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1、问题 36 圆锥曲线中的定值、定点问题问题 36 圆锥曲线中的定值、定点问题 一、考情分析 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识综合性较强,对学生逻辑思维 能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用定值问题 与定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型 的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作用 二、经验分享 1.圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系， 找到定点 (2)特殊到一般法：根据动
2、点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关 2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求 得； (3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得 三、知识拓展三、知识拓展 1.设点,P m n是椭圆 C： 22 22 10 xy ab ab 上一定点，点 A,B 是椭圆 C 上不同于 P 的两点，若 PAPB kk， 则0时 直 线 AB 斜 率 为 定 值
3、 2 2 0 bm n an ， 若0， 则 直 线 AB 过 定 点 2 2 22 , nb m mn a ， F 是该椭圆焦点，则,bOPa acPFac； 2. 设点,P m n是双曲线 C： 22 22 10,0 xy ab ab 一定点， 点 A,B 是双曲线 C 上不同于 P 的两点， 若 PAPB kk， 则0时 直 线 AB 斜 率 为 定 值 2 2 0 bm n an ， 若0， 则 直 线 AB 过 定 点 2 2 22 , nb m mn a ； 3. 设点,P m n是抛物线 C： 2 20ypx p一定点，点 A,B 是抛物线 C 上不同 于 P 的两点，若 PAP
4、B kk， 则0时直线AB斜率为定值0 p n n ， 若0， 则直线AB过定点 22 , np mn ； 四、题型分析四、题型分析 (一) 定点问题(一) 定点问题 求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为 零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个 关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通过特例探求,再用一 般化方法证明 【例 1】已知直线l的方程为2yx,点P是抛物线 2 4yx上到直线l距离最小的点,点A是抛物线上异于 点P的点,直线AP
5、与直线l交于点Q,过点Q与x轴平行的直线与抛物线 2 4yx交于点B. （）求点P的坐标； （）证明直线AB恒过定点,并求这个定点的坐标. 【分析】 （）到直线l距离最小的点,可根据点到直线距离公式,取最小值时的点；也可根据几何意义得为 与直线l平行且与抛物线相切的切点：如根据点P到直线l的距离 2 0 2 0 0 00 2 24 24 2 2224 2 y y y xy d 得当且仅当 0 2y 时取最小值,（）解析几何中定点问 题的解决方法,为以算代证,即先求出直线 AB 方程,根据恒等关系求定点.先设点A 2 1 1 4 y y ， ,求出直线 AP 方程 11 4220xyyy ,与直
6、线l方程联立,解出点Q纵坐标为 1 1 28 2 Q y y y .即得B点的坐标为 2 1 1 2 1 1 428 2 2 yy y y ， ,再根据两点式求出直线 AB 方程 2 11 24280yyxyxy,最后根据方程对 应 1 y恒成立得定点2 2， 【解析】 （）设点P的坐标为 00 xy， ,则 2 00 4yx, 所以,点P到直线l的距离 2 0 2 0 0 00 2 24 24 2 2224 2 y y y xy d . 当且仅当 0 2y 时等号成立,此时P点坐标为1 2，. （）设点A的坐标为 2 1 1 4 y y ， ,显然 1 2y . 当 1 2y 时,A点坐标为
7、1 2，,直线AP的方程为1x ； 当 1 2y 时,直线AP的方程为 1 2 1 2 21 1 4 y yx y , 化简得 11 4220xyyy ； 综上,直线AP的方程为 11 4220xyyy . 与直线l的方程 2yx 联立,可得点Q的纵坐标为 1 1 28 2 Q y y y . 因为,BQ x 轴,所以B点的纵坐标为 1 1 28 2 B y y y . 因此,B点的坐标为 2 1 1 2 1 1 428 2 2 yy y y ， . 当 1 1 1 28 2 y y y ,即 2 1 8y 时,直线AB的斜率 1 1 11 22 2 1 1 1 2 1 28 248 8 4
