2020高考数学刷题首秧第六章立体几何考点测试41空间几何体的表面积和体积文含解析.pdf

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1、考点测试 41 空间几何体的表面积和体积考点测试 41 空间几何体的表面积和体积 高考概览 高考中本考点常见题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考纲研读 球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式 一、基础小题 1若球的半径扩大为原来的 2 倍，则它的体积扩大为原来的( ) A2 倍 B4 倍 C8 倍 D16 倍 答案 C 解析 设原来球的半径为r，则现在球的半径为 2r，则V原 r3，V现 (2r)3， 4 3 4 3 故V现8V原故选 C 2一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A8 B6 C4 D 答案 C 解析 设正方体的棱长为a， 则a38， a2

2、 而此正方体的内切球直径为 2， S表 4r24 3如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为 60的菱形， 3 2 俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( ) A2 B4 C8 D433 答案 D 解析 由三视图知，原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边长为 1，斜 高为 1，所以这个几何体的表面积为S 1184 1 2 4一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱的体积为 ( ) A B C2 D4 3 2 3 答案 B 解析 由侧视图可知直三棱柱底面正三角形的高为，容易求得正三角形的边长为 2，3 所以底面正三角形面积为 2再由侧视图可知

3、直三棱柱的高为 1，所以此三棱 1 2 33 柱的体积为1故选 B33 5已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是 ( ) A B C D a 2 3a 3 23a 3 23a 3 答案 C 解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知，2rl，l2r，则圆锥 的表面积S表r2 (2r)2a，r2，2r 1 2 a 3 23a 3 6若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( ) A10 cm3 B20 cm3 C30 cm3 D40 cm3 答案 B 解析 由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱ABCA1B1C1截去一个三棱锥B1ABC

4、， 则该几何体的体积为V 345 34520(cm3)故选 B 1 2 1 3 1 2 7某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( ) A4 B C D6 14 3 16 3 答案 B 解析 依题意，所求几何体是一个四棱台，其中上底面是边长为 1 的正方形、下底面是 边长为 2 的正方形，高是 2，因此其体积等于 (1222)2故选 B 1 3 1 4 14 3 8某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为 2，则该几何体的表面积 为( ) A24(1) B24(22)22 C24(1) D24(22)53 答案 B 解析 如图，由三视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体挖出两

5、个圆锥体所得由图 中知圆锥的半径为 1， 母线为， 该几何体的表面积为S6222122 212 1 2 24(22)，故选 B22 9已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为( ) A10 B2 C2 D2 2 12 4 答案 D 解析 根据几何体的三视图还原其直观图如图所示， 显然可以看到该几何体是一个底面 长为 2， 宽为 1， 高为 1 的正棱柱与一个底面半径为 1， 高为 1 的 圆柱组合而成， 其体积为V 1 4 211 1212，故选 D 1 4 4 10我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题 ： 在下雨时，用一个圆台形 的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为

6、一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆 中积水深九寸，则平地降雨量是_寸 (注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸) 答案 3 解析 由题意知， 圆台中截面圆的半径为十寸， 圆台内水的体积为V h(rrr 1 3 2 中2 下 中r下) 9(10262106)588(立方寸)，降雨量为3(寸) 3 V 142 588 196 11 如图所示， 已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积是_ 答案 2 6 解析 易知该几何体是正四棱锥连接BD，设正四棱锥PABCD，由PDPB1，BD ， 则PDPB 设底面中心O， 则四棱锥

7、高PO， 则其体积是VSh 122 2 2 1 3 1 3 2 2 2 6 12 如图，在平面四边形ABCD中，已知ABAD，ABAD1，BCCD5，以直线AB为轴， 将四边形ABCD旋转一周，则所得旋转体的体积为_ 答案 12 解析 由题意，该旋转体是一圆台内部挖去一个圆锥，如图 1 所示： 如图 2，过点C作CEAB，连接BD在等腰直角三角形ABD中，BDAD2AB22 在BDC中，CD2BD2BC22BDBCcosDBC， 所 以 25 2 25 10cosDBC， 所 以 cosDBC， 所 以 sinDBC2 2 10 1cos2DBC 72 10 因为CBE180ABDDBC135

