《2019届高三数学备考冲刺140分问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学备考冲刺140分问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围含解析.pdf（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、问题 33 求圆锥曲线离心率或离心率范围问题 33 求圆锥曲线离心率或离心率范围 一、考情分析 离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较 灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较 困难,本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳. 二、经验分享 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的 条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立 关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把
2、其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系 式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法 2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题， 应找好题中的等量关系或不等关系， 构造出关于a， c的齐次式，进而求解.(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征2c|PF1|PF2| 的运用 三、知识拓展三、知识拓展 1.在求椭圆 22 22 10 xy ab ab 离心率范围时常用的不等关系： ,xa yb，acFPac， bOPa（P 为椭圆上一点） 2.在双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 中， 2 1 cb e aa ， 四、题型分析四、题型分析 (一)
3、 借助平面几何图形中的不等关系(一) 借助平面几何图形中的不等关系 根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用, ,a b c进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率 的范围. 【例 1】【例 1】 已知两定点1,0A 和1,0B,动点,P x y在直线:3l yx上移动,椭圆C以,A B为焦点且经 过点P,则椭圆C的离心率的最大值为（ ） A 5 5 B 10 5 C. 2 5 5 D 2 10 5 【答案】A 【解析】1,0A 关于直线:3l yx的对称点为3,2A ,连接A B交直线l于点P
4、,则椭圆C的长轴 长的最小值为2 5A B,所以椭圆C的离心率的最大值为 15 55 c a ,故选 A. 【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值 【小试牛刀】【小试牛刀】已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 与圆 222 2: Cxyb,若在椭圆 1 C上存在点 P,使得由点 P 所作的圆 2 C的两条切线互相垂直,则椭圆 1 C的离心率的取值范围是（ ） A 1 ,1) 2 B 23 , 22 C 2 ,1) 2 D 3 ,1) 2 【答案】C 【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线 PA,PB,则两切线形成的角APB最小,若椭圆 1 C上存在点 P 令切 线互
5、相垂直,则只需 0 90APB ,即 0 45APO , 0 2 sinsin45 2 b a ,解得 22 2ac , 2 1 2 e ,即 2 2 e ,而01e, 2 1 2 e,即 2 ,1) 2 e . (二) 借助题目中给出的不等信息 (二) 借助题目中给出的不等信息 根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离 心率的不等关系式,从而求解. 【例 2】 【例 2】 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点A关于原点O的对称点为 ,B F为其右焦点,若 ,AFBF设,ABF且, 12 4 则椭圆离心率的取值范围是 .
6、 【答案】 26 , 23 【解析】左焦点为 1 F.连结 11 ,AF BF可得四边形 1 AFBF是矩形,所以AOOFOBc.所以2ABc又 ,AFBF所以. 2 sin,2 cosAFcBFc.又因为 1 AFBF, 1 2AFAFa.所以 2 sin2 cos2cca.即 11 sincos 2sin() 4 c a .因为, 12 4 所以 6 2sin()2 24 .所以 2126 2326 c a .故填 26 , 23 . 【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2 sin2 cos2cca,然后借助已知条件 , 12 4 利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【小试牛
