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1、第 48 节 双 曲 线 一、选择题 1 (2018 合肥质检)若双曲线 C1： 1 与 C2：1(a x2 2 y2 8 x2 a2 y2 b2 0，b0)的渐近线相同，且双曲线 C2的焦距为 4，则 b( )5 A2B4 C6D8 【答案】B 【解析】由题意得 2b2a，C2的焦距 2c4c b a 5a2b2 2 b4.故选 B.5 2 (2018 广州联考)已知双曲线 C：1(a0， b0)的焦距 x2 a2 y2 b2 为 10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则 C 的方程为( ) A. 1B 1 x2 20 y2 5 x2 5 y2 20 C.1D1 x2 80 y2 2
2、0 x2 20 y2 80 【答案】A 【解析】 由题意知Error!解得Error!双曲线 C 的方程为 1. x2 20 y2 5 3(2018 浙江桐乡一中模拟)已知双曲线 1(b0)的离心 x2 4 y2 b2 率等于b，则该双曲线的焦距为( ) 3 3 A2B256 C6 D8 【答案】D 【解析】设双曲线的焦距为 2c.由已知得 b，又 c24b2， c 2 3 3 解得 c4，则该双曲线的焦距为 8. 4 (2018 山西平遥中学月考)已知双曲线 9y2m2x21(m0)的一 个顶点到它的一条渐近线的距离为 ，则 m( ) 1 5 A1 B2 C3 D4 【答案】D 【解析】由题
3、意知双曲线的一个顶点为，一条渐近线的方 (0， 1 3) 程为 mx3y0，则顶点到渐近线的距离为 ， 解得 m | 1 3 3| m29 1 5 4. 5(2018 湖南六校联考)已知双曲线1(a0，b0)的左、 x2 a2 y2 b2 右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交 点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A. 1B 1 x2 16 y2 9 x2 3 y2 4 C. 1D 1 x2 9 y2 16 x2 4 y2 3 【答案】C 【解析】 由已知可得交点(3,4)到原点 O 的距离为圆的半径， 则半 径 r5，故 c5，a2b225，又双曲线的一
4、条渐近线 y3242 x 过点(3,4)，故 3b4a，可解得 b4，a3.故选 C. b a 6 (2018南昌调研)已知F1， F2是双曲线C：1(a0， b0) x2 a2 y2 b2 的两个焦点，P 是 C 上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内 角的大小为 30，则双曲线 C 的渐近线方程是( ) A.xy0Bxy022 Cx2y0D2xy0 【答案】A 【解析】由题意，不妨设|PF1|PF2|， 则根据双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a， 又|PF1|PF2|6a，联立解得|PF1|4a，|PF2|2a. 在PF1F2中，|F1F2|2c，而 ca， 所以|PF2|
5、F1F2|. 所以PF1F230.所以(2a)2(2c)2(4a)222c4acos 30， 得 ca.所以 ba.3c2a22 所以双曲线的渐近线方程为 y xx，即xy0. b a 22 7 (2018江苏无锡模拟)已知A， B分别为双曲线C：1(a x2 a2 y2 b2 0，b0)的左、右顶点，点 P 为双曲线 C 在第一象限的任意一点， 点 O 为坐标原点若双曲线 C 的离心率为 2，PA，PB，PO 的斜率 分别为 k1，k2，k3，则 k1k2k3的取值范围为( ) A.B(0，) (0， 3 9) 3 C(0,3)D(0,8)3 【答案】C 【解析】因为 e 2，所以 ba.设
6、 P(x0，y0)(x00，y00)， c a 3 则1， k1k23.又双曲线的渐近线方 x2 0 a2 y2 0 b2 y0 x0a y0 x0a y2 0 x2 0a2 b2 a2 程为 yx，所以 0k3.所以 0k1k2k33 .故选 C.333 8(2018 沈阳质量监测)已知 P 是双曲线 y21 上任意一点， x2 3 过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线， 垂足分别为点 A， B， 则 PA 的值是( ) PB AB 3 8 3 16 CD不能确定 3 8 【答案】A 【解析】 设 P(x0， y0)， 因为该双曲线的渐近线方程分别是y x 3 0，y0，所以可取|PA|
7、，|PB|. x 3 | x0 3y 0| 1 31 | x0 3y 0| 1 31 又 cosAPBcosAOBcos 2AOxcos ， 所以 3 1 2 |cosAPB .故选 A. PA PB PA PB | x2 0 3 y2 0| 4 3 ( 1 2) 3 4( 1 2) 3 8 二、填空题 9(2018 武汉武昌区调研)双曲线 ：1(a0，b0)的焦 y2 a2 x2 b2 距为 10，焦点到渐近线的距离为 3，则 的实轴长等于_ 【答案】8 【解析】双曲线的焦点(0,5)到渐近线 y x，即 axby0 的距 a b 离为b3，所以 a4,2a8. |5b| a2b2 5b c
8、 10(2018 山东烟台模拟)若双曲线1(a0，b0)的一个 x2 a2 y2 b2 焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的离心率为 1 4 _ 【答案】 2 3 3 【解析】双曲线的一条渐近线方程为 bxay0，一个焦点坐标 为(c,0) 由题意得 2c.所以 c2b， ab， |bca 0| b2a2 1 4 c2b23 所以 e . c a 2 3 2 3 3 三、解答题 11 (2018 河南安阳一模)如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l1： yx 与直线 l2：yx 之间的阴影部分为 W.区域 W 中动点 P(x，y) 到 l1，l2的距离之积为 1. (1)
9、求点 P 的轨迹 C 的方程 (2)动直线 l 穿过区域 W，分别交直线 l1，l2于 A，B 两点若直 线 l 与轨迹 C 有且只有一个公共点，求证：OAB 的面积恒为定值 (1)【解】由题意得1， |xy| 2 |xy| 2 所以|(xy)(xy)|2. 因为点 P 在区域 W 内，所以 xy 与 xy 同号， 所以(xy)(xy)x2y22， 所以点 P 的轨迹 C 的方程为 1. x2 2 y2 2 (2)【证明】设直线 l 与 x 轴相交于点 D. 当直线 l 的斜率不存在时，|OD|，|AB|2，22 SOAB |AB|OD|2.当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 ykx 1 2 m，显然 k0，m0，则 D. ( m k ，0) 把直线 l 的方程与 C：x2y22 联立得 (k21)x22kmxm220. 由直线 l 与轨迹 C 有且只有一个公共点，知 4k2m24(k2 1)(m22)0，得 m22(k21)0， 所以 k1 或 k1. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error! 得 y1，同理得 y2. m 1k m 1k 所以 SOAB |OD|y1y2|2.综 1 2 1 2| m k| m 1k m 1k| | m2 1k2| 上， OAB 的面积恒为定值 2.