高中数学竞赛教材讲义 第一章 集合与简易逻辑讲义.pdf

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1、第一章 集合与简易逻辑第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来 表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合 A 中，称属于 A，记xx 为，否则称不属于 A，记作。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、AxxAx 整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集 合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集 合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例

2、如有理数，分别表示有理数集和正实数集。0xx 定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素， 则 A 叫做 B 的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 BBA ZN 的子集， B 也是 A 的子集， 则称 A 与 B 相等。 如果 A 是 B 的子集， 而且 B 中存在元素不属于 A， 则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集，.BxAxxBA且 定义 4 并集，.BxAxxBA或 定义 5 补集，若称为 A 在 I 中的补集。, 1 AxIxxACIA且则 定义 6 差集，。,BxAxxBA且 定义 7 集合记作开区间，

3、集合,baRxbxax),(ba 记作闭区间，R 记作,baRxbxax,ba).,( 定理 1 集合的性质：对任意集合 A，B，C，有： （1） （2）；);()()(CABACBA)()()(CABACBA （3） （4）);( 111 BACBCAC).( 111 BACBCAC 【证明】这里仅证（1） 、 （3） ，其余由读者自己完成。 （1）若，则，且或，所以或，)(CBAxAxBxCx)(BAx)(CAx 即；反之，则或，)()(CABAx)()(CABAx)(BAx)(CAx 即且或，即且，即AxBxCxAx)(CBx).(CBAx （3）若，则或，所以或，所以，BCACx 11

4、 ACx 1 BCx 1 AxBx)(BAx 又，所以，即，反之也有Ix)( 1 BACx)( 111 BACBCAC .)( 111 BCACBAC 定理 2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中n 1 m 有种不同的方法，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有 2 mn n m 种不同的方法。 n mmmN 21 定理 3 乘法原理 ： 做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的n 1 m 2 m 方法，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的n n m n mmmN 21 方法。 二、方法与例题 1利用集合中元素的属性，检验元

5、素是否属于集合。 例 1 设，求证：, 22 ZyxyxaaM （1）；)( ,12ZkMk （2）；)( ,24ZkMk （3）若，则MqMp,.Mpq 证明（1）因为，且，所以Zkk1, 22 ) 1(12kkk.12Mk （2）假设，则存在，使，由于和)(24ZkMkZyx, 22 24yxkyx yx 有相同的奇偶性，所以是奇数或 4 的倍数，不可能等于，假)( 22 yxyxyx24 k 设不成立，所以.24Mk （3）设，则Zbayxbaqyxp, 2222 )( 2222 bayxpq 22222222 aybxbyaaMyaxbybxa 22 )()( （因为） 。ZyaxbZ

6、yaxa, 2利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则 A=B。BA AB 例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合 M 满足 ，求集合 M（用 A，B 表示） 。BAMBABAMBMA, 【解】 先证， 若， 因为， 所以，MBA)()(BAxBAMAMxMAx, 所以； MBA)( 再证，若，则1）若，则)(BAMMx.BAMBAxAx ；2）若，则。所以BAMAxBxBAMBx).(BAM 综上，.BAM 3分类讨论思想的应用。 例 3 ，若02,01,023 222 mxxxCaaxxxBxxxA ，求CCAABA,.,ma 【解】依题设，再由解得或，2 , 1A01 2 aaxx1

7、 ax1x 因为，所以，所以，所以或 2，所以或 3。ABAAB Aa111a2a 因为，所以，若，则，即，若CCAAC C08 2 m2222m ，则或，解得CC1C2 . 3 m 综上所述，或；或。2a3a3m2222m 4计数原理的应用。 例 4 集合 A，B，C 是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集， （1）若，求有IBA 序集合对（A，B）的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。 【解】 （1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中IBA, 一个子集， 10 个元素共有 310种可能， 每一种可能确定一个满足条件的集合对， 所以集合对

