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1、等差数列的前n项和 的性质及应用,等差数列的前n项和公式:,形式1:,形式2:,前100个自然数的和：1+2+3+100= ； 前n个奇数的和：1+3+5+(2n-1)= ； 前n个偶数的和：2+4+6+2n= .,思考题：如何求下列和？,n2,n(n+1),2.等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也成等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,n2d,性质2: 为等差数列.,性质3:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.6
2、3 B.45 C.36 D.27,例2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( ) A.85 B.145 C.110 D.90,B,A,3.等差数列an前n项和的性质的应用,等差数列an前n项和的性质的应用,例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为 .,例6.(09宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .,5,10,等差数列an前n项和的性质的应用,1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，
3、这个函数 有什么特点？,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则 Sn=An2+Bn,令,例1 已知数列an中Sn=2n2+3n， 求证：an是等差数列.,例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为 .,110,例1、若等差数列an前4项和是2，前9项和是6，求其前n 项和的公式。,解：设首项为a1，公差为d，则有：,设 Sn= an2 + bn，依题意得：S4=2, S9= 6,即,解之得：,另解：,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得, d=2,当n
4、=7时,Sn取最大值49.,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,当n=7时,Sn取最大值49.,则Sn的图象如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49., an=13+(n-1) (-2)=2n+15,由,得,a7+a8=0,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何
5、值时,Sn取最大值.,解法4,由S3=S11得,当n=7时,Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,又d=20,a70,a80,例1的变式题二：等差数列an的首项a1 0, 前n项和为Sn，Sm= Sl ,问: n为何值时，Sn最大？,例1的变式题一：等差数列an中，首项a1，S3 = S11，问：这个数列的前几项的和最大？,例2：已知数列an是等差数列，且a1= 21，公差d=2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。,求等差数列前n项的最大(小)的方法,方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.,方法2:利用
6、an的符号当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,练习:已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14,C,例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列Sn中数值最大的项,并说明理由.,解:(1)由已知得,等差数列an前n项和的性质,(2) ,Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,练习1 已知等差数列25,2
7、1,19, 的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.,练习2: 求集合 的元素个数，并求这些元素的和.,练习3：已知在等差数列an中,a10=23, a25=-22 ,Sn为其前n项和.,（1）问该数列从第几项开始为负？ （2）求S10 （3）求使 Sn0的最小的正整数n. (4) 求|a1|+|a2|+|a3|+|a20|的值,课堂小结,1.根据等差数列前n项和，求通项公式.,2、结合二次函数图象和性质求 的最值.,3、设等差数列an的前项和为Sn，已知a3=12, S120, S130。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, , S12中哪个值最大，,1: 等差数列an的前项和Sn满足S5=95, S8=200,求Sn。,2: 若数列an的前项和Sn满足Sn=an2+bn,试判断an是否是等差数列。,1、,2、是。 简单提示：利用公式：,3、（1） ， （2）S6最大。,