江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题03导数背景下零点问题集合与其他知识的交汇问题含解.pdf

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1、问题 3 导数背景下零点问题问题 3 导数背景下零点问题 一、考情分析 近几年高考命题情况来看,对这部分内容的考查题型有小题也有大题,作为解答题时难度较大.导数可以把 函数、方程、不等式等有机地联系在一起.解决函数的零点或方程的根的问题,在解题过程中要注意转化与 化归、函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.此类试题一般以含参数的三次式、分式、以 e 为底的 指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现,是近几年高考命题热点.主要有两种考 查类型：(1)确定函数零点图象交点及方程根的个数问题；(2)根据函数零点图象交点及方程根的个数求 参数的值或取值范围问题 二、经验分享 (1

2、) 用导数确定函数零点或方程根个数的方法： 构建函数g(x)(要求g(x)易求,g(x)0 可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该 函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解 利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值 (最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数. (2)解决复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤： 在该区间上构造与方程相应的函数； 利用导数研究该函数在该区间上的单调性,若是单调函数,则进行下一步； 判断该函数在该区间端点处的函数值异号；

3、得出结论. (3) 在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需 要求出其中参数的取值范围,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用 三、知识拓展 三次函数的零点 对于三次函数的导函数为 fx , 1.若恒成立,则 f x是增(减)函数, f x有 1 个零点； 2.若 0fx 有两个不同实根 12 ,x x,若,则 f x有 2 个零点； 若,则 f x有 1 个零点； 若,则 f x有 3 个零点. 四、题型分析四、题型分析 (一) 确定函数零点或方程根的个数问题(一) 确定函数零点或方程根的个数问题 【例 1】 【江苏省南通市

4、基地学校 2019 届高三 3 月联考】已知函数，其中 且， （1）若函数f(x)与 g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） ，求k的值； （2）当m0，k = 0 时，求证：函数有两个不同的零点； （3）若，记函数，若，使，求k的取值 范围 【分析】 （1） 分别求得与的极值点， 利用极值点相同构造方程， 求得 ； （2） 首先求得在 上单调递减，在上单调递增；再通过零点存在定理，分别在两段区间找到零点所在大致区间，根据 单调性可知仅有这两个不同零点；（3）根据已知关系，将问题变为：，又 ，则可分别在，三个范围内去求解最值，从而求解出 的范围. 【解析】 （1）因为

5、，所以 令，得 当时，则单调递减； 当时，则单调递增； 所以为的极值点 因为，所以函数的极值点为 因为函数与有相同的极值点，所以 所以 （2）由题意，所以 因为，所以 令，得 当时，则单调递减； 当时，则单调递增； 所以为的极值点 因为，又在上连续且单调 所以在上有唯一零点 取满足且 则 因为且，所以 所以，又在上连续且单调 所以在上有唯一零点 综上，函数有两个不同的零点 （3）时， 由，使，则有 由于 当时，在上单调递减 所以 即，得 当时，在上单调递增 所以 即，得 当时， 在上，在上单调递减； 在上，在上单调递增； 所以 即（*） 易知在上单调递减 故，而，所以不等式（*）无解 综上，实

6、数 的取值范围为或 【点评】证明零点个数问题重点在于能够通过单调性将零点个数的最大值确定，进而再通过零点存在定理 来确定零点个数 ； 而能够将存在性问题转化为恒成立问题，通过最值来求解参数范围，也是解决此题的关键. 【小试牛刀】 【启东中学 2018 届高三上学期月考】设1a ,函数. （1）证明在0,1a上仅有一个零点； （2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(O 是坐标原 点),证明: 【解析】 （1）, 0fx , 在, 上为增函数 1a , , 又, ,即, 由零点存在性定理可知, f x在, 上为增函数,且, f x在0,1a上仅有一个零点. （2）,设点 00

