2019届高三数学备考冲刺140分问题37圆锥曲线中的存在探索问题含解析.pdf

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1、问题 37 圆锥曲线中的存在、探索问题问题 37 圆锥曲线中的存在、探索问题 一、考情分析 圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一 ,它是在题设条件下探索某个数学对象 (点、线、 数等 )是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少, 因 而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨 二、经验分享 解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在 (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件

2、； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法 三、知识拓展三、知识拓展 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索， 结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能 力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经 历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。 探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。 每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨

3、它是哪一种类型的探索问题， 然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明： 1、条件追溯型1、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决 这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分 条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作 充分条件，应引起注意。 2、结论探索型2、结论探索型 这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结 论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察

4、、分析、归纳、判断来作一番猜测， 得出结论，再就一般情形去认证结论。 3、条件重组型3、条件重组型 这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方 向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要 联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义 上的创新思维和创造力。 4、存在判断型4、存在判断型 这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一 结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(

5、或结论成立)或暂且认可其中 的一 部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其 中反证法在解题中起着重要的作用。 5、规律探究型5、规律探究型 这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论。解决这类问题 的基本策略是 ： 通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、 猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。在数列问题研究中，经常是据数列的前几项所提供 的信息作大胆的猜测，然后用数学归纳法证明。 6、实验操作型6、实验操作型 这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种

6、方案。解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向 思考动手实踐。 总之，解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合应用。它对 学生的观察、联想、类比、猜想、抽象、概括等方面的能力有较高的要求。 四、题型分析四、题型分析 (一) 是否存在值(一) 是否存在值 【例 1】已知椭圆 2 2 2 2 b y a x =1（ab0）的离心率 e= 3 6 ,过点 A（0,-b）和 B（a,0）的直线与坐标原点 距离为 2 3 . （1）求椭圆的方程； （2）已知定点 E（-1,0）,若直线 y=kx+2（k0）与椭圆相交于 C、D 两点,试判断是否存在 k 值,使以 CD

7、为直径的圆过定点 E？若存在求出这个 k 值,若不存在说明理由. 【分析】 （1）先由两点式求出直线方程,再根据离心率 a c e 和点到直线距离公式列出方程解出ba,即可求 得；（2）假设存在这样的直线,联立直线方程和椭圆方程,消去 y,得到 x 的一元二次方程,求出两根之和和 两根之积,要使以CD为直径的圆过点E,当且仅当CEDE时,则 1 11 2 2 1 1 x y x y ,再利用y=kx+2,将上式转 化,最后求得 6 7 k,并验证. 【解析】 （1）直线 AB 方程为：bx-ay-ab0 依题意 2 3 3 6 22 ba ab a c ， 解得 1 3 b a， 椭圆方程为

8、1 3 2 2 y x （2）假设存在这样的 k 值,由 033 2 22 yx kxy， 得)31 ( 2 k0912 2 kxx 0)31 (36)12( 22 kk 设 1 (xC,) 1 y 2 (xD,) 2 y,则 2 21 2 21 31 9 31 12 k xx k k xx， 而4)(2)2)(2( 2121 2 2121 xxkxxkkxkxyy 8 分 要 使 以 CD 为 直 径 的 圆 过 点 E（ -1,0） ,当 且 仅 当 CE DE 时 ,则 1 11 2 2 1 1 x y x y ,即 0) 1)(1( 2121 xxyy 05)(1(2) 1( 2121

9、 2 xxkxxk 将式代入整理解得 6 7 k 经验证, 6 7 k,使成立 综上可知,存在 6 7 k,使得以 CD 为直径的圆过点 E . . 【点评】解决探索性问题的注意事项 探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在 (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件； (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法 【小试牛刀】 【安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测】已知抛物线 的准线方程为. （1）求抛物线 的标准方程； （2） 过点作斜率

