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1、 专题 4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展 【课本溯源】 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式. 再如：1cos22cos 2 xxx2cosxcos xxxxxxxxxxxxsin)cos(sin2cos) 1cos2(sin2sincos2cos)2cos(3cos 2 ，可见可以表示为的三次多项式. xxxxxxcos3cos4cos)cos1 (2coscos2 323 x3cosxcos 一般地，存在一个次多项式，使得这些多项式称为切比雪夫（P. L. n)(tPn),(coscosxPnx n )(tPn Tschebyscheff）多项式. （1）请尝试求出，即用一个的四次多项
2、式来表示)( 4 tPxcosx4cos （2）利用结论：，求出的值（）xxxcos3cos43cos 3 18sin 18290183 本例是一道阅读题，给出切比雪夫多项式的定义，由定义可知：任意一个都可以表示为nxcosxcos 的次 多 项 式 .第 （ 1） 问 利 用 二 倍 角 公 式 和 完 全 平 方 公 式 即 可 解 决 ：n .1) 1cos2(212cos24cos 222 xxx1cos8cos8 24 xx 第（2）问根据所给提示，自然想到对进行赋值，令 18290183x 18x 化简后可得： 18cos18sin2)182sin()18290cos(18cos3
3、18cos4183cos 3 ，解得：3)18sin1 (418sin2318cos4 22 4 15 18sin 【探究拓展】 探究 1：观察下列等式：观察下列等式： ;1-cos22cos 2 ; 42 cos48cos8cos1 ; 642 cos632cos48cos18cos1 ; 8642 cos8128cos256cos160cos32cos1 . 108642 cos10cos1280cos1120coscoscos1mnp 可以推测，._pnm962pnm 探究 2： 3 ( )31f xaxx对于1,1x 总有( )0f x 成立，则a= 拓展 1：已知ABC 的三边长为有
4、理数 （1）求证 cosA 是有理数； （2）对任意正整数 n，求证 cosnA 也是有理数. 解：因为是有理数，由可知是有理数，Acos1-cos22cos 2 AA A2cos （这个式子中出现了倍角的正弦的关系，能否转化为余弦的关,sinsin-coscos) 1(cosAnAAnAAn 系？） 由，,sinsincoscos) 1-(cosAnAAnAAnAnAAnAnAcoscos) 1-(cossinsin 故，可知的有理性由和的有理性1)A-cos(n-coscos) 1(cosAnAAnAn) 1(cosnAcosAn) 1cos( 决定，因为，是有理数，从而是有理数，同理可得
5、，AcosA2cosA3cos,6cos,5cos,4cosAAA ，An) 1-(cos 为有理数，命题得证.nAcos 拓展 2：已知三次函数 f(x) = 4x3ax2bxc(a，b，c)R （1）若是奇函数，过点作图象的切线 ，求切线 的方程；( )f x3b 2, 6 yf xll （2）若函数在处取极大值，求的取值范围；( )f x1x a （3）如果 f(x)是奇函数，过点（2，10）作三条 y = f(x)图象的切线 l，求实数 b 的取值范围； （4）当1x1 时 f(x)满足1f(x)1，求 a，b，c 的所有可能的取值 解：（1）因为是奇函数，所以由，得，( )f x3b
6、 fxf x 0ac 所以 32 43 ,123f xxx fxx 设切点为，则切线 的方程为：， 3 ,43P tttl 32 43123ytttxt 因为切线 过点，所以，l2, 6 32 6431232tttt 解得或0t 3t 所以切线 有两条，它们分别为或 l30xy1052160xy （2） 2 ( )122fxxaxb ，所以， (1)1220fab122ba 所以= 2 ( )122122fxxaxa(1)(12122 )xxa 所以由得到 122 1 12 a 12a （3） 因为 f(x)是奇函数， 所以由 f(x) = f(x)得 a = c = 0， 设切点为 P(t，
7、 4t3bt)， 则切线 l 的方程为 y(4t3 bt) = (12t2b)(xt)，由于切线 l 过点（2，10） ，所以 10(4t3bt) = (12t2b)(2t)，整理得 b = 4t312t25， 令 g(t) = 4t312t25b，则 g(t) = 12t 224t = 12t(t2)， 所以 g(t)在(，0)上是增函数，在(0，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，要使切线 l 有三条，当 且仅当 g(t) = 0 有三个实数根，g(t) = 0 有三个实数根当且仅当 g(0)0，且 g(2)0，解得11t5 （4）由题意，当 x = 1， 时，均有1f(x)1，故 1
8、2 14abc1， 14abc1， 即14abc1， 1 c1， 1 c1， 1 2 a 4 b 2 1 2 a 4 b 2 即1 c1， 1 2 a 4 b 2 得282b2，从而 b3； 得212b2，从而 b3 代入得 ac = 0， c = 0，从而 a = c = 0 a 4 下面证明：f(x) = 4x33x 满足条件 事实上，f (x) = 12x23 = 3(2x1)(2x1)，所以 f(x)在1， 上单调递增，在 ， 上单调递减， 1 2 1 2 1 2 在 ， 1上单调递增， 而 f(1) = 1， f( ) = 1， f( ) = 1， f(1) = 1， 所以当1x1 时 f(x)满足1f(x) 1 2 1 2 1 2 1 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？