2020高考数学刷题首秧第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试35基本不等式文含解析.pdf

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1、考点测试 35 基本不等式考点测试 35 基本不等式 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题,分值5分,中等难度 考纲研读 1.了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 一、基础小题 1“a0 且b0”是“”成立的( ) ab 2 ab A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a0 且b0,但a0 且b0,只能推出a0 且b0. ab 2 ab ab 2 ab / 2已知 02)在xa处取最小值,则a等于( ) 1 x2 A1 B1 C3 D423 答案 C 解析 x2, x20, f(x)x(x2)222

2、1 x2 1 x2 x2 1 x2 224, 当且仅当x2, 即(x2)21时等号成立, 解得x1或3.又x2, x 1 x2 3,即a等于 3 时,函数f(x)在x3 处取得最小值,故选 C. 4函数f(x)x (x0,y,x42x2x 2 x2 x2x 2 2 当且仅当x2x,即x1 时取等号 6函数y(x1)的图象的最低点的坐标是( ) x22x2 x1 A(1,2) B(1,2) C(1,1) D(0,2) 答案 D 解析 y(x1)2,当x0 时取最小值 x 1 21 x1 1 x1 7设 00,即a,D ab 2 ababaab 错误故选 B. 8 已知a0,b0,a,b的等比中项

3、是 1, 且mb ,na , 则mn的最小值是( ) 1 a 1 b A3 B4 C5 D6 答案 B 解析 由题意知ab1,mb 2b,na 2a,mn2(ab)44, 1 a 1 b ab 当且仅当ab1 时取等号 9若 2x2y1,则xy的取值范围是( ) A0,2 B2,0 C2,) D(,2 答案 D 解析 12x2y22当且仅当 2x2y ,即xy1 时等号成2x2y2xy 1 2 立, ,2xy ,得xy2.2xy 1 2 1 4 10下列函数中,最小值为 4 的是( ) Ay x29 x25 Bysinx(0x) 4 sinx Cyex4ex Dylog3x4logx3 答案

4、C 解析 对于 A,因为,所以y的最小值不是 4,所以不x255x25 4 x25 满足题意;对于 B,令 sinxt(0,1,则yt ,y10,因此函数yt 4 t 4 t2 4 t 在(0,1上单调递减,所以y5,所以不满足题意;对于 C,y24,当且仅ex4ex 当 ex4ex,即xln 2 时取等号,故满足题意 ; 对于 D,当x(0,1)时,log3x, logx31 时, 关于x的不等式f(x) a在 R R 上恒成立等价于x ax 在 R R x 2 2 x x 2 2 x 上恒成立, 即有x a 在 R R 上恒成立, 由于x1, 所以x 22 3 2 2 x x 2 2 x

5、3 2 2 x 3x 2 2 x ,当且仅当x时取得最大值2;因为x1,所以x 22,当且仅3 2 3 3 1 2 2 x 1 2x 2 x 当x2 时取得最小值 2,则2a2.3 由可得a2.故选 A. 47 16 14(2018天津高考)已知a,bR R,且a3b60,则 2a的最小值为_ 1 8b 答案 1 4 解析 由已知,得 2a2a23b222 ,当且仅当 2a 1 8b 2a23b2a3b26 1 4 23b时等号成立, 由a3b,a3b60, 得a3,b1, 故当a3,b1 时, 2a 取得最小值 . 1 8b 1 4 15(2015重庆高考)设a,b0,ab5,则的最大值为_

6、a1b3 答案 32 解析 令t,a1b3 则t2()2a1b3 a1b32a1b3 9a1b318, 当且仅当a1b3 时, 即a ,b 时,等号成立, 7 2 3 2 所以t的最大值为 3.2 16 (2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨, 每次购买x吨, 运费为 6 万元/ 次,一年的总存储费用为 4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 _ 答案 30 解析 设总费用为y万元, 则y64x4x240, 当且仅当x, 即x 600 x 900 x 900 x 30 时,等号成立 17(2017天津高考)若a,bR R,ab0,则的最小值为_ a44b41

7、ab 答案 4 解析 a44b42a22b24a2b2(当且仅当a22b2时“”成立), a44b41 ab 4ab,由于ab0,4ab24 当且仅当 4ab时“”成 4a2b21 ab 1 ab 1 ab 4ab 1 ab 1 ab 立,故当且仅当Error!Error!时,的最小值为 4. a44b41 ab 三、模拟小题 18(2018廊坊一模)已知m0,n0,2mn1,则 的最小值为( ) 1 4m 2 n A4 B2 C. D162 9 2 答案 C 解析 m0,n0,2mn1,则 (2mn) 2 , 1 4m 2 n 1 4m 2 n 5 2 n 4m 4m n 5 2 n 4m

8、4m n 9 2 当且仅当n ,m 时取等号故选 C. 2 3 1 6 19(2018山东日照模拟)若实数x,y满足xy0,则的最大值为( ) x xy 2y x2y A2 B222 C42 D4222 答案 D 解析 111 x xy 2y x2y x xy x2yx x2y x xy x x2y xy xyx2y 1,因为xy0,所以 0, 0.由基本不等式可知 2, xy x23xy2y2 1 3x y 2y x x y y x x y 2y x 2 当且仅当xy时等号成立,所以 1142.2 1 3x y 2y x 1 322 2 20(2018四川资阳诊断)已知a0,b0,且 2ab