7、刀】 【百校联盟 2018 届 TOP202018 届高三三月联考】 已知平行四边形ABCD内接于椭圆 22 22 :10 xy ab ab ，且AB， AD斜率之积的范围为 32 , 43 ，则椭圆离心率的取值范围是 （ ） A. 13 , 23 B. 32 , 32 C. 13 , 43 D. 1 1 , 4 3 【答案】A 【 解 析 】 由 题 意 ， ,D B关 于 原 点 对 称 ， 设 0000 ,D xyBxyA x y， ADAB kk 22 22 0 22 222 000 2222 0000 11 xx bb aayyyyyyb xxxxxxxxa ， 22 22 32 1
8、, 43 bc aa 2 2 1 113 , 4 323 c e a ，故选 A. (三) 借助函数的值域求解范围 (三) 借助函数的值域求解范围 根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的 定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围. 【例 3】已知椭圆 22 1: 1 2 xy C mn 与双曲线 22 2: 1 xy C mn 有相同的焦点,则椭圆 1 C的离心率e的取值 范围为（ ） A 2 (,1) 2 B 2 (0,) 2 C(0,1) D 1 (0, ) 2 【答案】A 【解析】 椭圆 22 1: 1 2 xy C mn ,
9、 2 1 2am, 2 1 bn , 2 1 2cmn, 2 1 2 1 22 mnn e mm , 双曲线 22 2: 1 xy C mn , 2 2 am, 2 2 bn , 2 2 cmn, 由条件有2mnmn,则1n , 2 1 1 1 2 e m ,由0m ,有22m, 11 22m , 11 22m , 11 1 22m ,即 2 1 1 2 e ,而 1 01e, 1 2 1 2 e. 【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式 2 1 1 1 2 e m ,进而根据 m 的范围, 借助反比例函数求解离心率的范围. 【小试牛刀】已知二次曲线 22 1 4 xy
10、 m ,则当 2, 1m 时,该曲线的离心率e的取值范围是（ ） A 23 22 ， B 26 , 22 C 56 , 22 D 36 , 22 【答案】C 【解析】 由当2, 1m 时,二次曲线为双曲线,双曲线 22 1 4 xy m 即为 22 1 4 xy m ,且 22 4,abm , 则 2 4cm ,即有 456 , 222 cm e a ,故选 C. (四) (四) 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围根据椭圆或双曲线自身的性质求范围 在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆 22 22 100 xy ab ab ，中,axa ,P 是椭圆上任意一点,则 1 acPF
11、ac等. 【例 4】设 12 ,F F为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点,且 12 |2F Fc,若椭圆上存在点P使得 2 12 | |2PFPFc,则椭圆的离心率的最小值为（ ） A 1 2 B 1 3 C 2 2 D 3 3 【答案】D 【解析】设),( 00 yxP,由圆锥曲线的共同特征可得 2 2 0 22 0021 2)(cxeaexaexaPFPF,所 以 2 2 22 2 0 2 a e ca x ,即 22 2 22 21 2 ee a ca ,所以 3 1 2 e,又01e,解得 1 3 3 e ,所以离心 率的最小值为 3 3 ,故选 D 【点评】
12、为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把 2 12 | |2PFPFc转化成基本 量a,c,e与 0 x的关系式,结合椭圆的范围,即可得到e的不等式,从而求出其最小值 【小试牛刀】【小试牛刀】 【天津市南开区 2019 届高三上数学期末】已知双曲线的左、右焦点分别 为、，点 M 在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为 ABC2D 【答案】A 【分析】先由双曲线的定义得到，再由点 M 在双曲线左支上，即可得出结果. 【解析】由双曲线的定义可得，根据点 M 在双曲线的左支上，可得 ， 双曲线离心率的最大值为 ， 故选 A 四、迁移运用四、迁移运用 1 【湖南省怀化市 20
13、19 届高三 3 月第一次模拟】两正数的等差中项为 ，等比中项为，且，则双 曲线的离心率 为（ ） ABCD 【答案】D 【解析】因为两正数的等差中项为 ，等比中项为，所以，解得或， 因为，所以，所以.故选 D 2 【江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考】设双曲线的右焦点为 ， 过 且斜率为 1 的直线 与 的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线 即 ，所以 ，所以 ，故选 A 3【江西省高安中学 2019 届高三上学期期中】 如图， 点 在
