《2020届高考数学（理）一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 51 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学（理）一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 51 Word版含解析.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 51 节 圆锥曲线的综合问题 解答题 1(2018 沈阳二中期末)已知直线 l：yxm，mR. (1)若以点 M(2， 1)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P， 且点 P 在 x 轴上，求该圆的方程； (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线 l与抛物线 C： x2 y(m0)相 1 m 切，求直线 l 和抛物线 C 的方程 【解】(1)由题意得点 P 的坐标为(m,0)，且 MPl， 所以 kMPkl11(kl为直线 l 的斜率)， 01 m2 解得 m1.所以点 P(1,0) 设所求圆的半径为 r，则 r2|PM|2112， 所以所求圆的方程为(x2)2(y1)22. (2)将直线l：
2、 yxm中的y换成y， 可得直线l的方程为y xm. 由Error!得 mx2xm0(m0)，14m2， 因为直线 l与抛物线 C：x2 y 相切， 1 m 所以 14m20，解得 m . 1 2 当 m 时， 直线 l 的方程为 yx ， 抛物线 C 的方程为 x22y ； 1 2 1 2 当m 时， 直线l的方程为yx ， 抛物线C的方程为x2 1 2 1 2 2y. 2(2018 新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆 C：1(ab0)的 x2 a2 y2 b2 焦距为 2，且过点. (1， 2 2) (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A， B两点， P为椭圆C上一点
3、， O 为坐标原点，且满足t，其中 t，求|AB|的取 OA OB OP ( 2 6 3 ，2) 值范围 【解】(1)依题意得Error!解得Error! 椭圆 C 的方程为 y21. x2 2 (2)由题意可知，直线 AB 的斜率存在，设其方程为 yk(x 2)由Error!得(12k2)x28k2x8k220， 8(12k2)0，解得 k2 . 1 2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则Error! 由t得 PError!， Error!， OA OB OP 代入椭圆 C 的方程得 t2. 16k2 12k2 由t2 得 k2 ， 2 6 3 1 4 1 2 |AB|1k2 2
4、2 12k2 12k2 2. 2 12k22 1 12k21 令 u，则 u， 1 12k2( 1 2， 2 3) |AB|2.2u2u1 (0， 2 5 3) |AB|的取值范围为. (0， 2 5 3) 3(2018 陕西联考)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分 x2 a2 y2 b2 别为 F1和 F2，由 4 个点 M(a，b)，N(a，b)，F2和 F1构成一个高为 ，面积为 3 的等腰梯形33 (1)求椭圆的方程； (2)过点F1的直线和椭圆交于A， B两点， 求F2AB面积的最大值 【解】(1)由条件得 b，且3 ，ac3.3 2a2c 2 33 又 a2c23，解得 a2，c1
5、. 椭圆的方程为 1. x2 4 y2 3 (2)显然，直线 AB 的斜率不能为 0. 设直线 AB 的方程为 xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立Error!消去 x 得(3m24)y26my90. 直线 AB 过椭圆内的点 F， 无论 m 为何值， 直线和椭圆总相交， 又 y1y2，y1y2， 6m 3m24 9 3m24 SF2AB |F1F2|y1y2|y1y2| 1 2 y 1y224y1y2 12 m21 3m 2 4 2 4 m21 (m 211 3) 2 4. 1 m212 3 1 9m2 1 令 tm211，设 f(t)t ， 1 9t 易知 t时，函数 f(
