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1、 专题 9.1：函数应用题 【拓展探究】【拓展探究】 探究 1：以分式函数为载体的函数应用题 1. 工厂生产某种产品，次品率 p 与日产量 x(万件)间的关系为：（c 为常数， 1 0, 6 2 3 xc x p xc 且 0c6）. 已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元，每出现 1 件次品亏损 1.5 元. （1）将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率100%) 次品数 产品总数 【解】 （1）若cx 0，则 )6(2 9 3 62 3 ) 6 (3 x x x x x x x xy ， 若 cx ，则0 3 2 2
2、 3 ) 3 2 (3xxxy ， 0 )6(2 )29( 3 2 x xx y cx cx 0 （2）当cx 0，则 22 2 )6( )9)(3(3 ) )6( ) 1)(29()6)(49( 2 3 x xx x xxxx y 若30 c，则0 y，函数在c, 0上为增函数， )6(2 )29( 3 , 2 max c cc ycx 若 63 c ，在 )3 , 0( 上为增函数，在 ), 3(c 上为减函数，当时，. 3x 2 9 max )3( fy 综上，若，则当日产量为 c 万件时，日盈利额最大；若，则当日产量为 3 万件时，30 c63 c 日盈利额最大. 2. 近年来，某企业
3、每年消耗电费约 24 万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备 接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为 0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装 后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数 关系是( )(0, 20100 k C xxk x 为常数). 记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村 15 年共将 消耗的电费之和. （1）试解释(0)C的实际意义, 并建立F关于x的函数
4、关系式； （2）当x为多少平方米时, F取得最小值？最小值是多少万元？ 【解】 （1）(0)C的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用， 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由(0)24 100 k C,得2400k ， 所以 24001800 150.50.5 ,0 201005 Fxx x xx ； （2）因为 1800 0.5(5)0.252 1800 0.50.2559.75 5 Fx x . 当且仅当 1800 0.5(5) 5 x x ，55x 时取等号，所以当x为 55 平方米时, F取得最小值为 59.75 万元. 探究 2：以分段函数为载体的函数应用
5、题 1. 在等边中,=6cm，长为 1cm 的线段两端点都在边上，且由点向点运动ABCABDE,D EABAB （运动前点与点重合） ，,点在边或边上；,点在边或边DAFDABFACBCGEABGACBC 上，设. ADxcm （1）若面积为,由围成的平面图形面积为，分别求出函数ADF 1 ( )Sf x,DE EG GF FD 2 ( )Sg x 的表达式；( ), ( )f x g x （2）若四边形为矩形时，求当时, 设，求函数的取值范围 .DEGF 0 xx 0 xx ( ) ( ) ( ) f x F x g x ( )F x 解：（1） 当时，F 在边 AC 上，；03x 0 ta
6、n603FDxx 2 3 ( ) 2 f xx 当时，F 在边 BC 上， ,35x 0 (6)tan603(6)FDxx ， 3 ( )(6) 2 f xxx 2 3 ,03 2 ( ) 3 (6),35 2 xx f x xxx 当时，F、G 都在边 AC 上，02x 0 tan603FDxx ；3(1)EGx 33(1)3 ( )13 22 xx g xx 当时，F 在边 AC 上，G 在边 BC 上, ；23x3FDx3(5)EGx 5 3 ( ) 2 g x 当时，F、G 都在边 BC 上, 35x3(6)FDx3(5)EGx 11 ( )33 2 g xx . 3 3,02 2 5
7、 3 ( ),23 2 11 33,35 2 xx g xx xx （2） 当时， 0 5 2 x 5 3 2 x 2 59 ( ),( ) 545 x F xF x 当时，35x 22 2 6533 ( ),( )40 211 211 xxxx F xF x x x 518 ( ),5,10 45 F x 的取值范围为 2. 如图，长方体物体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为 v（v0） ，雨速沿EPSE 移动方向的分速度为，移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）或的平行面（只有c cREPP 一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与S 成正比，比例系数为 1； （2）其他面的淋雨
8、量之和，其值为vc . 记为移动过程中的总淋雨量，当移动距离，面积S=. 1 2 yE100d 2 3 S 3 2 （1）写出的表达式；y （2）设 0v10,0c5，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少.cvy 探究 3：以二次函数为载体的函数应用题 1. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动如图，助跑道 ABC 是一段抛物线，某轮滑运 动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为 1 米的平台上 E 处，飞行的轨迹是一段抛物线 CDE（抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面内） ，D 为这段抛物线的最高点现在运动员的滑行轨迹所 在平面上建立如图所示的直
9、角坐标系，轴在地面上， 助跑道一端点 A(0， 4)， 另一端点 C(3， 1)， 点 B(2， 0)，x 单位：米 （1）求助跑道所在的抛物线方程； （2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优 美，要求运动员的飞行距离在 4 米到 6 米之间（包括 4 米和 6 米） ，试求运动员飞行过程中距离平台最大 高度的取值范围？（注：飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值 ） 2 4 y Ox E D C B A 【解】 （1）设助跑道所在的抛物线方程为， 2 000 ( )f xa xb xc 依题意： 解得， 0 0
10、00 000 4, 420, 931, c abc abc 0 1a 0 4b 0 4c 助跑道所在的抛物线方程为 2 ( )44f xxx （2）设飞行轨迹所在抛物线为（） ， 2 ( )g xaxbxc0a 依题意：得解得 (3)(3), (3)(3), fg fg 931, 62, abc ab 26 , 95, ba ca ， 22 311 ( )(26 )95()1 a g xaxa xaa x aa 令得，( )1g x 2 2 311 () a x aa 0a 3112 3 a x aaa 当时，有最大值为，则运动员的飞行距离， 31a x a ( )g x 1 1 a 22 3
11、3d aa 飞行过程中距离平台最大高度，依题意，得， 11 11h aa 2 46 a 1 23 a 即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在 2 米到 3 米之间 2. 某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调 整出 x (x)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a0)，剩下 N 3 10 500 x a 的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x% （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员 工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员
12、工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的 取值范围是多少？ 【解】 （1）由题意，得 10(1000x)(10.2x %)101000，即500x0，又 x0，所以 0x500即最 2 x 多调整 500 名员工从事第三产业 （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为 3 10 500 x ax 万元，则，所以 ax10002xx 1 10(1000) 1 500 xx 3 10 500 x ax 1 10(1000) 1 500 xx 2 3 500 x ，所以 ax1000x，即 a1 恒成立 2 1 500 x 2 2 500 x2 500 x1000 x 因为4，当且仅当，即 x500 时等号成立，所以 a5，又 2 500 x1000 x 21000 2 500 x x 2 500 x1000 x a0，所以 0a5所以 a 的取值范围为(0，5 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？