14、以为焦点的双曲线上， 过 作 轴的垂线，垂足为 ，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 【答案】C 【解析】 解：由题意得： 四边形的边长为 2c, 连接,由对称性可知, |=|=2c,则三角形为等边三角形. 过点 P 作 PHx 轴于点 H, 则=60 ， |=2c, 在直角三角形中, |=, |= , 则 P(2c,), 连接, 则|=. 由双曲线的定义知,2a=|-|=-2c=, 所以双曲线的离心率为 e= =，故选 C. 4 【宁夏银川一中 2019 届高三第一次模拟】双曲线和直线，若过 的左焦 点和点的直线与 平行，则双曲线 的离心率为 （ ） A B C D
15、 【答案】A 【解析】 过 的左焦点和点的直线可写为：，即 与 平行 又 本题正确选项： 5 【辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三第五次模拟】如图，是双曲线的 左、右焦点，过的直线与双曲线 交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】设，则， 根据双曲线的定义，得，即， 解之得：； 因为，所以三角形是以 为直角的直角三角形， 所以，因此； 在三角形中， ，可得 ，因此，该双曲线的离心率为. 故选 A 6 【广东省韶关市 2019 届高三 1 月调研】设点为双曲线和圆的 一个交点，若，其中为双曲线 的两焦点，则双曲线 的离心率为（ ） A2 B C D 【
16、答案】B 【解析】圆 是以原点 为圆心，以 为半径的圆，则，从而有， |M|c，c， ，由双曲线的定义得，得离心率为， 故选：B. 7 【广东省华附、 省实、 广雅、 深中 2019 届高三上学期期末联考】 设，分别是椭圆 的左、右焦点，若在直线其中上存在点 P，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离 心率的取值范围是 A B C D 【答案】C 【解析】由题意得 ， ， 设点， 则由中点公式可得线段的中点 ， 线段的斜率与的斜率之积等于， 即， ， ， ，或舍去 ， 又椭圆的离心率 ， 故， 故选：C 8 【陕西省西安市西北工业大学附属中学 2019 届第一次适应性训练】设，是双曲线 的两个焦点
17、，P是C上一点， 若， 且的最小内角为， 则C的离心率为 A B C D 【答案】C 【解析】 解：因为、是双曲线的两个焦点， 是双曲线上一点，且满足， 不妨设 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知 所以， ,为最小边, 的最小内角，根据余弦定理， ， 即， ， 所以 故选：C 9 【北京市丰台区 2019 届高三上学期期末】 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦 点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为 6，那么该椭圆的离心率为 A2 B C D 【答案】D 【解析】易知抛物线的焦点（2，0） ，准线 x=-2， 即椭圆的 c=2， 因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；
18、 即通径为 ，又因为 c=2 解得 a=4 所以离心率 故选 D. 10 【四川省绵阳市 2019 上学期期末】若双曲线与双曲线有公共点， 则双曲线离心率的取值范围是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 由得的渐近线方程为，由得的渐近线方程为， 因为双曲线与双曲线有公共点， 所以只需，即，即，即，解得. 故选 C 11 【河北省武邑中学 2019 届高三下学期第一次质检】已知直线与双曲线 的斜 率为正的渐近线交于点 ，曲线的左、右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为 （ ） A4 或BCD 【答案】D 【解析】 由渐近线方程与直线求出点 A 的坐标为,过 A 点作轴于点 B，则 由已知可
19、得 当时，则故舍去，综上 故选 D 12 【贵州省贵阳市普通中学 2019 届高三年级第一学期期末】已知点F是双曲线的左 焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是钝角三 角形，则该双曲线的离心率的取值范围是 ABCD 【答案】D 【解析】 双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴， ， 是钝角三角形， 是钝角， 即有， 为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点， ， ，即， 由，可得， 解得或， 舍去 ， 则双曲线的离心率的范围是 故选：D 13【山东省临沂市 2019 届高三 2 月教学质量检测】 点 A、 B 分别为椭圆的左、 右顶点，
