《解析几何.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解析几何.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 解析几何解析几何 1直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为0，) (2)直线的斜率 定义 ： 倾斜角不是90的直线， 它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k， 即ktan (90) ； 倾斜角为 90的直线没有斜率 ； 斜率公式 ： 经过两点 P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)的直线的斜率为 k (x1x2)；直线的方向向量 a(1，k)；应用：证明三点共线：kABkBC. y1y2 x1x2 问题 1 (1)直线的倾斜角 越大，斜率 k 就越大，这种说法正确吗？ (2)直线 xcos y20 的倾斜角的范围是_3 答案 (1)错 (2)0， ，) 6 5 6 2直线的方程 (1)
2、点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为 k，则直线方程为 yy0k(xx0)，它不包括垂 直于 x 轴的直线 (2)斜截式：已知直线在 y 轴上的截距为 b，斜率为 k，则直线方程为 ykxb，它不包括垂 直于 x 轴的直线 (3)两点式：已知直线经过 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，则直线方程为，它不包 yy1 y2y1 xx1 x2x1 括垂直于坐标轴的直线 (4)截距式：已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a，b，则直线方程为 1，它不包括垂直 x a y b 于坐标轴的直线和过原点的直线 (5)一般式：任何直线均可写成 AxByC0(A，B 不同时为 0)的形式
3、问题 2 已知直线过点 P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_ 答案 5xy0 或 xy60 3点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1)点 P(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离为 d； |Ax0By0C| A2B2 (2)两平行线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 间的距离为 d. |C1C2| A2B2 问题 3 两平行直线 3x2y50 与 6x4y50 间的距离为_ 答案 15 26 13 4两直线的平行与垂直 l1： yk1xb1， l2： yk2xb2(两直线斜率存在， 且不重合)， 则有 l1l2k1k2； l1l2k1k2 1. l1： A
4、1xB1yC10，l2： A2xB2yC20，则有 l1l2A1B2A2B10 且 B1C2B2C10 ； l1l2A1A2B1B20. 特别提醒：(1)、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要 A1 A2 B1 B2 C1 C2 A1 A2 B1 B2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几 何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线 问题 4 设直线 l1：xmy60 和 l2：(m2)x3y2m0，当 m_时，l1l2； 当 m_时，l1l2；当_时 l1与 l2相交；当 m_时，l1与 l2重合 答案 1
5、m3 且 m1 3 1 2 5圆的方程 (1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2. (2)圆的一般方程 ： x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 只有当 D2E24F0 时， 方程 x2 y2DxEyF0 才表示圆心为( ， )，半径为的圆 D 2 E 2 1 2 D2E24F 问题 5 若方程 a2x2(a2)y22axa0 表示圆，则 a_. 答案 1 6直线、圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系 直线 l：AxByC0 和圆 C：(xa)2(yb)2r2(r0)有相交、相离、相切可从代数和 几何两个方面来判断： 代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)： 0相交 ；
6、 r相离；dr相切 (2)圆与圆的位置关系 已知两圆的圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，则当|O1O2|r1r2时，两圆外离； 当|O1O2|r1r2时，两圆外切；当|r1r2|b0)；焦点在 y 轴上，1(ab0) x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 (2)双曲线标准方程：焦点在 x 轴上，1(a0，b0)；焦点在 y 轴上，1(a0， x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 b0) (3)与双曲线1 具有共同渐近线的双曲线系为(0) x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 (4)抛物线标准方程 焦点在 x 轴上：y22px(p0)； 焦点在 y 轴
7、上：x22py(p0) 问题 8 与双曲线 1 有相同的渐近线，且过点(3,2)的双曲线方程为_ x2 9 y2 16 3 答案 1 4x2 9 y2 4 9(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零， 利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相 切在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后 判断是否相切 (2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长 |P1P2|或|P1P2|.1k2 x 1x224x1x2
8、 1 1 k2 y 1y224y1y2 (3)过抛物线y22px(p0)焦点F的直线l交抛物线于C(x1， y1)、 D(x2， y2)， 则(1)焦半径|CF|x1 ；(2)弦长|CD|x1x2p；(3)x1x2，y1y2p2. p 2 p2 4 问题 9 已知 F 是抛物线 y2x 的焦点， A， B 是该抛物线上的两点， |AF|BF|3， 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为_ 答案 5 4 解析 |AF|BF|xAxB 3， 1 2 xAxB . 5 2 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 . xAxB 2 5 4 易错点 1 直线倾斜角与斜率关系不清致误 例 1 已知直线 xs
9、in y0，则该直线的倾斜角的变化范围是_ 错解 由题意得，直线 xsin y0 的斜率 ksin ， 1sin 1，1k1，直线的倾斜角的变化范围是. 4， 3 4 找准失分点 直线斜率 ktan ( 为直线的倾斜角)在0，)上是不单调的且不连续 正解 由题意得，直线 xsin y0 的斜率 ksin ， 1sin 1， 1k1， 当1k0， 解得 k ， kk1 k22 3 2 故不存在被点 A(1,1)平分的弦 正解 2 设符合题意的直线 l 存在，并设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)， 则Error! 式得(x1x2)(x1x2) (y1y2)(y1y2) 1 2 因为 A(1,1
10、)为线段 PQ 的中点， 所以Error! 将式、代入式，得 x1x2 (y1y2) 1 2 若 x1x2，则直线 l 的斜率 k2. y1y2 x1x2 所以直线 l 的方程为 2xy10， 再由Error!，得 2x24x30. 根据 80，n0)与曲线 x2y2|mn|无交点，则椭圆的离心率 e 的取值范围 x2 m y2 n 是( ) A. B. C. D. ( 3 2 ，1) ( 0， 3 2 )( 2 2 ，1) ( 0， 2 2 ) 答案 D 解析 由于 m、n 可互换而不影响，可令 mn，则Error!则 x2，若两曲线无交点， 2mnm2 nm 则 x20， b0)的右焦点
11、F 向其一条渐近线作垂线， 垂足为 M， 已知MFO x2 a2 y2 b2 30(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为_ 答案 2 解析 由已知得点 F 的坐标为(c,0)(c)，a2b2 其中一条渐近线方程为 bxay0， 则|MF|b， bc a2b2 由MFO30可得 cos 30， |MF| |OF| b c 3 2 所以， c2a2 c 3 2 所以 e 2. c a 10(2014浙江)设直线 x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别 x2 a2 y2 b2 交于点 A，B.若点 P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_ 答案 5 2 解析 双曲线1 的渐近线方程为 y x. x2 a2 y2 b2 b a 由Error!得 A(，)， am 3ba bm 3ba 由Error!得 B(，)， am a3b bm a3b 所以 AB 的中点 C 坐标为(，) a2m 9b2a2 3b2m 9b2a2 设直线 l：x3ym0(m0)， 因为|PA|PB|，所以 PCl， 所以 kPC3，化简得 a24b2. 在双曲线中，c2a2b25b2， 所以 e . c a 5 2