《福建省福鼎一中高一数学 培优教材（2）素材 新人教版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省福鼎一中高一数学 培优教材（2）素材 新人教版.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、福鼎一中高一年段数学培优教材第二讲 二次函数福鼎一中高一年段数学培优教材第二讲 二次函数 一、 基础知识： 1 二次函数的解析式 （1）一般式： 2 ( )(0)f xaxbxc a （2）顶点式： 2 ( )()f xa xhk，顶点为( , )h k （3）两根式： 12 ( )()()f xa xxxx （4）三点式： 132312 321 313221231213 ()()()()()() ( )()()() ()()()()()() xxxxxxxxxxxx f xf xf xf x xxxxxxxxxxxx 2二次函数的图像和性质 （1） 2 ( )(0)f xaxbxc a的图像
2、是一条抛物线，顶点坐标是 2 4 (,) 24 bacb aa ，对称轴方程为 2 b x a ，开口与a有关。 （2）单调性：当0a 时，( )f x在(, 2 b a 上为减函数，在,) 2 b a 上为增函数；0a 时相反。 （3）奇偶性：当0b 时，( )f x为偶函数；若()()f axf ax对xR恒成立，则xa为( )f x的 对称轴。 （4）最值：当xR时，( )f x的最值为 2 4 4 acb a ，当 , , , 2 b xm nm n a 时，( )f x的最值可从 ( ),( ),() 2 b f mf nf a 中选取；当 , , , 2 b xm nm n a 时
3、，( )f x的最值可从( ),( )f mf n中选取。常依 轴与区间 , m n的位置分类讨论。 3三个二次之间的关联及根的分布理论： 二次方程 2 ( )0 (0)f xaxbxca的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端 点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。 二、 综合应用： 例 1：已知二次函数( )f x的图像经过三点(1, 6) ,( 1,0) ,(2.5,0)ABC，求( )f x的解析式。 例 2：已知 2 ( )3f xxaxa ，若 2,2x 时，( )0f x 恒成立，求a的取值范围。 例 3：集合 2 ( , )|2Ax yyxmx，( , )|1
4、0,02Bx yxyx 且，若AB ，求实 数m的取值范围。 例 4： 设 2 ( )(0)f xaxbxc a满足条件 ： （1）当xR时，(4)(2)( )f xfxf xx且， （2）当 2 1 (0,2),( ) 2 x xf x 时， （3）( )f x在R上的最小值为0。 求( )f x的解析式 ； 求最大的 (1)m m 使得存在tR，只要1,xm就有()f xtx。 例 5：求实数a的取值范围，使得对于任意实数x和任意实数0, 2 ，恒有 2 (32sincos )x 2 1 (sincos ) 8 xaa。 例 6： 已知函数 2 ( )(0)f xaxbxc a， 方程(
5、)f xx的两根是 1221 1 ,xxxx a 且， 又若 1 0tx ， 试比较 1 ( )f tx与的大小。 例 7：设 2 ( )(0)f xaxbxc a,方程( )0f xx的两个根 12 ,x x满足 12 1 0xx a ， （1）当 1 (0,)xx时，证明 1 ( )xf xx；（2）设( )f x的图像关于直线 0 xx对称，证明 1 0 2 x x 三、 强化训练： 1 二次函数( )yf x满足(3)(3)fxfx，且( )0f x 又两个实根 12 ,x x，则 12 xx等于（ ） A . 0 B 3 C. 6 D. 12 2已知( )()()2 ()f xxa
6、xbab，并且, 是方程( )0f x 的两根，则实数, , ,a b 的大小关 系可能是（ ） AabBabC abDab 3已知函数 2 23,0,yxxxm上有最大值 3，最小值 2，则m的取值范围是（ ） . 1,).0,2.1,2. (,2ABCD 4设函数 2 ( )(0)f xxxa a，若( )0,f m 则(1)f m的值的符号是_ 5 已知 2 ( )(lg2)lg ,( 1)2,( )2f xxmxnff xx 且对于一切实数x都成立， 则mn_ 6已知 2 ( )lg(21)f xaxx的值域是 R，则实数a的取值范围是_ 7函数 2 0.3 ( )log()f xxa
7、xa的递增区间为(,13)，则实数a的值是_ 8设实数, ,a b c满足 2 22 870 660 abca bcbca ，则实数a_ 9若函数 2 113 ( ) 22 f xx 在区间 , a b上的最大值为2b，最小值为2a，求区间 , a b。 10设 2 ( )1(0)f xaxbxa,方程( )0f xx的两个根 12 ,x x，若 12 24xx，设( )yf x的 对称轴为 0 xx，求证 0 1x 11已知 2 ( ),0,1,0 2 a f xxaxxa，求( )f x的最小值( )g a的表达式，并求( )g a的最大值。 12 是 否 存 在 二 次 函 数( )f
8、x， 同 时 满 足 ： （ 1）( 1)0f ； （ 2） 对 于 一 切xR都 有 2 1 ( )(1) 2 xf xx？若存在，写出满足条件的函数的解析式；若不存在，说明理由。 13设 2 ( )(0)f xaxbxc a,当0,1x时，|( )| 1f x ，求证：适合bA的最小实数 A 的值为 8。 14若0a ，求证：方程 2 111 0 xxaxa ， （1）有两个异号实根；（2）正根必小于 2 3 a ，负根 必大于 2 2 3 a 参考答案： 例 1：( )2(1)(2.5)f xxx 例 2： min ( )( )072f xg aa ； 其中 2 73(4) ( )3(
9、44) 4 7(4) aa a g aaa aa 例 3： 2 (1)10 ,0,2xmxx ，(2)01 2 fm 0 或 m -1 0- 2 例 4：（1）由得：1(1)1(1)1ff ； 2 1 ( )(1) 4 f xx （2）结合图像可以知道：m为方程 2 1 (1) 4 xtx 的两根，从而1,9tm 例 5：设sincos,1,2tt，原不等式化为： 222 1 (2)() 8 xtxat恒成立 记 222 ( )(2)()f xxtxat，则 min 1 ( ) 8 f x ， 222 22 ()(2) ,( ) 22 abtat abf x 22 22 1(2) 223022
10、50 82 tat tattat 或， 35 22 atat tt 或 minmax 3577 12 ,()6 ; ()6 2222 tttaa tt 或 例 6：提示： 22 111111 ( )( )()() ()f txf tf xatbtcaxbxca txa txb 1 ( )f tx 例 7：方法同例 6，本题使 97 年全国高考理可题。 强化训练： 1C 2. A 3. C 4. 正 5. 110 6. 0,1 7. 2a 8. 1,9 9分析对称轴：（1） ( )2 01,3 ( )2 f ab baab f ba ， （2） ( )2 0 ( )2 f aa ab f bb
11、无解 （3） 13 2 02 ( )2 b ab f aa 13 213 217,2 4 ( )2 b ab f ba 10构造 2 (2)0 ( )( )(1)1, (4)0 g g xf xxaxbx g 可以推出结论。 11同例 2 解法 12 2 111 ( ) 424 f xxx 13 1111 (1) (1) 4444 113 (0)( )(1)(0) 2444 1111 ( )( ) 242242 fabc fabc b fcfff bb facfac 11 4 ( )(1)3 (0)| 4|( )|(1)| 3|(0)| 8 22 bfffbfff，所以 A 的最小值为 8 14略