6、t)单调递减，t时，函数 f(x) (0， 1 3)( 1 3，) 单调递增， 当 tm211，即 m0 时，f(t)min，SF2AB的最大值为 3. 10 9 4 (2018 湖北武汉调研)已知椭圆 C： 1(ab0)经过点 x2 a2 y2 b2 P，且离心率为. (1， 2 2) 2 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l： yxm 与椭圆 C 交于两个不同的点 A， B， 求OAB 面积的最大值(O 为坐标原点) 【解】(1)由题意知Error!又 a2b2c2，解得Error!所以椭圆 C 的 方程为 y21 x2 2 (2)将直线 l 的方程代入椭圆方程 y21， 消去
7、 y 得 3x24mx x2 2 2(m21)0. 由 (4m)224(m21)0，得 m23. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，x1x2. 4m 3 2m2 1 3 所以|AB|x1x2|1k22 x 1x224x1x2 2 . ( 4m 3) 242m 2 1 3 4 3 3m2 又原点O(0,0)到直线AB： xym0的距离d.所以SOAB |m| 2 |AB|d . 1 2 1 2 4 3 3m2 |m| 2 2 3 m23m2 因为 m2(3m2) 2 ， 当仅且当 m23m2， 即 m2 ( m23m2 2) 9 4 时取等号 3 2 所以 SOAB ，即OA
8、B 面积的最大值为. 2 3 3 2 2 2 2 2 5 (2018 郑州二测)已知动圆 M 恒过点(0,1)， 且与直线 y1 相 切 (1)求圆心 M 的轨迹方程； (2)动直线 l 过点 P(0，2)，且与圆心 M 的轨迹交于 A，B 两点， 点 C 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直线 AC 恒过定点 (1)【解】 由题意得， 点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y 1 的距离，由抛物线的定义知圆心 M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直 线 y1 为准线的抛物线，则 1，p2. p 2 圆心 M 的轨迹方程为 x24y. (2)【证明】设直线 l：ykx2，A(x1，y1)，
9、B(x2，y2)，则 C(x2，y2) 联立得Error!x24kx80，Error! kAC， 直线AC的方程为yy1(x y1y2 x1x2 x2 1 4 x 2 2 4 x1x2 x1x2 4 x1x2 4 x1) 即 yy1(xx1)x x， x1x2 4 x1x2 4 x1 x 1x2 4 x2 1 4 x1x2 4 x1x2 4 x1x20，yxx2，即直线 AC 恒过点 x1x2 4 x1x2 4 x1x2 4 (0,2) 6 (2018 唐山二模)已知ABC 的顶点 A(1,0)， 点 B 在 x 轴上移动， |AB|AC|，且 BC 的中点在 y 轴上 (1)求点 C 的轨迹
10、 的方程； (2)已知过 P(0，2)的直线 l 交轨迹 于不同两点 M，N，求证： Q(1,2)与 M，N 两点连线 QM，QN 的斜率之积为定值 【解】 (1)设 C(x， y)(y0)， 因为 B 在 x 轴上且 BC 中点在 y 轴上， 所以 B(x,0)，由|AB|AC|，得(x1)2(x1)2y2， 化简得 y24x，所以 C 点的轨迹 的方程为 y24x(y0) (2)直线 l 的斜率显然存在且不为 0， 设直线 l 的方程为 ykx2，M(x1，y1)， N(x2，y2)， 由Error!得 ky24y80， 所以 y1y2 ，y1y2 ， 4 k 8 k kMQ，同理 kMQ
11、，kMQkNQ y12 x11 y12 x11 y12 y2 1 4 1 4 y12 4 y22 4， 4 y12 4 y22 16 y1y22y1y24 所以 Q(1,2)与 M，N 两点连线的斜率之积为定值 4. 7(2018 四川绵阳南山中学二诊)已知椭圆 1(ab0) x2 a2 y2 b2 的焦距为 2 ，且经过点(，1)过点 D(0，2)且斜率为 k 的22 直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，与 x 轴交于 P 点，点 A 关于 x 轴的对 称点 C，直线 BC 交 x 轴于点 Q. (1)求 k 的取值范围 (2)试问：|OP|OQ|是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明 理
