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1、 专题 2.15：取对数思想的研究与拓展 【课本溯源】已知均为不等于 的正数，且，求证：cba,11ab ab cc ba loglog 【问题提出】 问题 1：设为正实数，则的取值范围是_a a ak lg k 问题 2：实数满足，则的最大值是 , x y 2 2 38,49 x xy y 3 4 x y 解：取常用对数，得不等式组，求的取值范围 9lglglg24lg 8lglg2lg3lg yy yx yxlg4lg3 （两种方法：二元一次不等式组线性规划问题；待定系数法） 求得的取值范围是，所以 4 3 y x 的最大值为 27yxlg4lg327lg, 2lg 【拓展探究】 探究 1
2、：各项均为正数的等比数列中，若，则的取值范围是 . n a 1 1a 2 2a 3 3a 4 a 8 , 2 9 探究 2：设，比较和的大小.10ba b a a b 变式 1：（1）已知为实数，且，其中是自然对数的底数，证明；ba,baee b a a b （2）如果正实数满足=，且，证明：ba, b a a b1aba 变化 2：已知函数 ln ( ). x yf x x （1）求函数的图象在处的切线方程；( )yf x 1 x e （2）求的最大值；( )yf x （3）比较与的大小，并说明为什么？ 2012 2011 2011 2012 变式 3：已知函数 ln ( ) x f x x
3、 （1）求函数的单调区间；( )f x （2）设求函数在上的最小值；0,a ( )f x2 ,4aa （3）某同学发现：总存在正实数a、()b ab，使 ba ab，试问：他的判断是否正确?若不正确，请说明 理由；若正确，请直接写出a的取值范围（不需要解答过程） （4）设函数，其中为实数. 若在上是单调增函数，试求的零 x g xeaxa g x1, axf)( 点个数（直接写出结论，无需写出过程）. e a x x a 1 , ln 变式 4：已知函数 2 ( )(21)ln(21)(21)(0)f xxxaxx a （1）若函数( )f x在0x 处取极值，求a的值； （2）如图，设直线
4、1 , 2 xyx 将坐标平面分成、四个区域（不含边界） ，若函数( )yf x 的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围； （3）比较 2342011 3452012与 3452012 2342011的大小，并说明理由 变式 5：数列满足， n b 1 1 2 b 1 1 2(2,*) n n bnnN b （1）求，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明； 2 b 3 b n b （2）设，比较与的大小 n n xb 1n n yb x x y y 拓展 1： 已知实数,函数,且16a 21 ( ) xa M xe 1 ( ) x a N xe 在区间上的最小值
5、为，则实数的取值范围是_. ( )( )( )( ) ( ) 22 M xN xM xN x f x 1,6ea 4,6 1 2 y x x x O 拓展 2：若，为常数， 1 1 3 x p fx 2 32)( 2 px xf 12 ,xR p p 且 112 212 , , fxfxfx f x fxfxfx （1）求对所有实数成立的充要条件（用表示） ； 1 f xfx 12 ,p p （2）设为两实数，且,若.求证：在区间上的单调增区, a bab 12 ,p p, a b f afb f x, a b 间的长度和为（闭区间的长度定义为） 2 ba ,m nnm 可通过取对数运算，将问
6、题转化为两个绝对值函数问题 （变型）若，为常数， 11 )(pxxg2log)( 322 pxxg 12 ,xR p p 且 )()(),( )()(),( )( 212 211 xgxgxg xgxgxg xg （1）求对所有实数成立的充要条件（用表示） ；)()( 1 xgxg 12 ,p p （2）设为两实数，且,若.求证：在区间上的单调增区间, a bab 12 ,p p, a b)()(bgag)(xg, a b 的长度和为（闭区间的长度定义为） 2 ba ,m nnm 拓展 3：已知函数，其中 e 是自然对数的底数. xx xf ee)( （1）证明：是 R 上的偶函数；)(xf
7、（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；x)(xmf1e m x ), 0( m （3）已知正数满足：存在，使得成立. 试比较与的大小，并证a), 1 0 x)3()( 0 3 00 xxaxf 1 e a1e a 明你的结论. 【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析 与解决问题的能力. 满分 16 分. (1) 因为对任意，都有，xR eeee xxxx fxf x 所以是 R 上的偶函数. f x (2) 解法一（官方解答）：由条件知上恒成立.ee1e10, xxx m 在 令，则，所以对于任意成立.e (0) x tx1t
8、2 11 1 1 11 1 t m tt t t 1t 因为，所以， 11 112113 11 tt tt 11 1 3 11 1 t t 当且仅当，即时等号成立. 2t ln2x 因此实数 m 的取值范围是. 1 , 3 解法二：考虑不等式两边同乘，则不等式转化为在上恒成立. x e 2 (e )11(1)e xx mm (0,) 令，则问题可简化为：在上恒成立. e(1) x t t 2 (1)10mtm tm 1,t 构造函数，由图象易得当时不符合题意. 2 ( )(1)1g tmtm tm0m 当时，或解得.0m 1 1, 2 (1)0. m m g 1 1, 2 1 ()0. 2 m