7、 ,P xy,则, yf x在点P处的切线与x轴平行, , 0 1x , , , 点M处切线与直线OP平行, 点M处切线的斜率, 又题目需证明,即, 则只需证明,即1 m me . 令,则, 易知,当,0m 时, 0g m ,单调递减, 当0,m时, 0g m ,单调递增, ,即, 1 m me , ,得证. (二) 根据函数零点个数或方程实根个数确定参数取值范围 (二) 根据函数零点个数或方程实根个数确定参数取值范围 【例 2】【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】 已知函数 f（x） =,若函数 y=f（f （x）a）1 有三个零点,则 a 的取值范围是_ 【答案】 【解析】当

8、x0 时,由 f（x）1=0 得 x2+2x+1=1,得 x=2 或 x=0, 当 x0 时,由 f（x）1=0 得,得 x=0, 由,y=f（f（x）a）1=0 得 f（x）a=0 或 f（x）a=2, 即 f（x）=a,f（x）=a2, 作出函数 f（x）的图象如图： y=1 x x e 1（x0）, y= 1x x e ,当 x（0,1）时,y0,函数是增函数,x（1,+）时,y0,函数是减函数, x=1 时,函数取得最大值： 1 1 e , 当 1a2 1 1 e 时,即 a（3,3+ 1 e ）时,y=f（f（x）a）1 有 4 个零点, 当 a2=1+ 1 e 时,即 a=3+ 1

9、 e 时则 y=f（f（x）a）1 有三个零点, 当 a3+ 1 e 时,y=f（f（x）a）1 有 1 个零点 当 a=1+ 1 e 时,则 y=f（f（x）a）1 有三个零点, 当 1 1 21 a e a 时,即 a（1+ 1 e ,3）时,y=f（f（x）a）1 有三个零点 综上 a,函数有 3 个零点 故答案为： 【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,

10、然后数形结合求解 【小试牛刀】已知函数f(x)x2xsinxcosx的图象与直线yb有两个不同交点,求b的取值范围 【解析】 f(x)x(2cosx),令f(x)0,得x0.当x0 时,f(x)0,f(x)在(0,)上递增 当x1 时,曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点 综上可知,b的取值范围是(1,) (三) 根据函数零点满足条件证明不等式(三) 根据函数零点满足条件证明不等式 【例 3】 【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市 2019 届高三第一次（2 月)模拟】已知函数 （1）讨论的单调性； （2）设的导函数为，若有两个不相同的零点 求实数 的取值范围； 证明： 【分析】 （

11、1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可； 问题转化为证， 即证， 设函数， 根据函数的单调性证明即可 【解析】 （1）的定义域为，且 当时，成立，所以在为增函数； 当时， （i）当时，所以在上为增函数； （ii）当时，所以在上为减函数 （2）由（1）知，当时，至多一个零点，不合题意； 当时，的最小值为， 依题意知 ，解得 一方面，由于，在为增函数，且函数的图 象在上不间断 所以在上有唯一的一个零点 另一方面， 因为，所以 ，令， 当时， 所以 又，在为减函数，且函数的图象在上不间断 所以在有

12、唯一的一个零点 综上，实数 的取值范围是 设 又则 下面证明 不妨设，由知 要证，即证 因为，在上为减函数， 所以只要证 又，即证 设函数 所以，所以在为增函数. 所以，所以成立 从而成立. 所以，即成立. 五、迁移运用五、迁移运用 1 【江苏省无锡市 2019 届高三上学期期中】已知函数在上的零点为，函数 在上的零点为则的范围为_. 【答案】 （1，） 【解析】 由得,因为,所以, 因此,因为从而， 因此，令, 则,所以（1，）. 2 【江苏省如东中学 2019 届高三年级第二次学情测试】已知函数的图象与直线 恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，则 _. 【答案】 【解析】 由题

13、意，直线可得 y=k(x- )恒过定点（ ，0） ，即 x2= k0 恰有三个公共点， 其直线必与（x）的相切，因为 f（x）关于（ ，0）对称，所以 x1+x3= ，导函数几何意义：f（2x ）=-sin2=k 所以切线方程：y- 过（ ，0） 所以，= = 故答案为： 3 【江苏省无锡市天一中学 2018-2019 学年高三 11 月月考】设是自然对数的底数，函数 有零点，且所有零点的和不大于 6，则 的取值范围为_ 【答案】 【解析】 ， 时，在单调递减， 且在有一个小于 0 的零点； 时，在单调递增， ，在有一个小于 1 的零点，因此满足条件. （1）时，在单调递减， 在上没有零点.