20、 F 为右焦点，C 为短轴上不同于原点 O 的一点，D 为 OC 的中点，直线 AD 与 BC 交于点 M，且 MFAB，则该椭 圆的离心率为 A B C D 【答案】B 【解析】由题意如图：MFAB，且 OCAB，MFOC，同理 MFOD， ， 得到：=, 2（ac）c+a， a3c，e 故选：B 14 【吉林省长春市 2019 届高三质量监测（二)】已知双曲线的左、右焦点分别为， ，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和 轴相交于 ， 两点， 为坐标原点，若，则双 曲线的离心率为（ ） A B C2 D 【答案】B 【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线，即， 则过右焦点与渐近线垂直的直线方
21、程为，即， 又由焦点到渐近线的距离为， 又由，所以，即， 又由原点到的距离为， 在直角中，由射影定理得，即， 又由，整理得，所以，故选 B. 15 【2019 年四川省达州市一诊】已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线 与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为 A B或 C D或 【答案】D 【解析】作抛物线的准线l，则直线l过点，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知 ， 易知，轴，则， ， 设，则，由椭圆定义可知， ， 在中，由余弦定理可得， 整理得， 解得或 当时，； 当时，离心率为 综上所述，椭圆C的离心率为或 故选：D 16 【山西省吕梁市 2019 届高三上
22、学期第一次模拟】已知椭圆 ：，过左焦点作斜率为 1 的直 线 与 交于 ， 两点，若线段的中垂线与 轴交于（ 为椭圆的半焦距） ，则椭圆的离心率为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】设，则中点. 直线 的方程为，与椭圆联立得， 所以. 可得.所以， 因为，即，所以，故选 B. 17 【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019 届高三第一次联考】已知，是椭圆与 的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于 ， 两点，且满足，则该椭圆的 离心率是 A B C D 【答案】B 【解析】 由题意可得：，可得， ，, 可得，可得故选B 18【山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟】 已知椭
23、圆的左右焦点分别为， 为坐标原点， 为椭圆上一点，且，直线交 轴于点，若，则该椭圆的离心 率为（ ） ABCD 【答案】D 【解析】结合题意，可知 ，故，结合，可知 故，设，所以， 所以，故选 D。 19 【江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考】已知点 O 为双曲线 C 的对称中心，直线交于 点 O 且相互垂直， 与 C 交于点， 与 C 交于点， 若使得成立的直线有且只有一 对，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】设双曲线方程为；所以渐近线方程为 因为直线交于点 O 且相互垂直， 与双曲线 C 交于点， 与 C 交于点，且使得 成立的
24、直线有且只有一对，所以可得， 所以，即，所以. 故选 D 20 【湖南省郴州市 2018 届高三第二次教学质量检测】设椭圆 22 22 :1 xy E ab (0ab)的一个焦点 2,0F点2,1A 为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P，使得8PAPF，则椭圆E的离心率的 取值范围是（ ） A. 4 4 , 9 7 B. 4 4 9 7 ， C. 2 2 , 9 7 D. 2 2 , 9 7 【答案】A 【解析】 记椭圆的左焦点为 1 1,0F ，则 111 1,AFPFPAAF 11 21 89aPFPFPAAFPF ，即 9 2 a ， 11 PFPAAF， 11 28 17aPFPFPA
25、AFPF ， 即 722 ,2, 97 2 22 c ace a ， 即 44 97 e ，椭圆E的离心率的取值范围是 4 4 , 9 7 ，故选 A. 21 【广东省珠海一中等六校 2018 届高三第三次联考】已知点 为双曲线的右焦点，直线 与 交于两点，若,设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在， ， ，故选 D 22 【广东省六校 2018 届高三下学期第三次联考】已知点 为双曲线的右焦点，直线 与 交于， 两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连由于
26、四边形为矩形，故 在中， 由双曲线的定义可得 ， ， ， 即双曲线的离心率的取值范围是选 D 23【浙江省镇海中学 2018 届高三上学期期末】 已知点P在以为左右焦点的椭圆上， 椭圆内一点Q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 满足 QF1QP，点 Q 与点 F2重合时，sinF1PQ=， 不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12 可得：e=因此 e 当点 Q 在最下端时，F1QF2最大，此时 F1QF2Q 可得点 Q 在椭圆的内部，当 b=c，e=，因此 综上可得：故选 C 24 【福建省宁德市 2018 届高三上学期期末】
