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1、第五讲第五讲 二次函数的最值问题二次函数的最值问题 二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础在初 2 (0)yaxbxc a 中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在x0a 处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值 2 b x a 2 4 4 acb a 0a 2 b x a ，无最小值 2 4 4 acb a 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题同时x 还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用 【例【例 1】当时，求函数的最大值和最小值22x 2 23yxx 分析：分析：作出函数在所给范围的及其对
2、称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函 数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值 x 解：解：作出函数的图象当时，当时，1x min 4y 2x max 5y 【例【例 2】当时，求函数的最大值和最小值12x 2 1yxx 解：解：作出函数的图象当时，当时，1x min 1y 2x max 5y 由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一x 段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异下面给出一些常x 见情况： 【例【例 3】当时，求函数的取值范围0x (2
3、)yxx 解：解：作出函数在内的图象 2 (2)2yxxxx 0x 可以看出：当时，无最大值1x min 1y 所以，当时，函数的取值范围是0x 1y 【例【例 4】当时，求函数的最小值(其中 为常数)1txt 2 15 22 yxxt 分析：分析：由于所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置xt 解：解：函数的对称轴为画出其草图 2 15 22 yxx1x (1) 当对称轴在所给范围左侧即时：当时，；1t xt 2 min 15 22 ytt (2) 当对称轴在所给范围之间即时：1101ttt 当时，；1x 2 min 15 113 22 y (3) 当对称轴在所给
4、范围右侧即时：110tt 当时，1xt 22 min 151 (1)(1)3 222 yttt 综上所述： 2 2 1 3,0 2 3,01 15 ,1 22 tt yt ttt 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 【例【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)m 与每件的销售价(元)满足一次函数x1623 ,3054mxx (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；yx (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为 多少？ 解：解：(1) 由已知得每件商品的销售
5、利润为元，(30)x 那么件的销售利润为，又m(30)ym x1623mx 2 (30)(1623 )32524860,3054yxxxxx (2) 由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下42x x 当时，42x 2 max 342252424860432y 当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为 432 元 A 组组 1抛物线，当= _ 时，图象的顶点在轴上；当= _ 2 (4)23yxmxmmym 时，图象的顶点在轴上；当= _ 时，图象过原点xm 2用一长度为 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ l 3求下列二次函数的最值：
6、 (1) ；(2) 2 245yxx(1)(2)yx x 4求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值 2 235yxx22x x 5对于函数，当时，求的取值范围 2 243yxx0x y 6求函数的最大值和最小值 2 3532yxx 7已知关于的函数，当 取何值时，的最小值为 0？x 22 (21)1yxtxtty B 组组 1已知关于的函数在上x 2 22yxax55x (1) 当时，求函数的最大值和最小值；1a (2) 当为实数时，求函数的最大值a 2函数在上的最大值为 3，最小值为 2，求的取值范围 2 23yxx0mxm 3设，当时，函数的最小值是，最大值是 0，求的0a 11x
7、 2 1yxaxb 4, a b 值 4已知函数在上的最大值为 4，求的值 2 21yxax12x a 5求关于的二次函数在上的最大值( 为常数)x 2 21yxtx11x t 练练 习习 第五讲第五讲 二次函数的最值问题答案二次函数的最值问题答案 A 组组 14 14 或 2， 3 2 2 2 2 16 l m 3(1) 有最小值 3，无最大值；(2) 有最大值，无最小值 9 4 4当时，；当时， 3 4 x min 31 8 y2x max 19y 55y 6当时，；当或 1 时， 5 6 x min 3 3 6 y 2 3 x max 3y 7当时， 5 4 t min 0y B 组组 1(1) 当时，；当时，1x min 1y5x max 37y (2) 当时，；当时，0a max 2710ya0a max 2710ya 221m 32,2ab 4或 1 4 a 1a 5当时，此时；当时，此时0t max 22yt1x 0t max 22yt1x