14、又,故在上也没有零点，因此不满足题意. (2)时，在 上单调递减，在上单调递增， 在上没有零点. 又，故在上也没有零点，因此不满足题意. (3)时，在 上没有零点， 在上只有零点 2，满足条件. (4)时，在上没有零点，在上有两个不相等的零点， 且和为 ,故满足题意的范围是. 综上所述， 的取值范围为，故答案为. 4.【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数的零点在区间 1k k ，内,则正整数k的值为_ 【答案】2 【 解 析 】 由 函 数 的 解 析 式 可 得 函 数 在0,上 是 增 函 数 ,且, ,故有,根据函数零点的判定定理可得函数在区间2,3上存

15、在零点, 结合所给的条件可得,故2k ,故答案为 2. 5.【2017-2018 第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有 两个零点,则正实数a的值为_ 【答案】e 【解析】考查函数,其余条件均不变,则： 当x0 时,f(x)=x+2x,单调递增,f(1)=1+210, 由零点存在定理,可得f(x)在(1,0)有且只有一个零点； 则由题意可得x0 时,f(x)=axlnx有且只有一个零点, 即有 lnx a x 有且只有一个实根.令, 当xe时,g(x)0,g(x)递增. 即有x=e处取得极大值,也为最大值,且为 1 e , 如图g(x)的图象,当直线y=a(a0)与g(x)

16、的图象 只有一个交点时,则 1 a e .回归原问题,则原问题中ae. 6【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测 （一） 】 已知函数,若曲线 1 2 2e e1 x x y （e为自然对数的底数）上存在点 00 ,xy使得,则实数a的取值范围为_. 【答案】 1 , e 【解析】结合函数的解析式： 1 2 2e e1 x x y 可得：, 令y=0,解得：x=0,当x0 时,y0,当xy0,则f（f（y0） ）=f（c）f（y0）=cy0,不满足f（f（y0） ）=y0 同理假设f（y0）=c0,g（x）在（0,e）单调递增, 当x=e时取最大值,最大值为 1 g e e ,当x0

17、 时,a-, a的取值范围 1 , e . 7【江苏省常州一中、 泰兴中学、 南菁高中 2019 届高三 10 月月考】 已知函数， 求函数的单调增区间； 若函数有三个互不相同的零点 0， ， ，其中 若，求 a 的值； 若对任意的，都有成立，求 a 的取值范围 【解析】 （1）由题意，求得函数的导数， 当，即时，恒成立，在R上单调递增； 当时，令，解得， 的解集为， 即的单调增区间为，； 由题意可知， ，解得，； 由题意可知， ， 若，即时，在上恒成立，且， 符合题意； 当时，设，则， 当时， ， ， 整理得，即，解得， 又， 8 【江苏省常州市 2019 届高三上学期期末】已知函数，函数.

18、 （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有且只有一个零点，求实数 的取值范围； （3）若函数对恒成立，求实数 的取值范围.( 是自然对数的底数， ) 【解析】 （1）当时，则，所以， 所以切线方程为. （2）， 当时，恒成立，所以单调递增， 因为，所以有唯一零点，即符合题意； 当时，令，解得，列表如下： -0+ 极小值 由表可知，. （i）当，即时，所以符合题意； （ii）当，即时， 因为，且，所以， 故存在，使得，所以不符题意； （iii）当，即时， 因为， 设， 则， 所以单调递增，即，所以， 又因为，所以， 故存在，使得，所以不符题意； 综上， 的取值范围为. （3），则， 当