8、4 2 y y yy k y yy y . 所以直线AB的方程为 2 11 1 2 1 48 84 yy yyx y , 整理得 2 11 24280yyxyxy. 当2x , 2y 时,上式对任意 1 y恒成立, 此时,直线AB恒过定点 2 2， , 当 2 1 8y 时,直线AB的方程为2x ,仍过定点2 2，, 故符合题意的直线AB恒过定点 2 2， . 考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系 【点评】 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找 到定点 (2)特殊到一般法：
9、根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关 【小试牛刀】 【新疆乌鲁木齐市 2019 届高三一模】椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过 的长轴， 短轴端点的一条直线方程是. （1）求椭圆 的方程； （2）过点作直线交椭圆 于 ， 两点，若点 关于 轴的对称点为 ，证明直线过定点. 【解析】 （1）对于，当时，即，当，即， 椭圆的方程为， （2）证明：设直线， （） ， 设 ， 两点的坐标分别为，则， 联立直线与椭圆得， 得， ，解得 ， ， 直线 ， 令，得 ， 直线过定点 (二) 定值问题 (二) 定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角
10、的度数、直线的斜率等)的大小或某 些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值,求定值问题常 见的方法有两种： 从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值 【例 2】如图,点2,0A ,2,0B分别为椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左右顶点,P M N为椭圆C 上非顶点的三点,直线,AP BP的斜率分别为 12 ,k k,且 12 1 4 k k ,/ /APOM,/ /BPON. （）求椭圆C的方程； （）判断OMN的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由
11、. 【分析】 （）设( , )P m n,则 2 12 2 224 nnn k k mmm ,而 222 22 2 4 1 44 mnm nb b ,所以 2 2 12 1 1 44 b k kb （） 根据弦长公式求底边MN的长,根据点到直线距离公式求底边上的高, 因此设直线MN的方程为ykxt,由直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得 22 2 2 4 41 1 14 kt MNk k ,根据斜率条件 12 1 4 k k 及韦达定理得 22 241tk ,高为 2 1 t d k ,代入面积公式化简得 2 2 22 1 221 41 12 ttk S k kt 【解析】 （） 2
12、2 1 ,1 1 4 4 2, APBP b kkb a a 椭圆 2 2 :1 4 x Cy. （）设直线MN的方程为ykxt, 11 ,M x y, 22 ,N xy, 222 2 2 , 418440 1, 4 ykxt kxktxt x y , 12 2 8 41 kt xx k , 2 12 2 44 41 t x x k , 12 1212121212 12 11 4040 44 yy k ky yx xkxtkxtx x xx , 22 1212 41440kx xkt xxt, 2 2222 22 448 41440241 4141 tkt kktttk kk , 22 22
13、121212 114MNkxxkxxx x 2 22 2 222 8441 142 2 414141 kttk k kkk , 2 1 t d k , 2 2 22 1 221 41 12 ttk S k kt . OMN的面积为定值 1. 【点评】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值 利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、 变形求得 ； (3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得 【小试牛刀】 【湖
14、南省怀化市 2019 届高三 3 月第一次模拟】已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，它的 一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于. （1）求椭圆 的方程； （2） 过椭圆 的右焦点 作直线 交椭圆 于 、 两点， 交 轴于点， 若， 求证 ： 为定值. 【解析】 （1）设椭圆 的方程为，则由题意知 .即 椭圆 的方程为 （2）设 、 、点的坐标分别为，. 又易知 点的坐标为 显然直线 存在的斜率，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得 ， ， 将各点坐标代入得， 圆锥曲线中的定值、定点问题要善于从运动中寻找不变的要素,可以先通过特例、极限位置
