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1、圆锥曲线圆锥曲线 【2019 年高考考纲解读】【2019 年高考考纲解读】 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率). 2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等) 【重点、难点剖析】【重点、难点剖析】 一、圆锥曲线的定义与标准方程 1圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|) (2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0，n0) x2 m y2 n 双曲线方程可设为1(mn0) x2 m y2 n 这样可以避免讨论和烦琐的计算 对于1 和1 来说，抓住a、b、c间的关系是关键. x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2
2、b2 【变式探究】(2017北京)若双曲线x21 的离心率为，则实数m_. y2 m 3 答案 2 解析 由双曲线的标准方程知， a1，b2m，c，1m 故双曲线的离心率e ， c a 1m3 1m3，解得m2. 【变式探究】(2017全国)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆 x2 a2 y2 b2 5 2 1 有公共焦点，则C的方程为( ) x2 12 y2 3 A.1 B.1 x2 8 y2 10 x2 4 y2 5 C.1 D.1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 3 答案 B 解析 由yx，可得 . 5 2 b a 5 2 由椭圆1 的焦点为(3,0)，(
3、3,0)， x2 12 y2 3 可得a2b29. 由可得a24，b25. 所以C的方程为1. x2 4 y2 5 故选 B. 【变式探究】(1)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l x2 a2 y2 b2 交C于A，B两点(异于M，N)， AF1B的周长为 4， 且直线AM与AN的斜率之积为 ， 则C的方程为( ) 3 2 3 A.1 B.1 x2 12 y2 8 x2 12 y2 4 C.1 D.y21 x2 3 y2 2 x2 3 答案 C 解析 由AF1B的周长为 4，可知|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，33 解得a，则M，N(
4、，0)3( 3，0 )3 设点A(x0，y0)(x0)，3 由直线AM与AN的斜率之积为 ， 2 3 可得 ， y0 x03 y0 x03 2 3 即y (x3)， 2 0 2 3 2 0 又1，所以yb2， x2 0 3 y2 0 b2 2 0 (1 x2 0 3) 由解得b22. 所以C的方程为1. x2 3 y2 2 (2)已知以圆C： (x1)2y24的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x2 8y上任意一点，BM与直线y2 垂直，垂足为M，则|BM|AB|的最大值为( ) A1 B2 C1 D8 答案 A 【感悟提升】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方
5、程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时， 椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式 (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定 【变式探究】(1)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲 x2 a2 y2 b2 线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为( )(3，4) A.1 B.1 x2 16 y2 9 x2 3 y2 4 C.1 D.1 x2 4 y2 3 x2 9 y2 16 答案 D 解析 点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上， c5，可得a2b225. 又点(3,4)在双曲线的渐近线yx上， b a . b a 4
6、 3 联立，解得a3 且b4， 可得双曲线的方程为1. x2 9 y2 16 (2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|， 且|AF|3，则此抛物线方程为( ) Ay29x By26x Cy 23x Dy2 x3 答案 C 解析 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G. 设a，则由已知得2a，|BF|BC| 由抛物线定义，得a，故BCD30，|BD| 在 RtACE中， |AF|3，33a，|AC|2|AE|，|AE|AC| 33a6，从而得a1，3a3.|FC| p ，|FG| 1 2|FC
7、| 3 2 因此抛物线方程为y23x，故选 C. 题型二 圆锥曲线的几何性质题型二 圆锥曲线的几何性质 例2、(2018北京)已知椭圆M：1(ab0)， 双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M x2 a2 y2 b2 x2 m2 y2 n2 的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离 心率为_ 答案 1 23 解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为yx，则 tan 60， 双曲线N的离心率e1满足e1 n m n m 3 2 1 4，e12. n2 m2 由Error!Error!得x2. a2b2 3a2b2 如图，设D点的横坐标为x， 由正六
8、边形的性质得|ED|2xc，4x2c2. a2b2，得 3a46a2b2b40， 4a2b2 3a2b2 3 20，解得 23. 6b2 a2 ( b2 a2) b2 a2 3 椭圆M的离心率e2满足e142. 2 2 b2 a2 3 e21.3 方法二 双曲线N的渐近线方程为yx， n m 则 tan 60. n m 3 又c12m，双曲线N的离心率为2.m2n2 c1 m 如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点， 设正六边形的边长为 1，则|FC|2c22，即c21. 又E为椭圆M上一点，则|EF|EC|2a，即 12a，3 a. 13 2 椭圆M的离心率为1. c2 a 2 1