10、为的直线交抛物线 于 ， 两点， 点， 连接，与抛物线 分别交于 ， 两点，直线的斜率记为，问：是否存在实数 ，使得成立，若存在，求出实数 的值；若 不存在，请说明理由. 【解析】 （1）由准线方程可知： （2）设，（互不相等） 则，同理 三点共线 即 同理 将抛物线 与直线联立得： 由韦达定理： (二) 是否存在点(二) 是否存在点 【例 2】已知点P是椭圆C上任一点,点P到直线 1: 2lx 的距离为 1 d,到点( 1,0)F 的距离为 2 d,且 2 1 2 2 d d .直线l与椭圆C交于不同两点AB、（,A B都在x轴上方）,且 180OFAOFB . （1）求椭圆C的方程； （2

11、）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时,求直线l方程； （3）对于动直线l,是否存在一个定点,无论OFA如何变化,直线l总经过此定点？若存在,求出该定点的 坐标；若不存在,请说明理由. 【分析】(1) 设( , )P x y,用坐标表示条件 2 1 2 2 d d 列出方程化简整理可得椭圆的标准方程 ； (2)由（1）可知 (0,1)A,( 1,0)F ,即可得 1 0 1 0( 1) AF k ,由180OFAOFB 得1 BF k ,写出直线BF的方程 与椭圆方程联立,求出点B的坐标,由两点式求直线AB的方程即可；(3)由180OFAOFB ,得 0 AFBF kk,设直线AB方程为ykxb,与

12、椭圆方程联立得 222 1 ()210 2 kxkbxb ,由根与系 数关系计算 1212 1212 0 1111 AFBF yykxbkxb kk xxxx 得20bk,从而得到直线方程为 (2)yk x,从而得到直线过定点( 2,0)M . 【解析】 （1）设( , )P x y,则 1 |2|dx, 22 2 (1)dxy , 22 2 1 (1)2 |2|2 xyd dx ,化简,得 2 2 1 2 x y,椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y. （2）(0,1)A,( 1,0)F , 1 0 1 0( 1) AF k , 又180OFAOFB ,1 BF k ,:1(1)1BF y

13、xx . 代入 2 2 1 2 x y解,得 0, 1 x y （舍） 4 , 3 1 , 3 x y 4 1 (, ) 3 3 B , 1 1 1 3 4 2 0() 3 AB k , 1 :1 2 AB yx.即直线l方程为 1 1 2 yx. （3）180OFAOFB ,0 AFBF kk. 设 11 ( ,)A x y, 22 (,)B xy,直线AB方程为ykxb.代直线AB方程ykxb入 2 2 1 2 x y,得 222 1 ()210 2 kxkbxb . 12 2 2 1 2 kb xx k , 2 12 2 1 1 2 b x x k , 1212 1212 1111 AF

14、BF yykxbkxb kk xxxx = 1221 12 ()(1)()(1) 0 (1)(1) kxb xkxb x xx , 2 12211212 22 12 ()(1)()(1)2()()22()20 11 22 bkb kxb xkxb xkx xkb xxbkkbb kk 20bk, 直线AB方程为(2)yk x, 直线l总经过定点( 2,0)M . 【点评】定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为ykxb,然后利用条件建立b、k等量关系进行消元,借助于直线 系的思想找出定点 (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关 【小试牛刀】 【晋冀鲁豫名校 2

15、018-2019 年度高三上学期期末联考】已知椭圆的离 心率为 ，短轴长为 （1）求椭圆 的标准方程； （2）若椭圆 的左焦点为，过点的直线 与椭圆 交于两点，则在 轴上是否存在一个定点使得直 线的斜率互为相反数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，也请说明理由 【解析】 （1）据题意，得 解得， 所以椭圆 的标准方程为 （2）据题设知点，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 由，得 设，则 设，则直线的斜率分别满足 又因为直线的斜率互为相反数， 所以， 所以，所以， 所以， 所以，所以 若对任意恒成立，则， 当直线 的斜率 不存在时，若，则点满足直线的斜率互为相反数 综上，在 轴上存在一个定