15、等探求定值、定 点,然后利用推理证明的方法证明之 四、迁移运用四、迁移运用 1 【湖南省怀化市 2019 届高三 3 月第一次模拟】直线 与抛物线 ：交于两点， 为坐标原点，若 直线，的斜率，满足，则直线 过定点（ ） ABCD 【答案】C 【解析】设，则，又，解得. 将直线 ：代入，得， ，. 即直线 ：，所以 过定点 2.【湖南省浏阳一中、 醴陵一中联考】 双曲线的左、 右焦点分别为， P 为双曲线右支上一点， I 是的内心，且，则（ ） ABCD 【答案】D 【解析】如图，设内切圆的半径为 由得， 整理得 因为 P 为双曲线右支上一点， 所以， 所以故选 D 3.【江西省南昌市 2019
16、 月考】已知椭圆 ：的右焦点为,且离心率为 ，三 角形的三个顶点都在椭圆 上，设它的三条边、的中点分别为 、 、，且三条边所在 直线的斜率分别为、，且、均不为 0. 为坐标原点，若直线、的斜率之 和为 1.则（ ） A B-3 C D 【答案】A 【解析】因为椭圆 ：的右焦点为,且离心率为 ，且 所以可求得椭圆的标准方程为 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（s1，t1） ，E（s2，t2） ，M（s3，t3） ， 因为 A、B 在椭圆上，所以 ，两式相减得 ，即 同理可得 所以 因为直线、的斜率之和为 1 所以 所以选 A 4 【福建省 2019 届适应性练习
17、（四)】设 为坐标原点，动圆 过定点, 且被 轴截得的弦长是 8. （）求圆心 的轨迹 的方程； （）设是轨迹 上的动点，直线的倾斜角之和为 ，求证：直线过定点. 【解析】 ()设动圆半径为 由动圆被 轴截得的弦长是 8 得 消去 得 故圆心 的轨迹 的方程 () 设直线， ， 联立方程得，消去 得， 则， 设直线的倾斜角分别是 ，同理， ，故直线过定点 5.【山东省济宁市 2019 届高三第一次模拟】已知椭圆的离心率为，且椭圆 C 过点 (I)求椭圆 C 的方程； (II)设椭圆 C 的右焦点为 F，直线 与椭圆 C 相切于点 A，与直线相交于点 B，求证 ：的大小为定 值 【解析】()椭圆
18、 C 过点， 离心率为 又 由得，. 椭圆 C 的方程为 C：. ()显然直线 l 的斜率存在，设 l:y=kx+m. 由消 y 得 由得. 切点 A 的坐标为 又点 B 的坐标为，右焦点 F 的坐标为， ， AFB=90，即AFB 的大小为定值. 6 【江西省赣州市十四县（市）2018 届高三下学期期中】已知椭圆系方程 n C： 22 22 xy n ab (0ab， * nN)， 12 ,F F 是椭圆 6 C的焦点， 63A，是椭圆 6 C上一点，且 212 0AFFF . （1）求 6 C的方程； （2）P为椭圆 3 C上任意一点，过P且与椭圆 3 C相切的直线l与椭圆 6 C交于M，
19、 N两点，点P关于原 点的对称点为Q，求证： QMN的面积为定值，并求出这个定值 【解析】 （1）由题意得椭圆 6 C的方程为 6 C： 22 22 6 xy ab ，即 22 22 1 66 xy ab 212 0AFFF 212 AFFF ， 又 6, 3A为椭圆 6 C上一点， 6c 222 666abc，即 22 1ab， 又 22 22 63 1 66ab ， 2 2a, 2 1b ， 椭圆 6 C的方程为 2 2 6 2 x y （2）解：当直线l斜率存在时，设l方程为ykxm, 由 2 2 3 2 x y ykxm 消去 y 整理得 222 214260kxkmxm， 直线l与椭
20、圆 3 C相切， 2 22 44 21260kmkm ，整理得 22 3 21mk 设 00 ,P xy，则 00 ,Qxy，且 00 ykxm， 点Q到直线l的距离 00 22 2 11 kxymm d kk ， 同理由 2 2 6 2 x y ykxm 消去 y 整理得 222 2142120kxkmxm， 设 1122 ,M x yN xy， 则 12 2 4 21 km xx k ， 2 12 2 212 21 m x x k MN 2 2 1212 14kxxx x 2 2 2 22 4212 14 2121 kmm k kk 22 2 2 2 8 126 1 21 km k k 2
21、 2 2 21 21 km k ， 1 2 QMN SMN d 2 2 2 2 2121 221 1 kmm k k 2 2 2 2 21 m k 2 2 2 23 21 21 k k 6 2 当直线l斜率不存在时，易知6 2 QMN S 综上可得QMN的面积为定值6 2 7 【四川省蓉城名校高中 2018 届高三 4 月份联考】已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的长轴长为4， A， B是其长轴顶点， M是椭圆上异于A， B的动点，且 3 4 MAMB kk . （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，若动点R在直线6x 上，直线AR， BR分别交椭圆C于P， Q两点.请问