27、已知 1 F、 2 F分别是椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、 右焦点，若椭圆C上存在点A，满足 12 23AFAFa，则椭圆的离心率取值范围是（ ） A. 1 ,1 2 B. 1 ,1 5 C. 2 ,1 5 D. 2 ,1 5 【答案】D 【解析】 1 F、 2 F分别是椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点，若椭圆C上存在点A， 1212 2 ,23AFAFaAFAFa， 12 73 , 55 AFa AFa， 12 42 2, 55 c cAFAFae a ， 2 01,1 5 ee ，当点A为右顶点时，可取等号，故选 D. 25.F1、F
28、2是椭圆1(ab0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使F1PF290,则椭圆的离心率的取 x2 a2 y2 b2 值范围是_ 【答案】 e1 2 2 【解析】 设P(x0,y0)为椭圆上一点,则1. (cx0,y0),(cx0,y0), x2 0 a2 y2 0 b2 PF1 PF2 若F1PF290,则xyc20.xb2(1)c2,x.PF1 PF2 2 02 02 0 x2 0 a2 2 0 a2c2b2 c2 0xa2,01.b2c2,a22c2,e1. 2 0 c2b2 c2 2 2 26.已知 P 是椭圆 22 22 11 1 xy ab 11 (0)ab和双曲线 22 22 22
29、1 xy ab 22 (0,0)ab的一个交点, 12 ,F F是椭圆 和 双 曲 线 的 公 共 焦 点 , 12 ,e e分 别 为 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 , 12 2 3 FPF ,则 12 11 ee 的 最 大 值 为 【答案】 2 3 3 【解析】根据椭圆和双曲线的定义得： 121122 2 ,2PFPFaPFPFa, 112212 ,PFaaPFaa,设 12 2FFc, 12 2 3 FPF ,由余弦定理得 22 2 12121212 2 42cos 3 caaaaaaaa ,化简得 222 12 34aac,变形得 22 12 31 4 ee , 2222
30、1212 313 42 eee e ,所以 1 2 12 3 3ee 27.在平面直角坐标系中,已知点( 2,2)F及直线:20l xy,曲线 1 C是满足下列两个条件的动点 ( , )P x y的轨迹：2 ,PFd其中d是P到直线l的距离； 0 0. 225 x y xy (1) 求曲线 1 C的方程; (2) 若存在直线m与曲线 1 C、 椭圆 22 2 22 :1(0) xy Cab ab 均相切于同一点,求椭圆 2 C离心率e的取值 范围. 【解析】 （1） 2222 (2)(2)2 2()4PFxyxyxy , 2 2 xy d , 由2 ,PFd得： 2222 2 2()422 2
31、()2xyxyxyxyxy, 即1.xy 将1xy 代入得： 115 0,0, 2 xx xx ,解得： 1 2. 2 x 所以曲线 1 C的方程为： 1 y x 1 (2). 2 x （2）(解法一)（2）(解法一)由题意,直线m与曲线 1 C相切,设切点为 1 ( , )M t t , 1 2. 2 t 则直线m的方程为 2 111 ( )()()yxtxt xttxt ,即 2 12 .yx tt 将 2 12 yx tt 代入椭圆 2 C 的方程 222222 b xa ya b,并整理得： 2 422222 22 ()4(4)0.b taxa txab tt 由题意,直线m与椭圆 2
32、 C相切于点 1 ( , )M t t ,则 4 222 422 2222 4222 4 164()(4)4(4)0a ta b tab tta b tatb t , 即 22 42 4 .ab tt 又 2 22 2 1 1, t ab t 即 2 4222 2. b taa b t 联解得： 222 2 2 ,2 .bat t 由 1 2, 2 t 及 22 ab 得12.t 故 22 2 24 1 1 ab e at , 得 2 15 0, 16 e又01,e故 15 0. 4 e 所以椭圆 2 C离心率e的取值范围是 28.椭圆1(ab0)与直线xy1 交于P、Q两点,且OPOQ,其中
33、O为坐标原点 x2 a2 y2 b2 (1)求的值； 1 a2 1 b2 (2)若椭圆的离心率e满足e,求椭圆长轴的取值范围 3 3 2 2 【解析】 (1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由OPOQx1x2y1y20,y11x1,y21x2,代入上式,得2x1x2(x1 x2)10. 又将y1x代入1 x2 a2 y2 b2 (a2b2)x22a2xa2(1b2)0. 0,x1x2,x1x2,代入化简得2. 2a2 a2b2 a21b2 a2b2 1 a2 1 b2 (2)e21, 1 . c2 a2 b2 a2 1 3 b2 a2 1 2 1 2 b2 a2 2 3 又由(1)知b2, a2 a. a2 2a21 1 2 1 2a21 2 3 5 4 3 2 5 2 6 2 长轴是 2a,56