9、3 3 【变式探究】(2018全国)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为 的直线与C交于M，N 2 3 两点，则等于( ) FM FN A5 B6 C7 D8 答案 D 【变式探究】(2018全国)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C x2 3 的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|等于( ) A. B3 C2 D4 3 2 3 答案 B 解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y x. 1 3 设两渐近线的夹角为 2，则有 tan ， 1 3 3 3 所以30. 所以MON260. 又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对
10、称性，不妨设MNON，如图所示 在 RtONF中，|OF|2，则|ON|.3 则在 RtOMN中，|MN|ON|tan 2tan 603.3 故选 B. 【方法技巧】圆锥曲线几何性质的应用技巧 1求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图 形当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在 联系 2 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)， 再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围 等. 【变式
11、探究】(2017全国)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24 所截得的 x2 a2 y2 b2 弦长为 2，则双曲线C的离心率为_ 答案 2 解析 设双曲线的一条渐近线方程为yx， b a 圆的圆心为(2,0)，半径为 2， 由弦长为 2，得圆心到渐近线的距离为.22123 由点到直线的距离公式，得，解得b23a2.所以双曲线C的离心率e 2. |2b| a2b2 3 c a c2 a2 1b 2 a2 【变式探究】(1)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B x2 a2 y2 b2 两点，若AF1F2的面积是BF1F2面积的三
12、倍，cosAF2B ，则椭圆E的离心率为( ) 3 5 A. B. C. D. 1 2 2 3 3 2 2 2 答案 D 解析 设|F1B|k，(k 0) 依题意可得|AF1|3k，|AB|4k， |AF2|2a3k，|BF2|2ak. cosAF2B ， 3 5 在ABF2中，由余弦定理可得 |AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B， (4k)2(2a3k)2(2ak)2 (2a3k)(2ak)， 6 5 化简可得(ak)(a3k)0， 而ak0，故a3k0，a3k， |AF2|AF1|3k，|BF2|5k， |BF2|2|AF2|2|AB|2， AF1AF2，A
13、F1F2是等腰直角三角形 ca，椭圆的离心率e . 2 2 c a 2 2 (2)已知双曲线M：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，2c.若双曲线M的右支上存在 x2 a2 y2 b2 |F1F2| 点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为( ) a sinPF1F2 3c sinPF2F1 A. B. (1， 27 3 )(1， 27 3 C(1,2) D.(1，2 答案 A 解析 根据正弦定理可知， sinPF1F2 sinPF2F1 |PF2| |PF1| 所以，即|PF2|PF1|， |PF2| |PF1| a 3c a 3c 2a，|PF1|PF2| 所以2a，解得， (1
14、 a 3c)|PF 1| |PF1| 6ac 3ca 而ac，即ac，|PF1| 6ac 3ca 整理得 3e24e11，所以 1b0)的左、右焦点，A是C的左顶点， x2 a2 y2 b2 点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为( ) 3 6 A. B. C. D. 2 3 1 2 1 3 1 4 答案 D 解析 如图，作PBx轴于点B. 由题意可设|F1F2|PF2|2，则c1， 由F1F2P120， 可得|PB|，|BF2|1，3 故|AB|a11a2， tanPAB， |PB| |AB| 3 a2 3 6 解得a4， 所以e . c a 1
15、 4 故选 D. (2)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为 2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直， x2 a2 y2 b2 ( 2 3a，0) 以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|c，则双曲线C的 42 3 渐近线方程为( ) Ayx Byx23 Cy2x Dy4x 答案 B 解析 方法一 由题意可设渐近线方程为yx， b a 则直线l的斜率kl ， a b 直线l的方程为y， a b(x 2 3a) 整理可得axbya20. 2 3 焦点(c,0)到直线l的距离d， |ac 2 3a 2| a2b2 |ac 2 3a 2| c 则弦长为 2
16、2c，c2d2 c2( ac2 3a 2)2 c2 42 3 整理可得c49a2c212a3c4a40， 即e49e212e40， 分解因式得0.(e1)(e2)(e23e2) 又双曲线的离心率e1，则e 2， c a 所以 ， b a c2a2 a2 ( c a) 21 3 所以双曲线C的渐近线方程为yx.3 方法二 圆心到直线l的距离为 ，c2(2 2 3 c)2 c 3 ， |ac 2 3a 2| c c 3 c23ac2a20， c2a，ba，3 渐近线方程为yx.3 题型三 直线与圆锥曲线题型三 直线与圆锥曲线 例3、 (2018全国)设抛物线C：y24x的焦点为F， 过F且斜率为k
17、(k0)的直线l与C交于A，B两点， |AB| 8. (1)求l的方程； (2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程 (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则Error!Error! 解得Error!Error!或Error!Error! 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144. 【变式探究】(2018天津)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为， x2 a2 y2 b2 5 3 点A的坐标为(b,0)，且|FB|AB|6.2 (1)求椭