16、点，使得直线的斜率互为相反数 (三) 是否存在直线 (三) 是否存在直线 【例 3】设 F1,F2分别是椭圆 22 1 54 xy 的左右焦点. （1）若 P 是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值. （2）是否存在经过点 A（5,0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C,D,使得|F2C|F2D|？若存在,求直线 l 的方程；若不存在,请说明理由. 【分析】 （1）将数量积转化为坐标表示,利用坐标的有界性求出最值 ； （2）设出直线方程,根据|F2C|F2D|, 可知 F2在弦 CD 的中垂线上,利用中点和斜率关系,写出中垂线方程,代入 F2点即可判断. 【解析】 （1）易知 a5,b2,

17、c1,F1（1,0）,F2（1,0） 设 P（x,y）,则 22 1 54 xy （1x,y）（1x,y） x2y21 x24 4 5 x21 1 5 x23 x20,5, 当 x0,即点 P 为椭圆短轴端点时,有最小值 3； 当 x5,即点 P 为椭圆长轴端点时,有最大值 4. （2）假设存在满足条件的直线 l,易知点 A（5,0）在椭圆外部,当直线斜率不存在时,直线 l 与椭圆无交点. 所以满足条件的直线斜率存在,设为 k 则直线方程为 yk（x5） 由方程组 22 1 54 (5) xy yk x 得：（5k24）x250k2x125k2200 依题意,20（1680k2）0 得： 55

18、 55 k 当 55 55 k 时,设交点为 C（x1,y1）,D（x2,y2）,CD 中点为 R（x0,y0） 则 x1x2 2 2 50 54 k k ,x0 2 12 2 25 254 xxk k y0k（x05）k（ 2 2 25 54 k k 5） 2 20 54 k k 又|F2C|F2D|,有 F2Rl,即 2 F R k k 1 即 2 2 2 22 2 20 0() 20 54 25420 1 54 F R k k k k kk kk k 1 即 20k220k24, 该等式不成立,所以满足条件的直线 l 不存在. 【点评】假设存在,将 22 |F CF D转化为弦的中点问题

19、以及垂直问题是解题关键 【小试牛刀】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点 (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于 4？若存在,求出 直线l的方程；若不存在,请说明理由 【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为1(ab0),且可知其左焦点为F(2,0) x2 a2 y2 b2 从而有Error!Error!解得Error!Error! 又a2b2c2,所以b212, 故椭圆C的方程为1. x2 16 y2 12 (2)假设存在符合题意的直线l,设其方程为yxt. 3 2 由Error!E

20、rror!得 3x23txt2120. 因为直线l与椭圆C有公共点, 所以(3t)243(t212)0, 解得4t4.33 另一方面,由直线OA与l的距离d4,得4, |t| 9 41 解得t2.13 由于24,4 ,1333 所以符合题意的直线l不存在 (四) 是否存在圆(四) 是否存在圆 【例 4】已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 过点 2 (1,) 2 A ,其焦距为2 （）求椭圆 1 C的方程； （）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ,则椭圆在其上一点 00 (,)A xy处的 切线方程为1 2 0 2 0 b yy

21、a xx ,试运用该性质解决以下问题： （i）如图（1）,点B为 1 C在第一象限中的任意一点,过B作 1 C的切线l,l分别与x轴和y轴的正 半轴交于,C D两点,求OCD面积的最小值； （ii）如图（2）,过椭圆 22 2: 1 82 xy C上任意一点P作 1 C的两条切线PM和PN,切点分别为 ,M N当点P在椭圆 2 C上运动时,是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在,求出圆的方程； 若不存在,请说明理由 x y C O B D y x M N O P 【分析】 （1）设椭圆的方程,用待定系数法求解即可；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步： 根据题意设直线方程,有的题设条件已

22、知点,而斜率未知；有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直 线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程第 三步：求解判别式计算一元二次方程根第四步：写出根与系数的关系第五步：根据题设条件求解问题 中结论在解决与抛物线性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及 焦点、顶点、准线的问题更是如此 【解析】 （I）解：依题意得：椭圆的焦点为 12 ( 1,0),(1,0)FF,由椭圆定义知： 12 2|aAFAF 2,11acb ,所以椭圆 1 C的方程为 2 2 1 2 x y （II） （）设 22 (,)B xy,则