8、DBC，所以 sinCBEsin(135 DBC)cosDBCsinDBC 在 RtBCE中，CEBCsinCBE4，所以BE 2 2 2 2 4 5 3，AE4所以圆台上、下底面圆的面积分别为S上，S下16，圆台体BC2CE2 积V1 (S上S下)AE28，圆锥体积V2 16316，所以旋转体体 1 3 S上S下 1 3 积VV1V212 二、高考小题 13(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体 的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( ) A90 B63 C42 D36 答案 B 解析 由三视图可知两个同样的几何体可以拼

9、成一个底面直径为 6，高为 14 的圆柱， 所以该几何体的体积V 321463故选 B 1 2 14 (2018浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位 ： cm)， 则该几何体的体积(单位 ： cm3)是( ) A2 B4 C6 D8 答案 C 解析 由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上、下底边 的长分别为 1 cm,2 cm， 高为 2 cm， 直四棱柱的高为 2 cm 故直四棱柱的体积V12 2 226 cm3 15(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面 截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为(

10、) A12 B12 C8 D1022 答案 B 解析 根据题意，可得截面是边长为 2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的2 底面为半径是的圆，且高为 2，所以其表面积为S2()22222222 12故选 B 16(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成 的角为 30，则该长方体的体积为( ) A8 B6 C8 D8223 答案 C 解析 在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知AC1B30， 因为AB2，tan30，所以BC12，从而求得CC12，所以该长 AB BC1 3BC2 1BC22 方体的体积为V22

11、28故选 C22 17(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为 等边三角形且其面积为 9，则三棱锥DABC体积的最大值为( )3 A12 B18 C24 D543333 答案 B 解析 如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM平面ABC时，三 棱锥DABC体积最大，此时，ODOBR4 SABCAB29， 3 4 3 AB6， 点M为三角形ABC的重心，BMBE2， 2 3 3 在 RtOMB中，有OM2OB2BM2 DMODOM426， (V三棱锥DABC)max 9618故选 B 1 3 33 18(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S

12、，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所 成角为 30，若SAB的面积为 8，则该圆锥的体积为_ 答案 8 解析 如图所示，SAO30，ASB90，又SSABSASBSA28， 1 2 1 2 解得SA4，所以SOSA2，AO2，所以该圆锥的体积为V 1 2 SA2SO23 3 OA2SO8 19(2018天津高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面ABCD外，该正方体 其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_ 答案 1 12 解析 由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形，其边长为，即底面面积为 ，由正方 2 2 1 2 体的性质知，四棱

13、锥的高为 故四棱锥MEFGH的体积V 1 2 1 3 1 2 1 2 1 12 20(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面 体的体积为_ 答案 4 3 解析 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为，2 高为 1，其体积为 ()21 ，多面体的体积为 1 3 2 2 3 4 3 三、模拟小题 21(2018邯郸摸底)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的 三视图，已知该几何体的各个面中有n个面是矩形，体积为V，则( ) An4，V10 Bn5，V12 Cn4，V12 Dn5，V10 答案 D 解析 由三视图可知

14、， 该几何体为直五棱柱， 其直观图如图所示， 故n5， 体积V222 2110故选 D 1 2 22(2018福州模拟)已知圆柱的高为 2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆3 周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( ) A4 B C D16 16 3 32 3 答案 D 解析 如图，可知球的半径R2，进而这个球的表面积为OH2AH212 32 4R216故选 D 23(2018合肥质检一)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的表面积为( ) A518 B618 C86 D106 答案 C 解析 该几何体的表面积是由球的表面积、 球的大圆面积、 半