18、圆的方程； (2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P， 且l与直线AB交于点Q.若sinAOQ(O |AQ| |PQ| 52 4 为原点)，求k的值 解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ， c2 a2 5 9 又由a2b2c2，可得 2a3b. 由已知可得|FB|a，|AB|b，2 由|FB|AB|6，可得ab6，从而a3，b2.2 所以椭圆的方程为1. x2 9 y2 4 (2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2) 由已知有y1y20，故|PQ|sinAOQy1y2. 又因为|AQ|，而OAB， y2 sinOAB 4 所以|AQ|y2.2 由sin
19、AOQ，可得 5y19y2. |AQ| |PQ| 52 4 由方程组Error!Error!消去x，可得y1 . 6k 9k24 由题意求得直线AB的方程为xy20， 由方程组Error!Error!消去x，可得y2. 2k k1 由 5y19y2，可得 5(k1)3，两边平方，9k24 整理得 56k250k110，解得k 或k. 1 2 11 28 所以k的值为 或. 1 2 11 28 【变式探究】 2018全国卷设抛物线C：y24x的焦点为F， 过点(2,0)且斜率为 的直线与C交于M，N 2 3 两点，则( )FM FN A5 B6 C7 D8 【解析】由题意知直线MN的方程为y (
20、x2)， 2 3 联立直线与抛物线的方程，得Error!Error! 解得Error!Error!或Error!Error!不妨设M为(1,2)，N为(4,4) 又抛物线焦点为F(1,0)，(0,2)，(3,4)FM FN 03248.FM FN 故选 D. 【答案】D 【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法 1通法：将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为 0)代入双曲线E的方程F(x，y)0，消去y(也可 以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元二次方程 解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想 解题 2点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆
21、锥曲线的交点坐标代入圆锥 曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解 提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即 0. 【变式探究】 (2017天津)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)， 右顶点为A， 点E的坐标为(0，c)， x2 a2 y2 b2 EFA的面积为. b2 2 (1)求椭圆的离心率； (2)设点Q在线段AE上，|FQ|，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PMQN，且直线PM 3c 2 与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为 3c. 求直线FP的斜率； 求椭圆的方程 解 (1)设椭圆的离心率为e. 由已知可得 (ca)c. 1 2 b
22、2 2 又由b2a2c2，可得 2c2aca20， 即 2e2e10，解得e1 或e . 1 2 又因为 00)， 则直线FP的斜率为 . 1 m 由(1)知a2c，可得直线AE的方程为 1， x 2c y c 即x2y2c0，与直线FP的方程联立， 可得x，y， 2m2c m2 3c m2 即点Q的坐标为. ( 2m2c m2 ， 3c m2) 由已知|FQ|， 3c 2 有 222， 2m2c m2 c ( 3c m2) ( 3c 2) 整理得 3m24m0，所以m (m0 舍去)， 4 3 即直线FP的斜率为 . 3 4 由a2c，可得bc，3 故椭圆方程可以表示为1. x2 4c2 y
23、2 3c2 由得直线FP的方程为 3x4y3c0，与椭圆方程联立得Error!Error! 消去y，整理得 7x26cx13c20， 解得x(舍去)或xc.因此可得点P， 13c 7 (c， 3c 2) 进而可得|FP| ，cc2(3c 2) 2 5c 2 所以|PQ|FP|FQ|c. 5c 2 3c 2 由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP. 因为QNFP， 所以|QN|FQ|tanQFN ， 3c 2 3 4 9c 8 所以FQN的面积为 |FQ|QN|. 1 2 27c2 32 同理FPM的面积等于. 75c2 32 由四边形PQNM
24、的面积为 3c，得3c， 75c2 32 27c2 32 整理得c22c.又由c0，得c2. 所以椭圆的方程为1. x2 16 y2 12 【变式探究】已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点 x2 a2 y2 b2 (1)若直线AB与椭圆的长轴垂直，|AB|a，求椭圆的离心率； 1 2 (2)若直线AB的斜率为 1，|AB|，求椭圆的短轴与长轴的比值 2a3 a2b2 解 (1)由题意可知，直线AB的方程为xc， |AB|a， 2b2 a 1 2 即a24b2， 故e . c a a2b2 a2 1b 2 a2 3 2 (2)设F1(c,0)，则直线A
25、B的方程为yxc， 联立Error!Error!消去y， 得(a2b2)x22a2cxa2c2a2b20， 4a4c24a2(a2b2)(c2b2)8a2b4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2，x1x2， 2a2c a2b2 a2c2b2 a2b2 |AB|x1x2|11 2x1x224x1x22 8a2b4 a2b2 ， 4ab2 a2b2 2a3 a2b2 a22b2， ， b2 a2 1 2 ，即椭圆的短轴与长轴之比为. 2b 2a 2 2 2 2 【感悟提升】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公 式等简化计算；涉及中点弦问
26、题时，也可用“点差法”求解 【变式探究】如图，过抛物线M：yx2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B， 点C是抛物线M上异于点A的点， 设G为ABC的重心(三条中线的交点)， 直线CG交y轴于点D.设点A(x0，x )(x00) 2 0 (1)求直线AB的方程； (2)求的值 |OB| |OD| 解 (1)因为y2x， 所以直线AB的斜率ky2x0. 所以直线AB的方程yx2x0(xx0)， 2 0 即y2x0xx， 2 0 即直线AB的方程为 2x0xyx0. 2 0 因为G为ABC的重心，所以y13y2. 由根与系数的关系，得y1y24y2， 1mx0 m2 y1y23y. 2 2 x2 0 4m2 所以， 1mx02 16m4 x2 0 12m2 解得mx032，满足0.3 所以点D的纵坐标yD， x0 2m x2 0 6 43 故46. |OB| |OD| |yB| |yD| 3