9、 m m g m 1 3 m 综上可知，实数的取值范围为. （江苏苏州 陈海锋）m 1 (, 3 (3) 令函数，则. 3 1 e3 e x x g xaxx 2 1 e31 e x x gxa x 当时，又，故，1x 1 e0 e x x 2 10x 0a 0gx 所以是上的单调增函数， g x1, 因此在上的最小值是. g x1, 1 1ee2ga 由于存在，使成立，当且仅当最小值， 0 1,x 00 3 00 ee(3)0 xx axx 10g 故，即. 1 ee20a 1 ee 2 a 令函数，则，令，得. (e1)ln1h xxx e1 1h x x 0h x e1x 当时，故是上的
10、单调减函数.0,e1x 0h x h x0,e1 当时，故是上的单调增函数.e1,x 0h x h xe1, 所以在上的最小值时. h x0,e1h 注意到，所以当时，. 1e0hh1,e10,e1x e110hh xh 当时，所以对任意的成立.e1,ee1,x e0h xh 0h x 1,ex 当时，即，从而； 1 ee ,e1,e 2 a 0h a 1e1 lnaa 1e 1 eaa 当时，；ea 1e 1 eaa 当时，即，故.e,(e1,)a e0h ah1e1 lnaa 1e 1 eaa 综上所述，当时，当时，当时，. 1 ee ,e 2 a 1e 1 eaa ea 1e 1 eaa
11、 e,a 1e 1 eaa (3)的民间思路： 难题分解 1：如何根据条件求出参数的取值范围？a 分解路径 1：直接求函数的最值. 解：令，只要在上，即可. 3 0000 ()()(3)g xf xaxx 0 1,)x 0min ()0g x . 当时， .； 0 0 2 2 00 ()1 ()3 (1) x x e g xa x e 0 1x 0 ()0g x 当时，则. 0 1x 2 0 10x 0 2 ()10 x e 0 ()0g x 故在区间上，即函数为的增函数，1,) 0 ()0g x 0 ()g x1,) 则，解得.（江苏苏州 何睦） 1 min0 ()(1)20gxgeea 1
12、 2 ee a 分解路径 2：参数分离可以吗？ 解：欲使条件满足，则，此时，则， 0 1, 3x 3 00 30xx 0 3 00 () 3 f x a xx 构造函数，即求此函数在上的最小值. 0 0 3 00 () () 3 f x g x xx 0 1, 3x . 000 32 000 0 32 00 ()(3)()( 33) () (3) o xxxx eexxeex g x xx 因为， 0 1, 3x 0000 32 000 0,30,0, 330 xxxx eexxeex 则. 0000 32 000 ()(3)()( 33)0 xxxx eexxeex 则在上恒成立，故， 0
13、()0g x 0 1, 3x 1 0 min ()(1) 2 ee g xg 故（江苏苏州 何睦） 1 2 ee a 难题分解 2：如何根据求得的参数的取值范围比较与的大小？a 1 e a1e a 分解路径 1：（取对数）与均为正数，同取自然底数的对数， 1a e 1e a 即比较与的大小，即比较与的大小. (1)lnae(1)lnea ln 1 e e ln 1 a a 构造函数，则， ln ( )(1) 1 x h xx x 2 1 1ln ( ) (1) x x h x x 再设，从而在上单调递减， 1 ( )1lnm xx x 2 1 ( ) x m x x ( )m x(1,) 此时
14、，故在上恒成立，则在上单调递减. ( )(1)0m xm( )0h x(1,) ln ( ) 1 x h x x (1,) 当时，；当时，； 1 2 ee ae 11ea ae ae 11ae ea 当时，.（江苏苏州 何睦）ae 11ea ae 分解路径 2：（变同底，构造函数比大小） 要比较与的大小，由于，那么， 1 ea e 1 a e 1(1)lnea ae 1 (1)ln(1) 1 e eaa a a e e 故只要比较与的大小. 1a (1)lnea 令，那么.( )(1)ln(1)h xexx 1 ( )1 e h x x 当时，；当时，.1xe( )0h x 01xe( )0h
15、 x 所以在区间上，为增函数；在区间上，为减函数.(0,1)e( )h x(1,)e( )h x 又，则，；( )0h e (1)0h(1)0h e 1 ()0 2 ee h 那么当时，； 1 2 ee ae ( )0h a ( ) 1 h a e 11ea ae ae 当时，.ae( )0h a ( ) 01 h a e 11ea ae 综上所述，当时，；当时，； 1 2 ee ae 11ea ae ae 11ae ea 当时，. （江苏苏州 王耀） 11ea ae 【考点】函数的基本性质 (B)，利用导数研究函数的单调性与极值 (B)，综合运用数学思想方法分析与解 决问题的能力. 拓展 4：已知 i，m，n 是正整数，且 1imn （陈永高，2001） （1）证明：； i n ii m i PmPn （2）证明：(1m) n (1n) m 证明：（1）对于 1im 有= m(mi1)， i m p ，同理 ， m m m m m p i i m 1 m im1 n n n n n p i i n 1 n in1 由于 mn，对整数 k = 1，2，i1，有， m km n kn 所以 ，即 （概率模型解释？） i i m i i n m p n p i m ii n i pnpm （2） 取对数，求导 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？