19、时，恒成立，所以单调递增， 所以，即符合题意； 当时，恒成立，所以单调递增， 又因为 ， 所以存在，使得， 且当时，即在上单调递减， 所以，即不符题意； 综上， 的取值范围为. 9 【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019 届高三第一学期期末】已知函数 . （1）当 a=2，求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求实数 a 的取值范围. 【解析】 （1）当 a=2 时，令，解得 x=1. 列表： x1 0+ 极小值 所以，当 x=1 时，有极小值，没有极大值 （2）因为. 所以，. 当时， 所以在上单调递增，只有一个零点，不合题意， 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调

20、递增， 所以在处取得极小值，即为最小值. 1当时，在上单调递减，在上单调递增， 只有一个零点，不合题意； 2当时，故，最多有两个零点. 注意到，令, 取，使得，下面先证明； 设，令，解得. 列表 x 0+ 极小值 所以，当，有极小值. 所以，故，即. 因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点， 又 x=1 也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意 3当时，故，最多有两个零点. 注意到，取， 则 ， 因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点， 又 x=1 也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意. 综上所述，实数 a 的取值范围是. 10 【江苏省苏州市 2019 届高三上学

21、期期末】已知函数 (a，b R) （1）当 ab1 时，求的单调增区间； （2）当 a0 时，若函数恰有两个不同的零点，求 的值； （3）当 a0 时，若的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数 b 的取值范围 【解析】 （1）当 ab1 时， 令，解得或 所以 f（x）的单调增区间是和 （2）法一：，令，得或， 因为函数 f（x）有两个不同的零点，所以或， 当时，得 a0，不合题意，舍去： 当时，代入得 即，所以. 法二：由于，所以， 由得， 设，令，得， 当时，h(x)递减：当时，,递增 当时，单调递增 当时, 的值域为 R 故不论 取何值，方程有且仅有一个根； 当时，

22、所以时，方程恰有一个根2， 此时函数恰有两个零点-2 和 1 （3）当时，因为，所以 设，则， 当时，因为，所以在上递增，且， 所以在上，不合题意： 当时，令，得， 所以在递增，在递减， 所以， 要使有解，首先要满足，解得. 又因为， 要使的解集（m,n）中只有一个整数，则 即解得. 设,则, 当时，,递增：当时，,递减 所以,所以, 所以由和得，. 11 【江苏省镇江市 2019 届高三上学期期末】已知函数 () （1）若，求函数的图像在处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间； （3）若，已知函数在其定义域内有两个不同的零点，且不等式 恒成立，求实数的取值范围 【解析】 （1）当，时，所

23、以， 即函数的图像在处的切线方程为； （2）当时， 当时，在上恒成立，即在上单调递增； 当时，的解集为，的解集为， 即的单调增区间为，单调减区间为； （3）当时， 当时，则在上恒成立，则单调递减， 函数最多有一个零点，所以不符题意； 当时，令，解得，列表如下： +0- 极大值 由表可知， 因为函数有两个零点，所以，解得， 此时，所以存在，使得， ， 设，令，解得， 列表可知，所以， 故存在，使得， 设，因为，所以， 因为，解得，且， 因为，所以，即， 整理得，设， 则， 当时，在上恒成立，所以单调递增， 所以，即在上单调递增， 所以，即符合题意； 当时，的解集为，即在上单调递减， 因为，所以在

24、上恒成立，即在上单调递减， 因为，所以在上恒成立，即不符合题意； 综上，. 12【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】 已知函数 f（x） =（2a）（x1） 2lnx,g（x） = 1 x xe （a R,e 为自然对数的底数） （）当 a=1 时,求 f（x）的单调区间； （）若函数 f（x）在 1 0, 2 上无零点,求 a 的最小值； （）若对任意给定的 x0（0,e,在（0,e上总存在两个不同的 xi（i=1,2）,使得 f（xi）=g（x0）成立, 求 a 的取值范围 【解析】 （1）当 a=1 时,f（x）=x12lnx,则 f（x）=1, 由 f（x）0,得 x2；

