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1、【课时训练】 第 57 节 变量间的相关关系、 统计 案例 一、选择题 1(2018 长沙模拟)表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对 应数据 根据下表提供的数据， 求出y关于x的线性回归方程为 0.7x y 0.35，那么表中 t 的值为( ) x3456 y2.5t44.5 A3B3.15 C3.5 D4.5 【答案】A 【解析】因为线性回归方程过样本中心点，所以由回归方程 y 0.7x0.35，可知 0.7 0.35， yx 又 ， ，所以 y 2.5t44.5 4 11t 4 x 3456 4 9 2 11t 4
2、 0.7 0.35，解得 t3.故选 A. 9 2 2(2018 泰安模拟)登山族为了了解某山高 y(km)与气温 x()之 间的关系，随机统计了 4 次山高与相应的气温，并制作了对照表： 气温()1813101 山高(km)24343864 由表中数据，得到线性回归方程 2x ( R)由此估计山 y a a 高为 72(km)处气温的度数为( ) A10 B8 C6 D4 【答案】C 因为 10， 40，所以样本中心点为(10,40)，因 xy 为回归直线过样本中心点，所以 4020 ，即 60，所以线性 a a 回归方程为 2x60，所以山高为 72(km)处气温的度数为6.故 y 选 C
3、. 3(2018 南昌模拟)某商品的销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)存 在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小 二乘法建立的回归方程为 10x200， 则下列结论正确的是( ) y Ay 与 x 具有正的线性相关关系 B若 r 表示变量 y 与 x 之间的线性相关系数，则 r10 C当销售价格为 10 元时，销售量为 100 件 D当销售价格为 10 元时，销售量为 100 件左右 【答案】D y 与 x 具有负的线性相关关系，所以 A 错误；当销 售价格为 10 元时，销售量在 100 件左右，因此 C 错误，D 正确；B 项中10 是回归直线方程的斜
4、率，B 错误 4(2018 山东潍坊二模)为了研究某大型超市当天销售额与开业 天数的关系，随机抽取了 5 天，其当天销售额与开业天数的数据如下 表所示： 开业天数 x1020304050 当天销售额 y/ 万元 62758189 根据上表提供的数据， 求得y关于x的线性回归方程为 0.67x y 54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ( ) A67 B68 C68.3 D71 【 答 案 】 B 设 表 中 模 糊 看 不 清 的 数 据 为 m.因 为 x 30，又样本中心点( ， )在回归直线 0.67x 1020304050 5 xyy 54.9 上，所以 0.
5、673054.9，得 m68.故选 B. y m307 5 5(2018 湖南师大附中模拟)设某大学的女生体重 y(单位：kg)与 身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i 1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为 0.85x85.71，则下 y 列结论中不正确的是( ) Ay 与 x 具有正的线性相关关系 B回归直线过样本点的中心( ， ) xy C若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg D若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg 【答案】D 由于线性回归方程中 x 的系数为 0.85，因此 y 与
6、 x 具有正的线性相关关系，故 A 正确；又线性回归方程必过样本点的 中心( ， )，故 B 正确；由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加 1 xy cm，其体重约增加 0.85 kg，故 C 正确 ； 当某女生的身高为 170 cm 时， 其体重估计值是 58.79 kg，而不是具体值，因此 D 不正确 6 (2018 河南新乡三模)某医疗机构通过抽样调查(样本容量 n1 000)，利用 22 列联表和 K2统计量研究患肺病是否与吸烟有关计 算得 K24.453，经查对临界值表知 P(K23.841)0.05，现给出四个 结论，其中正确的是( ) A在 100 个吸烟的人中约有 95 个人
7、患肺病 B若某人吸烟，那么他有 95%的可能性患肺病 C有 95%的把握认为“患肺病与吸烟有关” D只有 5%的把握认为“患肺病与吸烟有关” 【答案】C 【解析】由已知数据可知，有 10.0595%的把握认为“患肺 病与吸烟有关” 7(2018 湖北十校联考)某产品的广告费用 x(万元)与销售额 y(万 元)的统计数据如下表： 广告费用 x(万元)4235 销售额 y(万元)49263958 根据上表可得回归方程 bx 中的 b10.6，据此模型预测 y a 广告费用为 10 万元时销售额为( ) A112.1 万元 B113.1 万元 C111.9 万元 D113.9 万元 【 答 案 】
8、C 由 题 意 知 ， 3.5， x 4235 4 y 43，将( ， )代入 10.6x 中，得 4310.63.5 49263958 4 xyy a ，解得 5.9，所以 10.6x5.9.当 x10 时， 111.9. a a y y 二、填空题 8(2018 山西临汾二模)对具有线性相关关系的变量 x，y 有一组 观测数据(xi， yi)(i1,2， 8)， 其回归直线方程是 xa， 且 x1x2 y 1 3 x3x82 (y1y2y3y8)6， 则实数 a 的值为_ 【答案】1 8 【解析】由题意可知样本点的中心为，则 a，解 ( 3 4， 3 8) 3 8 1 3 3 4 得 a
