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1、 专题 6.22：条件型等差（等比）数列问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1：已知数列和满足：,其中为实数， n a n b 1 a 1 2 4,( 1) (321), 3 n nnnn aanban 为正整数.n （1）对任意实数，证明数列不是等比数列； n a （2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； n b （3）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若0ab n S n bnn n aSb 存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. （1）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有 a22=a1a3,即 矛盾.所以an不是等比数列., 094 9 4
2、94 9 4 )4 9 4 ()3 3 2 ( 222 （2）解：因为 bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn 3 2 3 2 3 2 又 b1x-(+18),所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列： 当18 时，b1=(+18) 0,由上可知 bn0，(nN+). 3 2 1 n a b b 故当-18 时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列. 3 2 （3）由（2）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. -18，故知 bn= -（+18）（）n-1，于是可得 Sn
3、=- 3 2 . 3 2 1 )18( 5 3 n ）（ 要使 a3a 存在实数，使得对任意正整数 n,都有 aSnb,且的取值范围是（b-18,-3a-18）. 探究 2：已知数列 na的前n项和为nS，且满足：1aa(0)a ，1nnarS (nN*，,1)rR r （1）求数列 na的通项公式； （2）若存在k N*，使得1kS，kS，2kS成等差数列，试判断 ： 对于任意的mN*，且2m ，1ma， ma，2ma是否成等差数列，并证明你的结论 解：（1）由已知可得，两式相减可得 1 , nn arS 21nn arS 即 2111 (), nnnnn aar SSra 21 (1),
4、nn ara 又所以 r=0 时， 21 ,arara 数列为：a，0，0，； n a 当时，由已知（） ，0,1rr 0,0 n aa所以 * nN 于是由可得， 21 (1), nn ara 2 1 1() n n a rnN a 成等比数列， 23 , n a aa ，当n2时 2 (1). n n ar ra 综上，数列的通项公式为 n a 2 1, (1),2 n n n an a r ra n （2）对于任意的，且成等差数列，证明如下： * mN 12 2, mmm maaa 当 r=0 时，由（I）知， ,1, 0,2 m a n a n 对于任意的，且成等差数列， * mN 1
5、2 2, mmm maaa 当，时，0r 1r 21211 ,. kkkkkk SSaaSa 若存在，使得成等差数列， * kN 112 , kk SS S 则， 12 2 kkk SSS 1221 222,2, kkkkkk SaaSaa 即 由（I）知，的公比，于是 23 , m a aa12r 对于任意的，且 * mN 12 2,2,4, mmmm maaaa 从而 成等差数列， 1212 2, mmmmmm aaaaaa 即 综上，对于任意的，且成等差数列 * mN 12 2, mmm maaa 探究 3：设数列前项和为，. n an n S 1 a 1 2 ( ( n n n an
6、a Sn 为奇数） 为偶数） （1）求； 234 ,aa a, （2）设，判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； 21 1 nn ba n b （3）当时，数列前 n 项和为，求使的最小自然数 n.0 21n a n T2013 n T 解：（1），. 21 22aa 3212 222aSaa 43 224aa （2）时，2n 121222212 111 nnnnnn baSSaa 21212 1 nnn aaa ， 21 333 nn ab 即时， 2n 1 3 n n b b 又， 11 11ba 23 123ba 要使数列是等比数列，则，故. n b 2 1 3 b b 0 所以时，数
7、列是等比数列，时，数列不是等比数列. 0 n b0 n b （3）由（2）可知时，数列是等比数列，0 n b ，故， 1 3n n b 1 21 131 n nn ab . 121 3131 1333 312 nn n n Tnnn ， 1 21 1310 n nn ab 数列单调递增，又，. n T 7 7 31 710832013 2 T 8 8 31 832722013 2 T 使的最小自然数. 2013 n T 8n 探究 4：已知数列满足前项和为,. n a 1 2,a n n S 1 1() 2() n n n pann a ann 为奇数 为偶数 （1）若数列满足,试求数列前项和
8、； n b 221( 1) nnn baan n bn n T （2）若数列满足,试判断是否为等比数列,并说明理由； n c 2nn ca n c （3）在（2）的条件下，若为等比数列，问是否存在,使得,若存在,求出所 n c * nN 212 (10)1 nn Sc 有的的值；若不存在，请说明理由.n 解：（）据题意得,所以成等差数列,故 221 4 nnn baan n b 2 22 n Tnn （）当时,数列成等比数列；当时,数列不为等比数列 1 2 p n c 1 2 p n c 理由如下:因为, 12221 2 nnn capan 2 (4 )2 n pann42 n pcpnn 所
9、以,故当时,数列是首项为 1,公比为等比数列； 1 2 (1 2 ) n nn cnp p cc 1 2 p n c 1 2 当时,数列不成等比数列 1 2 p n c （）当时, 1 2 p 1 2 1 () 2 n nn ac 1 212 1 4() 2 n nnn aban =() ， 21112 . nn Sabbb 2 222nn1n 212 (10)1 nn Sc 2 44164nnn 当 n=1,2,左边右边，当 n=3,左边=右边，下证 n=3 是方程惟一的解. 设， 2 ( )44416 x f xxx(3)x 则，且，( )( )4 ln484 x g xfxx 2 ( )(ln4) 480 x g x(2)x (2)(2)0g f 在递增，且，( )f x2,)(30f），(1)0f 仅存在惟一的使得成立.3n 212 (10)1 nn Sc 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？