23、椭圆 1 C在点 B 处的切线方程为 2 2 1 2 x xy y 令0x, 2 1 y yD ,令 2 2 , 0 x xy C ,所以 22 1 OCD S x y 又点 B 在椭圆的第一象限上,所以1 2 , 0, 0 2 2 2 2 22 y x yx 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1yxy x y x 22 112 22 OCD S x y ,当且仅当 12 2 22 2 2 2 2 yxy x 所以当 2 (1,) 2 B 时,三角形 OCD 的面积的最小值为 2 （）设( , )P m n,则椭圆 1 C在点),( 33 yxM处的切线为：1 2 3 3

24、yyx x 又PM过点( , )P m n,所以1 2 3 3 nym x ,同理点),( 44 yxN也满足 4 4 1 2 x my n, y x M N O P 所以,M N都在直线1 2 ynm x 上, 即：直线 MN 的方程为1 2 m xny 所以原点 O 到直线 MN 的距离 2 2 1 4 d m n 2 2 , 所以直线 MN 始终与圆 22 1 2 xy相切 【点评】先猜想圆心为原点,表示出直线 MN 的方程,再证明圆心到直线的距离为定值 【小试牛刀】如图,设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F,点D在椭圆上, 112 DFFF

25、, 12 1 | 2 2 | FF DF , 12 DFF的面积为 2 2 . （1）求该椭圆的标准方程； （2）是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互 垂直并分别过不同的焦点？若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由. 【解析】 （1）设 12 ,0 ,0FcFc,其中 222 cab , 由 12 1 2 2 FF DF 得 12 1 2 22 2 FF DFc 从而 1 2 2 112 122 , 222 DF F SDFFFc 故1c . 从而 1 2 2 DF ,由 112 DFFF得 222 2112 9 2 DFDFFF,因此

26、2 3 2 2 DF . 所以 12 22 2aDFDF,故 222 2,1abac 因此,所求椭圆的标准方程为： 2 2 1 2 x y （ 2） 如 图 ,设 圆 心 在 y轴 上 的 圆C与 椭 圆 2 2 1 2 x y相 交 , 111222 ,P x yP xy是 两 个 交 点 , 12 0,0yy, 1 1 FP, 22 F P是圆C的切线,且 1 1 FP 22 F P由圆和椭圆的对称性,易知 2112 ,xx yy 121 2|.PPx, 由 （ 1） 知 12 1,0 ,1,0FF,所 以 1 1112211 1,1,FPxyF Pxy ,再 由 1 1 FP 22 F

27、P得 2 2 11 10xy,由椭圆方程得 2 2 1 1 11 2 x x,即 2 11 340xx,解得 1 4 3 x 或 1 0x . 当 1 0x 时, 12 ,P P重合,此时题设要求的圆不存在. 当 1 4 3 x 时,过 12 ,P P分别与 1 1 FP, 22 F P垂直的直线的交点即为圆心C,设 0 0,Cy 由 11 1, CPFP得 101 11 1, 1 yyy xx 而 11 1 1, 3 yx故 0 5 3 y 圆C的半径 22 1 4154 2 3333 CP 综上,存在满足条件的圆,其方程为： 2 2 532 39 xy 四、迁移运用四、迁移运用 1 【】

28、江西省临川第一中学等九校 2019 届高三 3 月联考】 已知椭圆 ：， 离心率， 是椭圆的左顶点， 是椭圆的左焦点，直线：. （1）求椭圆 方程； （2）直线 过点 与椭圆 交于 、 两点，直线、分别与直线交于、 两点，试问 ： 以为直径的 圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由. 【解析】 （1），得，所求椭圆方程：. （2）当直线 斜率存在时，设直线 ：，、， 直线：， 令，得，同理， 以为直径的圆：， 整理得： ，得， ， 将代入整理得：，令，得或. 当直线 斜率不存在时，、， 以为直径的圆：也过点、两点， 综上：以为直径的圆能过两定点、. 2 【黑龙江省齐齐哈尔市

