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1、问题 02 函数中存在性与恒成立问题问题 02 函数中存在性与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的 综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二 次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题 者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设,（ 1）上 恒 成 立； （ 2） 上恒成立. (2) 对于一次
2、函数有： (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域 (4) 利用分离参数法来确定不等式,0f x,（ Dx,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本 步骤: 将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式； 求 f x在xD上的最大（或最小）值； 【牛刀小试】 【江苏省淮安市淮海中学 2019 届高三上学期测试】函数，当时， 恒成立，则实数的取值范围是_. 【解析】的定义域为 ，且， 为奇函数，且在 上单调递增， 由得， ， 时， 时， 的最小值为 1， 实数的取值范围是，故答案为. (二)分离参数法 (二)分离参数法 【例 2】已知函数的图象在点 ex （e
3、为自然对数的底数）处的切线的斜率为3 (1)求实数a的值； (2)若 2 ( )f xkx对任意0x 成立,求实数k的取值范围. 【分析】 （1）由结合条件函数的图象在点 ex 处的切线的斜率为3, 可知(e)3f,可建立关于a的方程：,从而解得1a ；（2）要使 2 ( )f xkx对任意0x 恒成立,只需即可,而由（1）可知,问题即等价于求函数 的最大值,可以通过导数研究函数( )g x的单调性,从而求得其最值：,令 ( )0g x ,解得1x ,当01x时,( )0g x ,( )g x在(0,1)上是增函数；当1x 时,( )0g x , ( )g x在(1,)上是减函数,因此( )g
4、 x在1x 处取得最大值(1)1g,1k 即为所求. 【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与 其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参 数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化 成新函数的最值问题. 【牛刀小试】 【2017 河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在R上的奇函数 f x满足:当0x 时, 3 f xx,若不等式对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是 . 【答案】,2 (五)存在性之常用模型及方法(五)存在性之常
5、用模型及方法 【例 5】 设函数,aR且1a .曲线 yf x在点 1,1f处的切线的斜率 为0. （1）求b的值； （2）若存在1,x,使得,求a的取值范围. 【分析】 （1）根据条件曲线 yf x在点 1,1f处的切线的斜率为0,可以将其转化为关于a,b的方程, 进而求得b的值：,；（2）根据题意分析 可得若存在1,)x,使得不等式成立,只需即可,因此可通过探求( )f x的 单调性进而求得( )f x的最小值,进而得到关于a的不等式即可,而由（1）可知, 则,因此需对a的取值范围进行分类讨论并判断( )f x的单调性,从而可以解 得a的取值范围是. 【解析】 （1）, 由曲线 yf x在
6、点 1,1f处的切线的斜率为0,得 10 f , 当 1 1 2 a时,1 1 a a , x1,1 a a 1a a , 1 a a fx 0 f x极小值 , 不合题意,无解,10 分 当1a 时,显然有( )0f x ,0 1 a a ,不等式恒成立,符合题意, 综上,a的取值范围是. 6 【徐州市第三中学 20172018 学年度高三第一学期月考】 已知函数,若存在 唯一的整数x,使得成立,则实数a的取值范围为_ 【答案】0,23,8 7 【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】若存在 xR,使得 34x a 2 2x x （a0 且 a1）成立,则 实数 a 的取值范围是_
7、【答案】2a 或 9 02a 且1.a . 【解析】, （3x4）, 当 3x4=0 即 4 x 3 时, 故舍去 当 3x40 即 4 x 3 时, ,令 t=3x40, ,所以 2 log a 1 所以 a2 当 3x40 即 4 x 3 时,令 t=3x40, 2 1 9 log a ，所以 a 9 2 综上,a2 或 0 a 9 2 且 a1 14 【 2016 届 山 东 师 大 附 中 高 三 上 学 期 二 模2016 届 山 东 师 大 附 中 高 三 上 学 期 二 模 】 已 知 函 数（ a 为 常 数,e=2718）,且函数处的切线和处的切线互相平行 （1）求常数 a
8、的值； （2）若存在 x 使不等式成立,求实数 m 的取值范围 【答案】 （1）1a ；（2）(,0) 【解析】 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求 函数的极值和最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问,先利 用导数求出函数( )yf x在0x 处的切线的斜率 0 1 1ke,再求出函数函数( )yg x在xa处的切线 的斜率 2 1 k a , 根据题意列出等式,解出 a 的值；第二问,先将转化为, 构 造函数, 利用导数判断函数的单调性,求出函数的最值,从而得到 m 的取值范围 （2）可化为, 令,
9、则, 因为0x ,所以, , 故( )0h x , 所以( )h x在(0,)上是减函数,因此, 所以,实数m的取值范围是(,0)； 16. 【江苏省南师大附中 2019 届高三年级第一学期期中】 已知函数， 直线是曲线 的一条切线 （1）求实数a的值； （2）若对任意的x(0，)，都有，求整数k的最大值 【解析】 （2） 令F(x)f(x)k(x1)， 则根据题意，等价于F(x)0 对任意的正数x恒成立. F (x)lnx2k， 令F (x)0，则xek2 . 当 0xek2 ，则F (x)0，F(x)在（0，ek2）上单减； 当xek2 ，则F (x)0，F(x)在（ek2，）上单增. 所以有F(x)F(ek2) 0，即ek2k10. 当k3，容易验证，ek2k10； 下证：当k4，ek2k10 成立.