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1、 专题 9.3：数列应用题 【拓展探究】【拓展探究】 1. 在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有 2009 根.现将它们堆放在一起. （1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多 1 根)，并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩 余了多少根圆钢？ （2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多 1 根),且不少于七层， （）共有几种不同的方案? （）已知每根圆钢的直径为 10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于 4m，则选择哪个方案，最 能节省堆放场地？ 【解】 （1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n层,则从上到下每层圆钢根数是以 1 为首项、1 为公差的等
2、差数列，且剩余的圆钢一定小于n根，从而由 2009 2 ) 1( 2 ) 1( 2009 nn n nn 且 * Nn得，当62n时，使剩余的 圆钢尽可能地少，此时剩余了 56 根圆钢； （2） （）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层,则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1 为公差的等 差数列，从而2009) 1( 2 1 nnnx，即4177220092) 12( nxn，因1n与n的奇偶 性不同，所以12 nx与n的奇偶性也不同，且12nxn，从而由上述等式得： 57412 7 nx n 或 28712 14 nx n 或 9812 41 nx n 或 8212 49 nx n ，共有 4
3、 种方案可供选择. （）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若41n，则29x，说 明最上层有 29 根圆钢，最下层有 69 根圆钢，此时如图所示，两腰之长为 400 cm，上下底之长为 280 cm 和 680cm，从而梯形之高为 3200 cm， 而40010103200，所以符合条件； 若49n，则17x，说明最上层有 17 根圆钢，最下层有 65 根圆钢，此时如图所示，两腰之长为 480 cm，上下底之长为 160 cm 和 640cm，从而梯形之高为3240 cm，显然大于 4m，不合条件，舍去； 综上所述，选择堆放 41 层这个方案，最能节省堆放场地.高
4、考 2. 某啤酒厂为适应市场需要，2011 年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011 年啤酒生产量 为 16000 吨，葡萄酒生产量 1000 吨该厂计划从 2012 年起每年啤酒的生产量比上一年减少 50%，葡萄酒 生产量比上一年增加 100%，试问： （1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？ （2） 从 2011 年起 （包括 2011 年） ， 经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的 ？（生产总量是指各年年产量之和） 2 3 【解】设从 2011 年起，该车第年啤酒和葡萄酒年生产量分别为吨和吨，经过年后啤酒和葡萄酒n n a n bn 各年生产量的
5、总量分别为吨和吨 n A n B （1）设第年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为吨，根据题意，得n n D =，=， （） ， 1 16000(150%)n n a 32000 2n 1 1000(1 100%)n n b 500 2n * nN 则=+=， nnn Dab 32000 2n 500 2n 64 500(2 ) 2 n n 64 500 228000 2 n n 当且仅当，即时取等号， 64 2 2 n n 3n 故年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为吨20138000 （2）依题意，得， 2 3 n nn B AB 2 nn BA ， 1 160001( ) 21 2 32000 1 2 1 2 n n n n A 100012 1000(21) 12 n n n B ，1000(21) n 21 320002 2 n n 210 n 6 2642 n 6n 答：从第 6 年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的 2 3 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？