25、由 f（x）0,得 0x2 故 f（x）的单调减区间为（0,2,单调增区间为2,+） ； （2）因为 f（x）0 在区间上恒成立不可能, 故要使函数上无零点, 只要对任意的,f（x）0 恒成立,即对恒成立 令,则, 再令, 则,故 m（x）在上为减函数,于是, 从而,l（x）0,于是 l（x）在上为增函数,所以, 故要使恒成立,只要 a24ln2,+）, 综上,若函数 f（x）在 1 0, 2 上无零点,则 a 的最小值为 24ln2； （3）g（x）=e1xxe1x=（1x）e1x, 当 x（0,1）时,g（x）0,函数 g（x）单调递增； 当 x（1,e时,g（x）0,函数 g（x）单调递

26、减 又因为 g（0）=0,g（1）=1,g（e）=ee1e0, 所以,函数 g（x）在（0,e上的值域为（0,1 当 a=2 时,不合题意； 当 a2 时,f（x）=,x（0,e 当 x=时,f（x）=0 由题意得,f（x）在（0,e上不单调,故,即 此时,当 x 变化时,f（x）,f（x）的变化情况如下： x（0,）（,e f（x）0+ f（x）最小值 又因为,当 x0 时,2a0,f（x）+, , 所以,对任意给定的 x0（0,e,在（0,e上总存在两个不同的 xi（i=1,2）, 使得 f（xi）=g（x0）成立,当且仅当 a 满足下列条件： 即 令 h（a）=, 则 h,令 h（a）=

27、0,得 a=0 或 a=2, 故当 a（,0）时,h（a）0,函数 h（a）单调递增； 当时,h（a）0,函数 h（a）单调递减 所以,对任意,有 h（a）h（0）=0, 即对任意恒成立 由式解得： 综合可知,当 a 的范围是时,对任意给定的 x0（0,e,在（0,e上总存在两个不同的 xi （i=1,2）,使 f（xi）=g（x0）成立 13 【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测（一） 】已知函数 , ,Ra b c有一个零点为 4,且满足 01f. （1）求实数b和c的值； （2）试问：是否存在这样的定值 0 x,使得当a变化时,曲线 yf x在点 00 ,xf x处的切线互相

28、平行？ 若存在,求出 0 x的值；若不存在,请说明理由； （3）讨论函数在0,4上的零点个数. 【解析】 （1）由题意,解得 1 4 1 b c ； （2）由（1）可知, ； 假设存在 0 x满足题意,则是一个与a无关的定值, 即是一个与a无关的定值, 则 0 240x ,即 0 2x ,平行直线的斜率为； （3）, , 其中, 设 0gx 两根为 1 x和 212 xxx,考察 g x在R上的单调性,如下表 1当0a 时, , ,而, g x在0,2和2,4上各有一个零点,即 g x在0,4有两个零点； 2当0a 时, , ,而, g x仅在0,2上有一个零点,即 g x在0,4有一个零点；

29、 3当0a 时, ,且, 当1a 时, ,则 g x在 1 0, 2 和 1 ,4 2 上各有一个零点, 即 g x在0,4有两个零点； 当10a 时, ,则 g x仅在 1 ,4 2 上有一个零点, 即 g x在0,4有一个零点； 综上：当1a 或0a 时, g x在0,4有两个零点； 当10a 时, g x在有一个零点. 点睛：在解决类似的问题时,首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时,要先求函数y f(x)在a,b内所有使f(x)0的点,再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的 函数值,最后比较即得 14.设函数f(x)cln xx2bx(b,cR,c0

30、),且x1 为f(x)的极值点 1 2 (1)若x1 为f(x)的极大值点,求f(x)的单调区间(用c表示)； (2)若f(x)0 恰有两解,求实数c的取值范围 【解析】f(x) xb,又f(1)0, c x x2bxc x 所以f(x)且c1,bc10. x1xc x (1)因为x1 为f(x)的极大值点,所以c1, 当 00； 当 1c时,f(x)0, 所以f(x)的单调递增区间为(0,1),(c,)；单调递减区间为(1,c) (2)若c1,则f(x)极小值cln cc(1c)cln cc0,f(x)极大值 c0,则f(x)0只有一解 c2 2 c2 2 1 2 综上,使f(x)0 恰有两解的c的取值范围为. ( 1 2，0)