22、 ： 直线PQ是否 过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【解析】 （1）由题意知24a 则2a ， 设 00 ,M xy， ,0Aa， ,0B a，则 00 00 MAMB yy kk xa xa 2 0 22 00 y xa ， 由 22 00 22 1 xy ab ，则 2 22 0 0 2 1 x yb a ，则 2 2 3 4 MAMB b kk a ，则 2 3b ，由此可得椭圆C的标准方 程为 22 1 43 xy . （2）设6,Rm，则直线AP的方程为2 4 m yx；则直线BQ的方程为2 8 m yx联立得 22 2 8 1 43 m yx xy 消 去y得 ：
23、 2222 4844480mxm xm， 则 2 2 448 2 48 Q m x m ， 即 2 2 2 48 48 Q m x m 代入直线BQ的方程得 2 24 48 Q m y m ，故 2 22 2 48 24 , 4848 m m Q mm . 联立得 22 2 4 1 43 m yx xy 消去y得： 2222 1244120mxm xm，则 2 2 412 2 12 P m x m ，即 2 2 212 12 P m x m 代入直线AP的方程得 2 12 12 P m y m ，故 2 22 212 12 , 1212 m m P mm . 当 22 22 2 48212 4
24、812 mm mm ，即 2 24m ，则PQ与x轴交点为 2 ,0 3 T ， 当 22 22 2 48212 4812 mm mm ，即 2 24m 时，下证直线PQ过点 2 ,0 3 T ， 由 2 2 2 12 0 12 212 2 123 PTQT m m kk m m 2 2 2 24 0 48 2 48 2 483 m m m m 22 99 0 2424 mm mm ， 故直线PQ过定点 2 ,0 3 T . 8 【江西省新余市 2018 届高三二模】已知抛物线 2 :20C xpy p过点2,1，直线l过点0, 1P与 抛物线C交于A， B两点.点A关于y轴的对称点为 A ，
25、连接A B. （1）求抛物线线C的标准方程； （2）问直线A B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【解析】 (1)将点2,1代入抛物线 2 :2C xpy的方程得， 2p . 所以，抛物线C的标准方程为 2 4xy. (2)设 直 线l的 方 程 为1ykx， 又 设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 则 11 ,Ax y .由 2 1 , 4 1, yx ykx 得 2 440xkx. 则 2 16160k ， 12 4xx， 12 4xxk. 所以 22 21 2121 2112 44 4 A B xx yyxx k xxxx . 于是直线A B的方程为 2 2
26、21 2 44 xxx yxx 所以 2 21221 2 1 444 xxxxx yxxx . 当0x 时， 1y ， 所以直线A B过定点0,1. 9 【湖北省荆州中学 2018 届高三 4 月月考】已知动圆过定点2,0A，且在y轴上截得弦MN的长为 4. （1）求动圆圆心的轨迹C的方程； （2）设1,0B，过点A斜率为0k k 的直线l交轨迹C于,P Q两点， ,PB QB的延长线交轨迹C于 ,S T两点. 若PQB的面积为 3，求k的值. 记直线ST的斜率为 ST k，证明： ST k k 为定值，并求出这个定值. 【解析】 （1）设圆心,0C x yx ，过点C作CEy轴，垂足为E，则
27、 1 2 MEMN. 2222 CACMMECE 2 222 22xyx，化简为： 2 4yx. 当0x 时，也满足上式. 动圆圆心的轨迹C的方程为 2 4yx. （2）设直线l的方程为2yk x， 22 12 12 , 44 yy PyQy ， 由 2 4 2 yx yk x ，得 2 480kyyk， 2 16320k ， 1212 4 ,8yyy y k . 2 121212 2 111 4223 22 PQB SAB yyyyy y k ，解得2k . 设 2 3 3 , 4 y Sy ，则 2 1 1 1, 4 y BPy ， 2 3 3 1, 4 y BSy . , ,P B S共
28、线 22 31 31 110 44 yy yy ，即 2 313 1 4 40yyy y ，解得： 31 yy（舍）或 3 1 4 y y . 2 11 44 ,S yy ，同理 2 22 44 ,T yy ， 1212 12 22 12 44 2 44 ST yyy y kk yy yy 2 ST k k （定值） 10.如图,已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BF x2 a2 OA(O为坐标原点) (1)求双曲线C的方程； (2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l：y0y1 与直线AF相交于点M,与直线x 相交于点N.证