29、 2019 届高三第一次模拟考试（3 月)】已知 为坐标原点，椭圆 ： 的左、右焦点分别为，.过焦点且垂直于 轴的直线与椭圆 相交所得 的弦长为 3，直线与椭圆 相切. （1）求椭圆 的标准方程； （2）是否存在直线 ：与椭圆 相交于两点，使得？若存在，求 的取值 范围；若不存在，请说明理由！ 【解析】 （1）在中，令，得，解得. 由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆 相交所得的弦长）为 3， 得， 所以. 因为直线 ：与椭圆相切，则. 将代入，得. 故椭圆 的标准方程为. （2）设点，. 由（1）知，则直线 的方程为. 联立得， 则恒成立. 所以， . 因为， 所以.即. 即 ， 得，

30、得， 即， 解得； 直线 存在，且 的取值范围是. 3 【山东省潍坊市 2019 届高三下学期高考模拟（一模)】如图，点 为圆 ：上一动点，过点 分 别作 轴， 轴的垂线，垂足分别为 ， ，连接延长至点 ，使得，点 的轨迹记为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）若点 ， 分别位于 轴与 轴的正半轴上，直线与曲线 相交于， 两点，试问在曲线 上是否存 在点 ，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线 方程；若不存在，说明理由. 【解析】 （1）设， 则， 由题意知，所以 为中点， 由中点坐标公式得 ， 即， 又点 在圆 ：上，故满足 ， 得. （2）由题意知直线 的斜率存在且不为零， 设直线

31、 的方程为， 因为，故，即 ， 联立， 消去 得：， 设， ， ， 因为为平行四边形，故， 点 在椭圆上，故，整理得， 将代入，得，该方程无解， 故这样的直线不存在. 4【湘赣十四校2019届高三下学期第一次联考】椭圆 ：的左焦点为且离心率为， 为椭圆 上任意一点，的取值范围为，. （1）求椭圆 的方程； （2）如图，设圆 是圆心在椭圆 上且半径为 的动圆，过原点 作圆 的两条切线，分别交椭圆于 ， 两点. 是否存在 使得直线与直线的斜率之积为定值？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 【解析】 （1）椭圆的离心率 椭圆的方程可写为 设椭圆 上任意一点 的坐标为 则 ， ， 椭圆 的方程为

32、 （2）设圆 的圆心为，则圆 的方程为 设过原点的圆的切线方程为：，则有 整理有 由题意知该方程有两个不等实根，设为， 则 当时， 当圆 的半径时，直线与直线的斜率之积为定值 5 【安徽省六安市第一中学 2019 届高三下学期高考模拟】已知圆 A： x2+y2+2x-15=0 和定点 B（1，0） ，M 是 圆 A 上任意一点，线段 MB 的垂直平分线交 MA 于点 N，设点 N 的轨迹为 C （）求 C 的方程； （）若直线 y=k（x-1）与曲线 C 相交于 P，Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在定点 R，使当 k 变化时，总 有ORP=ORQ？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，请说

33、明理由 【解析】 （）圆 A：（x+1）2+y2=16，圆心 A（-1，0） ，由已知得|NM|=|NB|， 又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4|AB|=2， 所以由椭圆的定义知点 N 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆， 设其标准方程 C：，则 2a=4，2c=2，所以 a2=4，b2=3， 所以曲线 C：； （）设存在点 R（t，0）满足题设，联立直线 y=k（x-1）与椭圆方程， 消去 y，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则由韦达定理得， 由题设知 OR 平分PRQ直线 RP 与直 RQ 的倾斜角互补，