9、. 1 8 9(2018 唐山模拟)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化 的繁殖规律， 得如下实验数据， 计算得回归直线方程为 0.85x0.25. y 由以上信息，得到下表中 c 的值为_. 天数 x/天34567 繁殖个数 y/千个2.5344.5c 【答案】6 【解析】 5， x 34567 5 y 2.5344.5c 5 14c 5 ，代入回归直线方程中，得0.8550.25，解得 c6. 14c 5 10(2018 河南百校联盟质检)某班主任对全班 30 名男生进行了 作业量多少的调查，数据如下表： 认为作业多认为作业不多总计 喜欢玩电脑游戏12820 不喜欢玩电脑游戏2810 总
10、计141630 该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系， 则 这种推断犯错误的概率不超过_ 【答案】0.05 【解析】计算得 K2的观测值 k 30 12 82 82 14 16 20 10 4.2863.841，则推断犯错误的概率不超过 0.05. 三、解答题 11 (2018 黑龙江大庆质量检测)为了解高校学生平均每天使用手 机的时间长短是否与性别有关， 某调查小组随机抽取了 25 名男生， 10 名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示： 平均每天使 用手机3 小时 平均每天使 用手机3 小时 合计 男生151025 女生3710 合计181735 (1)在参与调查的
11、平均每天使用手机不超过 3 小时的 7 名女生中， 有 4 人使用国产手机，从这 7 名女生中任意选取 2 人，求至少有 1 人 使用国产手机的概率； (2) 根据列联表，是否有 90%的把握认为学生使用手机的时间长 短与性别有关(K2的观测值 k 精确到 0.01) 附： P(K2k0)0.4000.2500.1500.1000.0500.025 k00.7081.3232.0722.7063.8415.024 参考公式： K2(nabcd) nadbc2 acbdabcd 【解】 (1)设 7 名女生中， 使用国产手机的 4 人分别为 a1， a2， a3， a4， 使用非国产手机的 3
12、人为 b1，b2，b3.从 7 人中任选 2 人，共有 21 种 情况， 分别是 a1a2， a1a3， a1a4， a2a3， a2a4， a3a4, b1b2， b1b3， b2b3， a1b1， a1b2， a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，a4b1，a4b2，a4b3. 其中，事件 A “至少有 1 人使用国产手机”包含 18 种情况， 所以 P(A) ， 18 21 6 7 所以至少有 1 人使用国产手机的概率为 . 6 7 (2)由列联表得，K22.57. 35 15 710 32 18 17 25 10 175 68 由于 2.572.706，
13、 所以没有 90%的把握认为学生使用手机的时间 长短与性别有关 12(2018 安徽安庆二模)在党的十九大报告中，习近平总书记提 出“绿水青山就是金山银山” ，为响应习总书记的号召，某旅游局计 划共投入 4 千万元对各景区的环境进行综合治理， 并且对各旅游景区 收益的增加值作了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各 旅游景区在治理后收益的增加值， 工作人员绘制了下面的频率分布直 方图(如图所示)，由于操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴 是从 0 开始计数的 (1)频率分布直方图中各小长方形的宽度相等，求这个宽度 (2)旅游局在投入 4 千万元的治理经费下，估计全旅游景区收益 增加值
14、的平均数为多少万元？ (以各组的区间中点值代表该组的取 值) (3)若旅游局投入不同数额的治理经费，按照以上的研究方法， 得到以下数据： 投入治理经费 x(单位：千万 元) 1234567 收益的增加值 y(单位： 万 元) 232779 请将(2)的答案填入上表的空白栏， 结果显示 x 与 y 之间存在线性 相关关系在优化环境的同时，旅游局还计划使全旅游景区收益的总 额至少增加 10 万元，试估计旅游局应该对全市旅游景区至少投入多 少千万元的治理经费？(答案精确到 0.01) 附：回归方程 x 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别 y b a 为： ， . b n i1 x ixyi y n
15、 i1 x i x 2 n i1 xiyinxy n i1 x2 inx2 a yb x 【解】 (1)设各小长方形的宽度为 m， 由频率分布直方图各小长方 形面积总和为 1 可得， (0.080.100.140.120.040.02)m1，故 m2. (2)由(1)知各小组依次是0,2)， 2,4)， 4,6)， 6,8)， 8,10)， 10,12， 其 中 点 分 别 为 1,3,5,7,9,11， 对 应 的 频 率 分 别 为 0.16， 0.20， 0.28,0.24,0.08,0.04，故可估计平均数为 10.1630.250.28 70.2490.08110.045. (3)空白栏中填 5. 由 题 意 可 知 ， 4， x 1234567 7 y 5， 2325779 7 iyi12233245576779174， 7 i1 x 12223242526272140.根据公式可求得 7 i1 x2 i 1.214， 5 b n i1 xiyinx y n i1 x2 inx2 1747 4 5 1407 42 a yb x 1.21440.144， 所以回归方程为 1.214x0.144. y 当 y10 时，x8.12. 即旅游局应该对全市旅游景区至少投入 8.12 千万元的治理经费