29、明 ： x0x a2 3 2 当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值 |MF| |NF| 【解析】(1)设F(c,0),因为b1,所以c,a21 直线OB方程为yx, 1 a 直线BF的方程为y (xc),解得B( ,) 1 a c 2 c 2a 又直线OA的方程为yx, 1 a 则A(c, ),kAB . c a c a c 2a cc 2 3 a 又因为ABOB,所以 ( )1, 3 a 1 a 解得a23, 故双曲线C的方程为y21. x2 3 (2)由(1)知a,则直线l的方程为3 y0y1(y00),即y. x0x 3 x0x3 3y0 因为直线AF的方程为x2, 所以直线l与AF
30、的交点为M(2,)； 2x03 3y0 直线l与直线x 的交点为N( ,) 3 2 3 2 3 2x 03 3y0 则 |MF|2 |NF|2 2x032 3y02 1 4 3 2x 032 3y02 2x032 9y2 0 4 9 4x 022 . 4 3 2x032 3y2 03x022 因为P(x0,y0)是C上一点,则y1, x2 0 3 2 0 代入上式得 |MF|2 |NF|2 4 3 2x032 x2 033x022 , 4 3 2x032 4x2 012x09 4 3 即所求定值为. |MF| |NF| 2 3 23 3 11.如图,设点,A B的坐标分别为 3,0 ,3,0,
31、直线,AP BP相交于点P,且它们的斜率之积为 2 3 （1）求点P的轨迹方程； （2）设点P的轨迹为C,点MN、是轨迹为C上不同于,A B的两点,且满足/ /,/ /APOM BPON,求证： MON的面积为定值 【答案】 （1） 22 13 32 xy x （2） 6 2 【解析】 （1）由已知设点P的坐标为, x y,由题意知 2 3 333 APBP yy kkx xx , 化简得P的轨迹方程为 22 13 32 xy x （2）证明：由题意MN、是椭圆C上非顶点的两点,且/ /,/ /ONAPOM BP, 则直线,AP BP斜率必存在且不为 0,又由已知 2 3 APBP kk 因为
32、/ /,/ /APOM BPON,所以 2 3 OMON kk 设直线MN的方程为x myt ,代入椭圆方程 22 32 xy ,得 222 324260mymtyt , 设,M N的坐标分别为 1122 ,x yxy,则 2 1212 22 426 , 3232 mtt yyy y mm 又 2 1212 2222 121212 26 36 OMON y yy yt kk x xm y ymt yyttm , 所以 2 22 262 363 t tm ,得 22 223tm 又 22 12 2 24487211 2232 MON tm St yy m , 所以 2 2 2 66 42 MON
33、 tt S t ,即MON的面积为定值 6 2 12如图,过椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 内一点(0,1)A的动直线l与椭圆相交于 M,N 两点,当l平行于 x 轴和垂直于 x 轴时,l被椭圆所截得的线段长均为2 2. （1）求椭圆的方程； （2）在平面直角坐标系中,是否存在与点 A 不同的定点 B,使得对任意过点(0,1)A的动直线l都满足 | | | |BMANAMBN ？若存在,求出定点 B 的坐标,若不存在,请说明理由. 【答案】 （1） 22 1 42 xy ； （2）存在点 B 的坐标(0 2)， 【解析】 （）由已知得2b ,点( 2 1)，在椭圆上, 所以 2
34、2 21 1 ab ,解得2a , 所以椭圆的方程为 22 1 42 xy （）当直线 l 平行于 x 轴时,则存在 y 轴上的点 B,使| | | |BMANAMBN ,设 0 (0)By，； 当直线 l 垂直于 x 轴时,(02)(02)MN，, 若使| | | |BMANAMBN ,则 | | BMAM BNAN , 有 0 0 |2 |21 |2 |21 y y ,解得 0 1y 或 0 2y 所以,若存在与点 A 不同的定点 B 满足条件,则点 B 的坐标只可能是(0 2)， 下面证明：对任意直线 l,都有| | | |BMANAMBN ,即 | | BMAM BNAN 当直线 l
35、的斜率不存在时,由上可知,结论成立； 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为1ykx 设 M,N 的坐标分别为 1122 () ()xyxy，, 由 22 1 42 1 xy ykx ，得 22 (21)420kxkx, 其判别式 22 (4 )8(21)0kk , 所以, 1212 22 42 2121 k xxx x kk ，, 因此, 12 1212 11 2 xx k xxx x 易知点 N 关于 y 轴对称的点 N 的坐标为 22 ()xy ， 又 11 111 211 BM ykx kk xxx , 22 2221 2111 BN ykx kkk xxxx , 所以 BMBN kk ,即B M N ， ，三点共线, 所以 1 2 | | xBMBMAM xBNBNAN 故存在与点 A 不同的定点(0 2)B ，,使得| | | |BMANAMBN