34、即直线 RP 与直线 RQ 的斜率之和为零， 即， 即， 即 2kx1x2-（1+t） k（x1+x2）+2tk=0， 把、代入并化简得，即（t-4）k=0， 所以当 k 变化时成立，只要 t=4 即可，所以存在定点 R（4，0）满足题设. 6 【四川省成都市第七中学 2019 届高三二诊】已知椭圆（）的左焦点为 ，点 为椭 圆 上任意一点，且的最小值为，离心率为。 （I）求椭圆 的方程； （II）若动直线 与椭圆 交于不同两点 、 （ 、 都在 轴上方） ，且. （i）当 为椭圆与 轴正半轴的交点时，求直线 的方程； （ii）对于动直线 ，是否存在一个定点，无论如何变化，直线 总经过此定点？

35、若存在，求出该定点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】 （I）设椭圆的标准方程为：（） 离心率为， 点 为椭圆 上任意一点，且的最小值为， ， 解得， 椭圆 的方程为. （II） （i）由题意， ， 直线为：， 代入，得，解得或， 代入，得，舍，或，. ，直线的方程为：. （ii）存在一个定点，无论如何变化，直线 总经过此定点. 证明：，在于 轴的对称点在直线上， 设直线的方程为：， 代入，得， 由韦达定理得， 由直线的斜率，得的方程为： 令，得： ， ， ， 对于动直线 ，存在一个定点，无论如何变化，直线 总经过此定点. 7【陕西省榆林市 2018-2019 年度高三第二次模拟】 设

36、为坐标原点， 动点在椭圆 ： 上，该椭圆的左顶点 到直线的距离为. （1）求椭圆 的标准方程； （2）若椭圆 外一点 满足，平行于 轴，动点 在直线上，满足 .设过点 且垂直的直线 ，试问直线 是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请 说明理由. 【解析】 （1） 左顶点 A 的坐标为 （a， 0） ， ， |a5|3， 解得 a2 或 a8（舍去） ， 椭圆 C 的标准方程为+y21， （2）由题意 M（x0，y0） ，N（x0，y1） ，P（2，t） ，则依题意可知 y1y0，得（x02 x0， y12y0） （0， y1y0） =0， 整理可得 y12y0， 或 y1y0 （舍）

37、 ， 得 （x0， 2y0）（2x0， t2y0） 2， 整理可得 2x0+2y0tx02+4y02+26， 由 （1） 可得 F（， 0） ， （x0， 2y0） ， （x0，2y0） （2，t）62x02y0t0，NFOP，故过点 N 且垂直于 OP 的直线过 椭圆 C 的右焦点 F 8 【福建省龙岩市 2019 届高三下学期教学质量检查】已知椭圆的两焦点为、，抛物线 ： （）的焦点为 ，为等腰直角三角形 （）求 的值； （）已知过点的直线 与抛物线 交于两点，又过作抛物线 的切线，使得，问这 样的直线 是否存在？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由 【解析】 （）椭圆，两焦点为,

38、， 为等腰直角三角形， （）过点的直线 与抛物线 交于两点，的斜率必存在， 设直线 的方程为， 由得 ，或 抛物线 方程得为所以 切线的斜率分别为， 当时，即 又，解得合题意， 所以存在直线 的方程是，即 9【湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试 （一模)】 已知椭圆 的左、右焦点分别为且椭圆上存在一点，满足. (1)求椭圆 的标准方程； (2)已知分别是椭圆 的左、右顶点，过的直线交椭圆 于两点，记直线的交点为 ，是否存 在一条定直线 ，使点 恒在直线 上? 【解析】 （1）设，则内， 由余弦定理得， 化简得，解得， 故， ，得， 所以椭圆 的标准方程为. （2）已知

39、，设， 由， ， 两式相除得. 又， 故， 故， 设的方程为，代入整理， 得，恒成立. 把代入， 得， 得到，故点 在定直线上. 10 【江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考】已知椭圆的离心率为，焦点 分别为，点 是椭圆 上的点，面积的最大值是 （）求椭圆 的方程； （）设直线 与椭圆 交于两点，点 是椭圆 上的点， 是坐标原点，若判定四边形 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由 【解析】 （）由解得 得椭圆 的方程为. （）当直线 的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为 当直线 的斜率存在时，设直线 方程是，联立椭圆方程 ， 点 到直线的距离是 由

