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1、考点测试 35 基本不等式考点测试 35 基本不等式 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读 1.了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 一、基础小题 1“a0 且b0”是“”成立的( ) ab 2 ab A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a0 且b0，但a0 且b0，只能推出a0 且b0. ab 2 ab ab 2 ab / 2已知 02)在xa处取最小值，则a等于( ) 1 x2 A1 B1 C3 D423 答案 C 解析 x2， x20， f(x)x(x2)222
2、1 x2 1 x2 x2 1 x2 224， 当且仅当x2， 即(x2)21时等号成立， 解得x1或3.又x2， x 1 x2 3，即a等于 3 时，函数f(x)在x3 处取得最小值，故选 C. 4函数f(x)x (x0，y，x42x2x 2 x2 x2x 2 2 当且仅当x2x，即x1 时取等号 6函数y(x1)的图象的最低点的坐标是( ) x22x2 x1 A(1，2) B(1，2) C(1，1) D(0，2) 答案 D 解析 y(x1)2，当x0 时取最小值 x 1 21 x1 1 x1 7设 00，即a，D ab 2 ababaab 错误故选 B. 8 已知a0，b0，a，b的等比中项
3、是 1， 且mb ，na ， 则mn的最小值是( ) 1 a 1 b A3 B4 C5 D6 答案 B 解析 由题意知ab1，mb 2b，na 2a，mn2(ab)44， 1 a 1 b ab 当且仅当ab1 时取等号 9若 2x2y1，则xy的取值范围是( ) A0，2 B2，0 C2，) D(，2 答案 D 解析 12x2y22当且仅当 2x2y ，即xy1 时等号成2x2y2xy 1 2 立， ，2xy ，得xy2.2xy 1 2 1 4 10下列函数中，最小值为 4 的是( ) Ay x29 x25 Bysinx(0x) 4 sinx Cyex4ex Dylog3x4logx3 答案
4、C 解析 对于 A，因为，所以y的最小值不是 4，所以不x255x25 4 x25 满足题意；对于 B，令 sinxt(0，1，则yt ，y10，因此函数yt 4 t 4 t2 4 t 在(0，1上单调递减，所以y5，所以不满足题意；对于 C，y24，当且仅ex4ex 当 ex4ex，即xln 2 时取等号，故满足题意 ； 对于 D，当x(0，1)时，log3x， logx31 时， 关于x的不等式f(x) a在 R R 上恒成立等价于x ax 在 R R x 2 2 x x 2 2 x 上恒成立， 即有x a 在 R R 上恒成立， 由于x1， 所以x 22 3 2 2 x x 2 2 x
5、3 2 2 x 3x 2 2 x ，当且仅当x时取得最大值2；因为x1，所以x 22，当且仅3 2 3 3 1 2 2 x 1 2x 2 x 当x2 时取得最小值 2，则2a2.3 由可得a2.故选 A. 47 16 14(2018天津高考)已知a，bR R，且a3b60，则 2a的最小值为_ 1 8b 答案 1 4 解析 由已知，得 2a2a23b222 ，当且仅当 2a 1 8b 2a23b2a3b26 1 4 23b时等号成立， 由a3b，a3b60， 得a3，b1， 故当a3，b1 时， 2a 取得最小值 . 1 8b 1 4 15(2015重庆高考)设a，b0，ab5，则的最大值为_
6、a1b3 答案 32 解析 令t，a1b3 则t2()2a1b3 a1b32a1b3 9a1b318， 当且仅当a1b3 时， 即a ，b 时，等号成立， 7 2 3 2 所以t的最大值为 3.2 16 (2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨， 每次购买x吨， 运费为 6 万元/ 次，一年的总存储费用为 4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 _ 答案 30 解析 设总费用为y万元， 则y64x4x240， 当且仅当x， 即x 600 x 900 x 900 x 30 时，等号成立 17(2017天津高考)若a，bR R，ab0，则的最小值为_ a44b41
7、ab 答案 4 解析 a44b42a22b24a2b2(当且仅当a22b2时“”成立)， a44b41 ab 4ab，由于ab0，4ab24 当且仅当 4ab时“”成 4a2b21 ab 1 ab 1 ab 4ab 1 ab 1 ab 立，故当且仅当Error!Error!时，的最小值为 4. a44b41 ab 三、模拟小题 18(2018廊坊一模)已知m0，n0，2mn1，则 的最小值为( ) 1 4m 2 n A4 B2 C. D162 9 2 答案 C 解析 m0，n0，2mn1，则 (2mn) 2 ， 1 4m 2 n 1 4m 2 n 5 2 n 4m 4m n 5 2 n 4m
8、4m n 9 2 当且仅当n ，m 时取等号故选 C. 2 3 1 6 19(2018山东日照模拟)若实数x，y满足xy0，则的最大值为( ) x xy 2y x2y A2 B222 C42 D4222 答案 D 解析 111 x xy 2y x2y x xy x2yx x2y x xy x x2y xy xyx2y 1，因为xy0，所以 0， 0.由基本不等式可知 2， xy x23xy2y2 1 3x y 2y x x y y x x y 2y x 2 当且仅当xy时等号成立，所以 1142.2 1 3x y 2y x 1 322 2 20(2018四川资阳诊断)已知a0，b0，且 2ab
9、ab，则a2b的最小值为( ) A52 B822 C5 D9 答案 D 解析 a0，b0， 且2abab， a0， 解得b2， 即b20， 则a2b2b b b2 b b2 1 2 b2 2(b2)4529，当且仅当b3，a3 时等号成立，其最小值 2 b2 2 b 2 为 9. 21(2018江西九校联考)若正实数x，y满足(2xy1)2(5y2)(y2)，则x 1 2y 的最大值为( ) A1 B1 32 2 C1 D. 33 2 32 2 答案 A 解析 由(2xy1)2(5y2)(y2)， 可得(2xy1)29y2(2y2)2， 即(2xy1)2 (2y2)29y2，得 2x 2229
