD A 所成的角为 30； （4）四面体BCDA 的体积为 6 1 【答案】 （2） （4） 【解析】平面 BDA/ 平面BCDCD平面 ABD, / CA与平面BDA/ 所成的角为 CAD ,四面体BCD
20、A / 的体积为, ,综上（2） （4）成立 9如图,矩形ABCD中,2ABAD,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成 1 ADE,若M为线 段 1 AC的中点,则在 ADE翻折过程中,下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项) （1）|BM是定值 （2）点M在某个球面上运动 （3）存在某个位置,使 1 DEAC （4）存在某个位置,使/ /MB平面 1 ADE 【答案】（1） （2） （4） 【解析】取CD中点F,连接MF,BF,则 1 / /MFDA,/ /BFDE,平面/ /MBF平面 1 ADE, / /MB平面 1 ADE,故（4）正确；由,为定值,FB DE为定值, 由余
21、弦定理可得,MB是定值,故（1）正确； B是定点,M是在以B为圆心,MB为半径的圆上,故 （2） 正确 ； 1 AC在平面ABCD中的射影为AC, AC与DE不垂直,存在某个位置,使 1 DEAC错误,故（3）错误 10 【四川省广元市高 2018 届第二次高考适应性统考】如图，在矩形ABCD中， 4AB ， 2AD ， E是CD的中点，以AE为折痕将DAE向上折起， D变为D，且平面D AE 平面ABCE. （）求证： ADEB； （）求二面角ABDE的大小. 【答案】 （）证明见解析；（） 90. 【解析】 （）证明：， AB4， ，AEEB， 取AE的中点M，连结MD，则， 平面D AE
22、平面ABCE， MD 平面ABCE，MD BE， 从而EB 平面AD E，ADEB （）如图建立空间直角坐标系， 则A 4,2,0、C 0,0,0、B 0,2,0、D 3,1, 2 ， E 2,0,0，从而BA =（4,0,0） ，. 设为平面ABD的法向量， 则可以取 设为平面BD E的法向量， 则可以取 因此， 12 nn0 ，有 12 nn ，即平面ABD 平面BD E， 故二面角的大小为90. 11.【福建省龙岩市 2019 届高三下学期教学质量检查】如图 1，已知菱形的对角线交于点 ，点 为线段的中点，将三角形沿线段折起到的位置，如图 2 所示 （）证明：平面 平面； （）求三棱锥的
23、体积 【解析】 （）折叠前，因为四边形为菱形，所以； 所以折叠后，, 又，平面， 所以平面 因为四边形为菱形，所以 又点 为线段的中点，所以 所以四边形为平行四边形 所以 又平面，所以平面 因为平面，所以平面平面 （）图 1 中，由已知得， 所以图 2 中，又 所以，所以 又平面，所以 又，平面， 所以平面， 所以 所以三棱锥的体积为 12【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试 （一模】 如图， 在多边形中 （图 1） ， 为长方形，为正三角形，现以为折痕将折起，使点 在平面内的 射影恰好在上（图 2）. （）证明：平面； （）若点 在线段上，且，当点 在线段上运动时，
24、求三棱锥的体积. 【解析】 （）过点 作，垂足为 . 由于点 在平面内的射影恰好在上， 平面. . 四边形为矩形，. 又，平面， . 又由，可得，同理. 又，且， 平面. （）设点 到底面的距离为 ， 则. 由，可知， . 又， . 13 【江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考】如图所示，在边长为 2 的菱形中， ，现将沿边折到的位置 （1）求证：； （2）求三棱锥体积的最大值 【解析】 （1）如图所示， 取的中点为 ，连接，易得，,又 面 （2）由（1）知 ， = ,当 时，的最大值为 1. 14 【云南师范大学附属中学 2019 届高三上学期第一次月考】如图所示甲，在四边形
25、 ABCD 中， ，是边长为 8 的正三角形，把沿 AC 折起到的位置，使得平面平面 ACD， 如图所示乙所示，点 O，M，N 分别为棱 AC，PA，AD 的中点 求证：平面 PON； 求三棱锥的体积 【解析】如图所示，为正三角形，O 为 AC 的中点， ， 平面平面 ACD，平面平面， 平面 ACD，平面 ACD， ， ，即 ，N 分别为棱 AC，AD 的中点， ， ， 又， 平面 PON； 解：由，可得， 点 O、N 分别是 AC、AD 的中点， ， 是边长为 8 的等边三角形， ， 又为 PA 的中点， 点 M 到平面 ANO 的距离， 又， 15【湖北省荆门市 2019 届高三元月调研
26、】 如图， 梯形中， 过分别作， ，垂足分别，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图 1 若，证明：平面； 2 若，线段上存在一点 ，满足与平面所成角的正弦值为，求的长 【解析】 1 由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为 2，在图 2 中， 由已知得，平面 又平面BDE， 又，平面 2 在图 2 中，即面DEFC， 在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE， 由题意得，由勾股定理可得，则， 过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直， 以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面ACD的一个法向量为， 由得,取得， 设，则m，得 设
27、CP与平面ACD所成的角为 ， 所以 16 【山西省吕梁市 2019 届高三上学期第一次模拟】 已知如图 （1） 直角梯形， ， 为的中点，沿将梯形折起（如图 2） ，使. （1）证明：平面； （2）求点 到平面的距离. 【解析】 （1）由已知可得为直角三角形，所以. 又，所以， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 又因为，平面，平面， 所以，平面，又因为，所以平面， 又因为平面，所以. 在直角中， 设点 到平面的距离为 ，由， 则，所以. 16.正ABC的边长为 4,CD是AB边上的高,E F分别是AC和BC边的中点,现将ABC沿CD翻折 成直二面角ADCB （1）试判断直线AB与平面
28、DEF的位置关系,并说明理由； （2）求二面角EDFC的余弦值； （3）在线段BC上是否存在一点P,使APDE？证明你的结论 【分析】 （1）问可利用翻折之后的几何体侧面ABC的中位线得到/ABEF,便可由线面平行的判定定理 证得；（2）先根据直二面角ADCB将条件转化为AD 面BCD,然后做出过点E且与面BCD垂直 的直线EM,再在平面BCD内过M作DF的垂线即可得所求二面角的平面角；（3）把APDE作为已 知条件利用,利用ADC中过A与DE垂直的直线确定点P的位置. 【解析】 （1）如图：在ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EF/AB, 又 AB平面 DEF,EF平面 DEF AB平面 DEF （2）ADCD,BDCD ADB 是二面角 ACDB 的平面角 ADBD AD平面 BCD 取 CD 的中点 M,这时 EMAD EM平面 BCD 过 M 作 MNDF 于点 N,连结 EN,则 ENDF MNE 是二面角 EDFC 的平面角, 在 RtEMN 中,EM=1,MN= 2 3 tanMNE= 2 3 3 ,cosMNE= 7 21 （3）在线段 BC 上存在点 P,使 APDE. 证明如下：在线段 BC 上取点 P,使BCBP 3 1 ,过 P 作 PQCD 与点 Q, PQ平面 ACD , 在等边ADE 中,DAQ=30,AQDEAPDE.