15、个圆柱的侧面积以及圆柱 的纵切面面积组成从而该几何体的表面积为 41212 23328 1 2 6故选 C 24(2018石家庄质检二)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出 的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( ) A B3 C8 D 8 3 5 3 答案 A 解析 根据三视图还原该几何体的直观图， 如图中四棱锥PABCD所示， 则VPABCDVP AFGD(VAFBDECVGECD) 1 122 121 故选 A 1 3 12 2 2 1 2 1 3 1 2 8 3 25(2018合肥质检三)我国古代的九章算术中将上、下两面为平行矩形的六面体 称为“刍童” 如图所示为

16、一个“刍童”的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两 底的长分别为 2 和 4，高为 2，则该“刍童”的表面积为( ) A12 B405 C1612 D161235 答案 D 解析 易得侧面梯形的高为， 所以一个侧面梯形的面积为 (24)22125 1 2 5 3故所求为 432(24)1216故选 D555 26(2018福建质检)已知底面边长为 4，侧棱长为 2的正四棱锥SABCD内接25 于球O1若球O2在球O1内且与平面ABCD相切，则球O2的直径的最大值为_ 答案 8 解析 如图，正四棱锥SABCD内接于球O1，SO1与平面ABCD交于点O 在正方形ABCD中，AB4，AO4在

17、RtSAO中，SO2SA2OA2 2 5242 2设球O1的半径为R，则在 RtOAO1中，(R2)242R2，解得R5，所以球O1的直径 为 10当球O2与平面ABCD相切于点O且与球O1相切时，球O2的直径最大又因为SO2， 所以球O2的直径的最大值为 1028 一、高考大题 1(2016江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四 棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O是正四棱锥的高PO1的 4 倍 (1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当P

18、O1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由PO12 知，O1O4PO18 因为A1B1AB6， 所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积 V锥 A1BPO1 62224(m3) 1 3 2 1 1 3 正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积 V柱AB2O1O628288(m3) 所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3) (2)设A1B1a m，PO1h m， 则 00，V是单调增函数；3 当 2h6 时，V0，V是单调减函数3 故h2时，V取得极大值，也是最大值3 因此，当PO12 m 时，仓库的容积最大3 2(2018全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90，以AC

19、 为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA (1)证明：平面ACD平面ABC； (2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点， 且BPDQDA， 求三棱锥QABP的体积 2 3 解 (1)证明：由已知可得BAC90，即ABAC 又ABDA，且ACDAA，所以AB平面ACD 又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC (2)由已知可得，DCCMABAC3，DA32 又BPDQDA，所以BP2 2 3 2 作QEAC，垂足为E，则QE綊DC 1 3 由已知及(1)可得DC平面ABC， 所以QE平面ABC，QE1 因此，三棱锥QABP的体积为 V三棱锥QABP QESABP 1 32si

20、n451 1 3 1 3 1 2 2 二、模拟大题 3(2018武昌调研)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm) (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积 解 (1)这个几何体的直观图如图所示 (2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体 由PA1PD1，A1D1AD2，可得PA1PD12 故所求几何体的表面积 S522222 ()22 1 2 2 224(cm2)，2 所求几何体的体积V23 ()2210(cm3) 1 2 2 4 (2018浙江杭州一模)已知一个三棱台的上、 下底面分别是边长为 20 cm 和 30

21、 cm 的 正三角形，各侧面是全等的等腰梯形，且各侧面的面积之和等于两底面面积之和，求棱台的 体积 解 如图所示，在三棱台ABCABC中，O，O分别为上、下底面的中心，D，D 分别是BC，BC的中点，则DD是等腰梯形BCCB的高， 又CB20 cm，CB30 cm， 所以S侧3 (2030)DD75DD 1 2 S上S下(202302)325(cm2) 3 4 3 由S侧S上S下，得 75DD325，3 所以DD(cm)， 13 3 3 又因为OD20(cm)， 3 6 103 3 OD305(cm)， 3 6 3 所以棱台的高hOODD2 ODOD 2 4(cm)， ( 133 3 ) 2(5 3 103 3 ) 2 3 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V (S上S下) h 3 S上S下 43 3 (325 3 3 4 20 30) 1900(cm3) 故棱台的体积为 1900 cm3