10、，又 2x222 ，当且 1 y 2 y 1 y 2 y 2x1 y2 2 y 2 2 2x1 y2 2 2 仅当 2x 2 时等号成立，所以 2x 2218，得 2x 32，所以x 1 y 2 y 1 y 1 y 2 1 2y ，所以x的最大值为1.故选 A. 3 22 2 1 2y 32 2 22(2018南昌摸底)已知函数yx(x2)的最小值为 6，则正数m的值为 m x2 _ 答案 4 解析 由x2， 知x20， 又m0， 则y(x2)2222 m x2 x 2 m x2 m 2，取等号的条件为x2.从而依题意可知 226，解得m4. m x2 m 23(2018邯郸模拟)设x0，y0
11、，且x 2 ，则当x 取最小值时，x2 1 y 16y x 1 y 1 y2 _. 答案 12 解析 x0，y0，当x 取最小值时，x 2取得最小值，x2x2 ， 1 y 1 y 1 y 1 y2 2x y 又x 2 ，x2，x 2 216，x 4，当 1 y 16y x 1 y2 2x y 16y x 1 y 4x y 16y x 4x y 16y x 1 y 且仅当， 即x2y时取等号， 当x 取最小值时，x2y，x216， x2 4x y 16y x 1 y 1 y2 2x y 16，x216412. 1 y2 2 2y y 1 y2 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型 二、
12、模拟大题 1(2018河北唐山模拟)已知x，y(0，)，x2y2xy. (1)求 的最小值； 1 x 1 y (2)是否存在x，y满足(x1)(y1)5？并说明理由 解 (1)因为 2，当且仅当xy1 时，等号成立，所以 1 x 1 y xy xy x2y2 xy 2xy xy 1 x 的最小值为 2. 1 y (2)不存在理由如下： 因为x2y22xy， 所以(xy)22(x2y2)2(xy) 又x，y(0，)，所以xy2. 从而有(x1)(y1) 24， x1y 1 2 因此不存在x，y满足(x1)(y1)5. 2 (2018河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的
13、沙漠地带， 该段输油管道两端的输油站已建好， 余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管 道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元，铺设距离 为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2x万元 设余下工程的总费用为y万元 (1)试将y表示成x的函数； (2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？ 解 (1)设需要修建k个增压站， 则(k1)x240，即k1. 240 x 所以y400k(k1)(x2x) 400 ( 240 x 1) 240 x (x2x) 240x160. 96000 x 因为x表示相邻两增压站之间的距离，则 00，
14、即 30nn2810，n230n810， 解得 3n27(nN N*)，从第 4 年开始获取纯利润 (2)方案：年平均利润t30n81n 2 n 30n30302 81 n ( 81 n n) 81 n n 12(当且仅当n，即n9 时取等号)， 81 n 年平均利润最大时，以 46 万元出售该工作室共获利润 12946154(万元) 方案：纯利润总和y30nn281(n15)2144(nN N*)， 当n15 时，纯利润总和最大，为 144 万元， 纯利润总和最大时，以 10 万元出售该工作室共获利润 14410154(万元)，两种方 案盈利相同，但方案时间比较短，所以选择方案. 4(201
15、8南京质检)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷 洒 1 个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化 的函数关系式近似为yError!Error!若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的 净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立 方米)时，它才能起到净化空气的作用 (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则净化时间可达几天？ (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒a(1a4)个单位的药剂，要使接 下来的 4 天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到 0.1，参考数
16、据：取 1.4)2 解 (1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂，所以浓度 f(x)4yError!Error! 则当 0x4 时， 由44，解得x0，所以此时 0x4. 64 8x 当 4x10 时， 由 202x4，解得x8，所以此时 4x8. 综合得 0x8，若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则有效净化时间可达 8 天 (2)设从第一次喷洒起，经x(6x10)天，浓度 g(x)2a (5 1 2x) 16 8 x 6 1 10xa 16a 14x (14x)a42a4 16a 14x 14x 16a 14x 8a4.a 因为 14x4，8，而 1a4， 所以 44，8，故当且仅当 14x4时，y有最小值为 8a4.aaa 令 8a44，解得 2416a4，所以a的最小值为 24161.6.a22