40、得 因为点 在曲线 上，所以有整理得 由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为 由得, 故四边形的面积是定值，其定值为 11.已知椭圆E：1(ab0)以抛物线y28x的焦点为顶点,且离心率为 . x2 a2 y2 b2 1 2 (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l：ykxm与椭圆E相交于A,B两点,与直线x4 相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足OP (其中O为坐标原点),试问在x轴上是否存在一点T,使得为定值？若存在,求出点T的坐标及OA OB OP TQ OP 的值；若不存在,请说明理由TQ 【解析】(1)抛物线y28x的焦点为椭圆E的顶点,即a2.又 ,故c1,b. c a 1 2

41、3 椭圆E的方程为1. x2 4 y2 3 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), ,OP OA OB P(x1x2,y1y2), 联立Error!Error! 得(4k23)x28kmx4m2120. 由根与系数的关系,得 x1x2,y1y2k(x1x2)2m. 8km 4k23 6m 4k23 将P代入椭圆E的方程, ( 8km 4k23， 6m 4k23) 得1,整理,得 4m24k23. 64k2m2 44k232 36m2 34k232 设T(t,0),Q(4,m4k), (4t,m4k),.TQ OP ( 8km 4k23， 6m 4k23) 即.OP TQ 32km8kmt

42、 4k23 6mm4k 4k23 6m28km8kmt 4k23 4k234m2, .OP TQ 6m28km8kmt 4m2 3 2 2k1t m 要使为定值,OP TQ 只需 2 为定值,则 1t0,t1, 2k1t m 4k21t2 m2 4m231t2 m2 在x轴上存在一点T(1,0),使得为定值 .OP TQ 3 2 12.已知椭圆C:01 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点为 F, 2 2 1，A为椭圆上一点,AF 交y轴于点 M,且 M 为 AF 的中点. （I）求椭圆 C 的方程； （II） 直线l与椭圆 C 有且只有一个公共点 A,平行于 OA 的直线交l于P

43、,交椭圆 C 于不同的两点 D,E,问是否 存在常数,使得PEPDPA 2 ,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由. 【答案】 （I）1 2 2 2 y x （II）1 【解析】 （）设椭圆的右焦点是 1 F, 在 1 AFF中, 1 / AFOM, 1c 2 分 12 2 2 2 ba a b 所以椭圆的方程为1 2 2 2 y x 4 分 （）设直线 DE 的方程为txy 2 2 ,解方程组 1 2 2 2 2 2 y x txy 消去y得到 012 22 ttxx 若 2211 ,yxEyxD 则1,2 2 2121 txxtxx,其中02-4 2 t 6 分 2121 2 21 22

44、 2 3 ) 2 2 (1(xxxxxxxxxxPEPD PPPP 又直线l的方程为1 2 2 2 yx ,直线 DE 的方程为txy 2 2 , 8 分 所以 P 点坐标 22 22 , 2 22t y t x PP , 2 22 2 2 4 3 2 2 22 22 1 2 22 , 4 3 t tt APtPEPD 所以存在常数1使得PDPEPA 2 12 分 13.已知椭圆:C 22 22 1(0) xy ab ab 的两个焦点分别为 1( 2,0)F , 2( 2,0) F,以椭圆短轴为直径的圆 经过点(1,0)M. （1）求椭圆C的方程； （2）过点M的直线l与椭圆C相交于,A B两

45、点,设直线,AN BN的斜率分别为 12 ,k k,问 12 kk是否为定 值？并证明你的结论. 【答案】(1) 2 2 1 3 x y ;(2) 12 kk为定值 2. 【解析】 （1）由已知得： 22 2,2cab,由已知易得 | 1bOM,解得 3a ,则椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y. （2）当直线l的斜率不存在时,由 2 2 1 1 3 x x y ,解得 6 1, 3 xy ,设 66 (1,), (1,) 33 AB , 12 66 22 33 2 22 kk . 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为(1)yk x,将(1)yk x代入 2 2 1 3 x y整理化简,得 2222 (31)6330kxk xk, 依题意