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1、导数及其应用导数及其应用 【2019 年高考考纲解读】【2019 年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1)导数的几何意义是考查热点，要求是 B 级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够 解决与曲线的切线有关的问题； (2)导数的运算是导数应用的基础，要求是 B 级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数 的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步； (3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是 B 级，对应用导数研究函数的单调性与极 值要达到相等的高度. (4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到
2、的函数模型更加宽广，要求 是 B 级； 【重点、难点剖析】【重点、难点剖析】 1导数的几何意义 (1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率， 即kf(x0) (2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0) 2基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)cf(x)0 f(x)xn(nR R)f(x)nxn1 f(x)sin xf(x)cos x f(x)cos xf(x)sin x f(x)ax(a0 且a1)f(x)axln a f(x)exf(x)ex
3、 f(x)logax (a0 且a1) f(x) 1 xln a f(x)ln xf(x)1 x (2)导数的四则运算 u(x)v(x)u(x)v(x)； u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)； (v(x)0) ux vx uxvxuxvx vx2 3函数的单调性与导数 如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立在区间上 离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数 yxsin x . 【感悟提升】 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是 切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P
4、处的切线，必以点P为切点 (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂 直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来 求解 【变式探究】(2018全国)曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_ 答案 2xy0 解析 y2ln(x1)，y.令x0，得y2，由切线的几何意义得切线斜率为 2，又切线过 2 x1 点(0,0)， 切线方程为y2x，即 2xy0. 【2016 高考新课标 2 理数】 若直线ykxb是曲线ln2yx的切线， 也是曲线的切线， 则 b 【答案】1 ln2 【解析】对函
5、数ln2yx求导得 1 y x ，对求导得 1 1 y x ，设直线ykxb与曲线 ln2yx相切于点 111 ( ,)P x y， 与曲线相切于点 222 (,)P xy， 则， 由点 111 ( ,)P x y在切线上得，由点 222 (,)P xy在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以，解得 . 【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值求曲线上的点到直线的距离的最 值的基本方法是“平行切线法” ，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线 上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值 【举一反三】(2015陕西，15)设曲
6、线yex在点(0，1)处的切线与曲线y (x0)上点P处的切线垂直， 1 x 则P的坐标为_ 解析 (ex)e01，设P(x0，y0)，有Error!Error! 1，|x0) xx0 1 x 又x00，x01，故xP(1，1) 答案 (1，1) 【变式探究】 (1)曲线 yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A2e Be C2 D1 (2)在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax2 (a，b 为常数)过点 P(2，5)，且该曲线在点 P 处的切线 b x 与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是_ 【命题意图】 (1)本题主要考查函数求导法则及导数的几何意义 (2)本题主要
7、考查导数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力 【答案】(1)C (2)3 【感悟提升】 1求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是 切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点 2利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂 直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来 求解 题型二、利用导数研究函数的单调性题型二、利用导数研究函数的单调性 【例 2】已知函数f(x)2exkx2. (1)讨论函数f(x)
8、在(0，)内的单调性； (2)若存在正数m，对于任意的x(0，m)，不等式|f(x)|2x恒成立，求正实数k的取值范围 解 (1)由题意得f(x)2exk，x(0，)， 因为x0，所以 2ex2. 当k2 时，f(x)0，此时f(x)在(0，)内单调递增 当k2 时，由f(x)0 得xln ，此时f(x)单调递增； k 2 由f(x)2 时，f(x)在内单调递减， (0，ln k 2) 在内单调递增 校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系 (ln k 2，) 式y4(x6)2，其中 20， 10 3 (2， 10 3) 函数f(x)单调递增；在(，6)上，f(
9、x) 0，因此f(x)在(1，)内单调递增 又当x1 时，f(x)1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0. 因此f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在(ln(2a)，)内单调递增 又当x1 时，f(x)f(2x2)，即f(2x2)1 时，g(x)1 时，g(x)1，函数f(x)(1x2)exa. (1)求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点； (3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)， 证明：m1. 3 a2 e (1)解 f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex xR R
10、，f(x)0 恒成立 f(x)的单调增区间为(，) (2)证明 f(0)1a，f(a)(1a2)eaa， a1，f(0)2aeaa2aaa0， f(0)f(a)0，则m0， g(m)在(0，)上增 令g(x)0 得x . 1 2 1 2 所以f(x)的单调递增区间为，递减区间为.所以f(x)maxfc. (， 1 2) ( 1 2，) ( 1 2) 1 2e (2)由已知|ln x|f(x)得|ln x|c，x(0，)， x e2x 令g(x)|ln x|，yc. x e2x 当x(1，)时，ln x0，则g(x)ln x. x e2x 所以g(x) 0. 1 x 2x1 e2x 所以g(x)在(1，)上单调递增 当x(0,1)时，ln x1x0，所以时，方程|ln x|f(x)根的个数为 2. 1 e2 【规律方法】 (1)本题第(1)问， 利用了函数单调的充分条件 ： “若f(x)0， 则f(x)单调递增， 若f(x)0， 则f(x) 单调递减” ；求出函数的单调区间，而对于函数的最值需谨记函数在闭区间上一定存在最值，在开区间上函 数不一定存在最值，若存在，一定是极值 (2)本题第(2)问，借助转化与数形结合的思想，把方程根的个数转化为两个函数图象交点的个数，利用极 值解决问题