9、ab,则a2b的最小值为( ) A52 B822 C5 D9 答案 D 解析 a0,b0, 且2abab, a0, 解得b2, 即b20, 则a2b2b b b2 b b2 1 2 b2 2(b2)4529,当且仅当b3,a3 时等号成立,其最小值 2 b2 2 b 2 为 9. 21(2018江西九校联考)若正实数x,y满足(2xy1)2(5y2)(y2),则x 1 2y 的最大值为( ) A1 B1 32 2 C1 D. 33 2 32 2 答案 A 解析 由(2xy1)2(5y2)(y2), 可得(2xy1)29y2(2y2)2, 即(2xy1)2 (2y2)29y2,得 2x 2229

10、,又 2x222 ,当且 1 y 2 y 1 y 2 y 2x1 y2 2 y 2 2 2x1 y2 2 2 仅当 2x 2 时等号成立,所以 2x 2218,得 2x 32,所以x 1 y 2 y 1 y 1 y 2 1 2y ,所以x的最大值为1.故选 A. 3 22 2 1 2y 32 2 22(2018南昌摸底)已知函数yx(x2)的最小值为 6,则正数m的值为 m x2 _ 答案 4 解析 由x2, 知x20, 又m0, 则y(x2)2222 m x2 x 2 m x2 m 2,取等号的条件为x2.从而依题意可知 226,解得m4. m x2 m 23(2018邯郸模拟)设x0,y0

11、,且x 2 ,则当x 取最小值时,x2 1 y 16y x 1 y 1 y2 _. 答案 12 解析 x0,y0,当x 取最小值时,x 2取得最小值,x2x2 , 1 y 1 y 1 y 1 y2 2x y 又x 2 ,x2,x 2 216,x 4,当 1 y 16y x 1 y2 2x y 16y x 1 y 4x y 16y x 4x y 16y x 1 y 且仅当, 即x2y时取等号, 当x 取最小值时,x2y,x216, x2 4x y 16y x 1 y 1 y2 2x y 16,x216412. 1 y2 2 2y y 1 y2 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型 二、

12、模拟大题 1(2018河北唐山模拟)已知x,y(0,),x2y2xy. (1)求 的最小值; 1 x 1 y (2)是否存在x,y满足(x1)(y1)5?并说明理由 解 (1)因为 2,当且仅当xy1 时,等号成立,所以 1 x 1 y xy xy x2y2 xy 2xy xy 1 x 的最小值为 2. 1 y (2)不存在理由如下: 因为x2y22xy, 所以(xy)22(x2y2)2(xy) 又x,y(0,),所以xy2. 从而有(x1)(y1) 24, x1y 1 2 因此不存在x,y满足(x1)(y1)5. 2 (2018河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的

13、沙漠地带, 该段输油管道两端的输油站已建好, 余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管 道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算,修建一个增压站的费用为 400 万元,铺设距离 为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2x万元 设余下工程的总费用为y万元 (1)试将y表示成x的函数; (2)需要修建多少个增压站才能使y最小,其最小值为多少? 解 (1)设需要修建k个增压站, 则(k1)x240,即k1. 240 x 所以y400k(k1)(x2x) 400 ( 240 x 1) 240 x (x2x) 240x160. 96000 x 因为x表示相邻两增压站之间的距离,则 00,

14、即 30nn2810,n230n810, 解得 3n27(nN N*),从第 4 年开始获取纯利润 (2)方案:年平均利润t30n81n 2 n 30n30302 81 n ( 81 n n) 81 n n 12(当且仅当n,即n9 时取等号), 81 n 年平均利润最大时,以 46 万元出售该工作室共获利润 12946154(万元) 方案:纯利润总和y30nn281(n15)2144(nN N*), 当n15 时,纯利润总和最大,为 144 万元, 纯利润总和最大时,以 10 万元出售该工作室共获利润 14410154(万元),两种方 案盈利相同,但方案时间比较短,所以选择方案. 4(201

15、8南京质检)为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内,每喷 洒 1 个单位的净化剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化 的函数关系式近似为yError!Error!若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的 净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立 方米)时,它才能起到净化空气的作用 (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂,6 天后再喷洒a(1a4)个单位的药剂,要使接 下来的 4 天中能够持续有效净化,试求a的最小值(精确到 0.1,参考数

16、据:取 1.4)2 解 (1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂,所以浓度 f(x)4yError!Error! 则当 0x4 时, 由44,解得x0,所以此时 0x4. 64 8x 当 4x10 时, 由 202x4,解得x8,所以此时 4x8. 综合得 0x8,若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则有效净化时间可达 8 天 (2)设从第一次喷洒起,经x(6x10)天,浓度 g(x)2a (5 1 2x) 16 8 x 6 1 10xa 16a 14x (14x)a42a4 16a 14x 14x 16a 14x 8a4.a 因为 14x4,8,而 1a4, 所以 44,8,故当且仅当 14x4时,y有最小值为 8a4.aaa 令 8a44,解得 2416a4,所以a的最小值为 24161.6.a22

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