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1、空间几何体空间几何体 1已知，是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法： 若l，则l；若l，则l； 若l，则l；若l，则l. 其中说法正确的个数为( ) A3 B2 C1 D4 答案 C 解析 若l， 则l或l， 不正确 ； 若l， 则l 或l， 不正确 ； 若l，则l，正确；若l，则l或l或l与相交且l与不 垂直，不正确，故选 C. 2 如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点， 则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为( ) A B C D 答案 D 解析 由题意可得图中GH与MN平行，不合题意； 图中GH与MN异面，符合题意； 图中GH与MN相交，不合题意； 图中GH与
2、MN异面，符合题意 8已知正四棱锥PABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为 2，2 则此球的体积为( ) A. B. C. D. 124 3 625 81 500 81 256 9 答案 C 解析 如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O，正四棱锥PABCD的外接球的球心为O， 底面正方形的边长为，2 OD1， 正四棱锥的体积为 2， VPABCD ()2PO2，解得PO3， 1 3 2 OO|POPO|3R|， 在 RtOOD中，由勾股定理可得OO2OD2OD2， 即(3R)212R2，解得R ， 5 3 V球 R3 3 . 4 3 4 3 ( 5 3) 5
3、00 81 9在三棱锥SABC中，侧棱SA底面ABC，AB5，BC8，ABC60，SA2，则该三棱锥的外接5 球的表面积为( ) A. B. 64 3 256 3 C. D. 436 3 2 0483 27 答案 B 解析 由题意知，AB5，BC8，ABC60， 则根据余弦定理可得 AC2AB2BC22ABBCcosABC， 解得AC7， 设ABC的外接圆半径为r，则 ABC的外接圆直径 2r，r， AC sin B 7 3 2 7 3 又侧棱SA底面ABC， 三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离dSA，则外接球的半径R ， 1 2 5 ( 7 3) 2( 5)2 64 3 则该三棱锥的外接
4、球的表面积为S4R2. 256 3 10一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( ) A16 B882 C228 D4482626 答案 D 解析 由三视图知， 该几何体是底面边长为2的正方形， 高PD2 的四棱锥PABCD， 因为PD22222 平面ABCD，且四边形ABCD是正方形， 易得BCPC，BAPA， 又PC2，PD2CD2222 2 2 3 所以SPCDSPAD 222， 1 2 22 SPABSPBC 222. 1 2 236 所以几何体的表面积为 448.62 11在正三棱锥SABC中，点M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥SABC的外2
5、接球的表面积为( ) A6 B12 C32 D36 答案 B 解析 因为三棱锥SABC为正三棱锥，所以SBAC，又AMSB，ACAMA，AC，AM平面SAC，所以SB 平面SAC， 所以SBSA，SBSC， 同理SASC， 即SA，SB，SC三线两两垂直， 且AB2， 所以SASBSC2，2 所以(2R)232212，所以球的表面积S4R212，故选 B. 12若四棱锥PABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 81 5 81 20 101 5 101 20 答案 C 解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥PABCD，如图所示，平面PAD平面ABCD
6、， 由于PAD为等腰三角形，PAPD3，AD4，四边形ABCD为矩形，CD2，过PAD的外心F作平面PAD 的垂线， 过矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂线， 两条垂线交于一点O， 则O为四棱锥外接球的球心， 在PAD 中，cosAPD ，则 sinAPD， 323242 2 3 3 1 9 45 9 2PF，PF， AD sinAPD 4 45 9 95 5 95 10 PE，OHEF，9455 95 10 5 10 BH， 1 2 1645 OB ，OH2BH2 5 1005 505 10 所以S4. 505 100 101 5 13如图所示，正方形ABCD的边长为 2，切去阴影部分围
7、成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围 为( ) A(1,2) B(1,2 C(0,2 D(0,2) 答案 D 解析 设四棱锥一个侧面为APQ，APQx，过点A作AHPQ， 则AHPQtan x 1 2 ACPQ 2 2 2 PQ 2 PQ，2 1 2 PQ，AH， 22 1tan x 2tan x 1tan x S4 PQAH2PQAH 1 2 2，x， 22 1tan x 2tan x 1tan x 8tan x 1tan x2 4 ， 2) S 8tan x 1tan x2 8tan x 1tan2x2tan x 2， 8 1 tan xtan x2 8 22 ， (当且仅当tan
8、x1，即x 4 时取等号) 而 tan x0，故S0， S2 时，APQ是等腰直角三角形， 顶角PAQ90，阴影部分不存在，折叠后A与O重合，构不成棱锥， S的取值范围为(0,2)，故选 D. 14已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为 120的等腰三角形，侧(左)视图为直角三角 形，则该三棱锥的表面积为_，该三棱锥的外接球的体积为_ 答案 4 315 205 3 解析 由三视图得几何体的直观图如图所示， S表2 22 2 21 1 2 1 2 35 1 2 3 4.153 以D为原点，DB所在直线为x轴，DE所在直线为y轴，DA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则D(
9、0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(1，0)，3 设球心坐标为(x，y，z)， (x2)2y2z2x2y2z2， x2y2(z2)2x2y2z2， (x1)2(y)2z2x2y2z2，3 x1，y，z1， 3 球心坐标是(1，1)，3 球的半径是.12( 3)2125 球的体积是 3 . 4 3 (5) 205 3 15.如图所示， 三棱锥PABC中， ABC是边长为 3 的等边三角形，D是线段AB的中点，DEPBE， 且DEAB， 若EDC120，PA ，PB，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_ 3 2 33 2 答案 13 解析 在三棱锥PABC中，ABC是边长为 3
10、的等边三角形，设ABC的外心为O1，外接圆的半径O1A ， 在PAB中，PA ，PB，AB3， 满足PA2PB2AB2， 所以PAB为直角三角形， PAB 3 2sin 60 3 3 2 33 2 的外接圆的圆心为D，由于CDAB，EDAB，EDC120为二面角PABC的平面角，分别过两个三角 形的外心O1，D作两个半平面的垂线交于点O，则O为三棱锥PABC的外接球的球心， 在 RtOO1D中，ODO130，DO1， 3 2 则 cos 30，OD1，连接OA，设OAR， O1D OD 3 2OD 则R2AD2OD2 212 ， ( 3 2) 13 4 S球4R2413. 13 4 如图，过P作POAE，垂足为O， 因为平面PAE平面ABCDE， 平面PAE平面ABCDEAE，PO平面PAE， 所以PO平面ABCDE，PO为五棱锥PABCDE的高 在平面PAE内，PAPE10AE6，P在以A，E为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，由椭圆的几何性质知， 当点P为短轴端点时，P到AE的距离最大， 此时PAPE5，OAOE3， 所以POmax4， 所以(VPABCDE)maxSABCDEPOmax 1 3 284. 1 3 112 3 (2)证明 连接OB，如图，由(1)知，OAAB3，