12、由 【解】(1)由已知得 2c2，所以 c，又因为 c2a2b2，22 所以 a2b22，又因为椭圆过点(，1)，所以1，2 2 a2 1 b2 联立解得 a2，b，所以椭圆方程为 1.2 x2 4 y2 2 设直线l的方程为ykx2， 联立Error!消去y得(12k2)x28kx 40. 由 64k216(12k2)0，得 k2 ， 1 2 所以 k 的取值范围为. (， 2 2) ( 2 2 ，) (2)令 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 C(x1，y1)， 由(1)知 x1x2，x1x2. 8k 12k2 4 12k2 由 ykx2 中，令 y0 得 xp ，即 P. 2 k(
13、 2 k，0) 直线 BC 的方程为 y(xx1)y1， y2y1 x2x1 令 y0 得 xQ. x2y1x1y2 y2y1 将 y1 kx1 2， y2 kx2 2 代 入 上 式 得 xQ x2y1x1y2 y2y1 2k， 所 以 |OP|OQ| 2kx1x22x1x2 kx1x24 2k 4 12k2 16k 12k2 k 8k 12k24 |xP|xQ|2k|4，为定值 | 2 k| 8(2018 衡水中学高三联考)已知椭圆 C：1(ab0)短轴 x2 a2 y2 b2 的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线 3x4y60 与 圆 x2(yb)2a2相切 (1)求椭圆 C 的
14、方程； (2)已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1， l2分别交椭圆C于M， N 两点，且 l1l2，求证：直线 MN 过定点，并求出定点坐标； (3)在(2)的条件下求AMN 面积的最大值 【解】(1)由题意得Error!Error! 即 C： y21. x2 4 (2)由题意得直线 l1，l2的斜率存在且不为 0. A(2,0)，设 l1：xmy2，l2：x y2， 1 m 由Error!得(m24)y24my0， M.同理，N. ( 2m28 m24 ， 4m m24)( 28m2 4m21， 4m 4m21) m1 时，kMN，lMN：y. 5m 4m2 1 5m 4m2 1 (x 6
15、 5) 此时过定点. ( 6 5，0) lMN恒过定点. ( 6 5，0) (3)由 (2)知 S AMN |yM yN| 8 1 2 4 5 2 5| 4m m24 4m 4m21| . | m3m 4m417m24| 8|m 1 m| 4(m 1 m) 29 8 4|m 1 m| 9 |m 1 m| 令 t2，当且仅当 m1 时取等号， |m 1 m| SAMN，且当 m1 时取等号 16 25 (SAMN)max. 16 25 9(2018 重庆市高考一模)已知 F1，F2分别为椭圆 C： 1 x2 3 y2 2 的左、右焦点，点 P(x0，y0)在椭圆 C 上 (1)求的最小值； PF
16、1 PF2 (2)若 y00 且0，已知直线 l：yk(x1)与椭圆 C 交于 PF1 F1F2 两点 A，B，过点 P 且平行于直线 l 的直线交椭圆 C 于另一点 Q.问： 四边形 PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线 l 的方程；若 不能，请说明理由 【解】(1)由题意可知，F1(1,0)，F2(1,0)， (1x0，y0)，(1x0，y0) PF1 PF2 x y 1 PF1 PF2 2 02 0 点 P(x0，y0)是椭圆 C 上， 1，即 y 2 x2 0 3 y2 0 2 2 0 2x2 0 3 x 2 x 1 x 1，且x0 PF1 PF2 2 0 2 3 2 0 1
17、 3 2 0 33 最小值 1. PF1 PF2 (2)0，x01，y00，P PF1 F1F2 (1， 2 3 3) 设 A(x1y1)，B(x2，y2) 由Error!得，(23k2)x26k2x3k260， x1x2，x1x2， 6k2 23k2 3k26 23k2 |x1x2|， x 1x224x1x2 4 3 1k2 23k2 |AB|x1x2|1k2 4 31k2 23k2 P， PQAB， 直线 PQ 的方程为 yk(x1) (1， 2 3 3) 2 3 3 由Error!得，(23k2)x26kx3 260. (k 2 3 3)(k 2 3 3) xP1，xQ，|PQ|xPxQ| 23k24 3k 23k2 1k2 ，1k2 |44 3k| 23k2 若四边形 PABQ 能成为平行四边形，则|AB|PQ|， 4|44k|，解得 k.31k23 3 3 符合条件的直线 l 的方程为 y(x1)，即 xy10. 3 2 3