8、有 310 个。 （2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1 或 者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，第 10 步，0 也有两种，由乘法 原理，子集共有个，非空真子集有 1022 个。1024210 5配对方法。 例 5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，, 3 , 2 , 1nIk k AAA, 21 并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。k 【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这 1 2 n 个子集中，因此，； 其次，每一对中必有一个在这个子集中

9、出现，否则，若有一k 1 2 n kk 对子集未出现，设为 C1A 与 A，并设，则，从而可以在个子集中再 1 AAACA 11 k 添加，与已知矛盾，所以。综上，。AC1 1 2 n k 1 2 n k 6竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理；用表示集合 A 的元素个数，则A,BABABA ，需要xy 此结论可以推CBACBCABACBACBA 广到个集合的情况，即n n i kji jinkji jii n i i AAAAAAA 111 .) 1( 1 1 n i i n A 定义 8 集合的划分：若，且，则这IAAA n 21 ),1 (jinjiAA ji 些子集的全集叫 I

10、的一个-划分。n 定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个1mn) 1( nn1m 元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放mn 有无穷多个元素。 例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。 【解】 记，（2（2,1001,100, 3 , 2 , 1xxxxAI记为整除能被且 ，由容斥原理，5 ,1001,3 ,1001xxxCxxxB 3 100 2 100 CBAACCBBACBACBA ，所以不能被 2，3，5 整除的数有74 30 100

11、15 100 10 100 6 100 5 100 个。26CBAI 例 7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7，问 S 中最多含 有多少个元素？ 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一 个属于 S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个数。又因为 2004=18211+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 个元素，另一方面，当 时，恰有，且 S 满足题目条件，

12、,2004,10, 7 , 4 , 2 , 1,11NkrttkrrS912S 所以最少含有 912 个元素。 例8求所有自然数，使得存在实数满足：)2( nn n aaa, 21 . 2 ) 1( , 2 , 11 nn njiaa ji 【解】 当时，；当时，；当时， 2n1, 0 21 aa3n3, 1, 0 321 aaa4n 。下证当时，不存在满足条件。1, 5, 2, 0 4321 aaaa5n n aaa, 21 令，则 n aaa 21 0. 2 ) 1( nn an 所以必存在某两个下标，使得，所以或ji 1 nji aaa 111 1 nnn aaaa ，即，所以或，。 2

13、 1aaa nn 1 2 a1, 2 ) 1( 1 nnn aa nn a 2 ) 1( nn an1 2 a （）若，考虑，有或，即1, 2 ) 1( 1 nnn aa nn a2 n a 2 2 nn aa 2 2aaa nn ，设，则，导致矛盾，故只有2 2 a2 2 nn aa 121 nnnn aaaa. 2 2 a 考虑，有或，即，设，则3 n a 2 3 nn aa 3 3aaa nn 3 3 a 2 3 nn aa ，推出矛盾，设，则，又推出矛盾， 0221 2aaaa nn 3 3 a 231 1aaaa nn 所以故当时，不存在满足条件的实数。4, 22 naan5n （）

14、 若， 考虑， 有或， 即，1, 2 ) 1( 2 a nn an2 n a 1 2 nn aa 3 2aaa nn 2 3 a 这时，推出矛盾，故。考虑，有或 1223 aaaa2 1 nn aa3 n a 2 3 nn aa ，即=3，于是，矛盾。因此，所以 nn aa3 3 a 3 a 123 nn aaaa3 2 nn aa ，这又矛盾，所以只有，所以。故当时，不 1221 1aaaa nn 22 aan 4n5n 存在满足条件的实数。 例 9 设 A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在 A 中取三个数，B 中取两个数组成 五个元素的集合，求的最小值。 i A.201 ,

15、2,20, 2 , 1jiAAi ji n 【解】 .16 min n 设 B 中每个数在所有中最多重复出现次， 则必有。 若不然， 数出现次 （） ， i Ak4kmk4k 则在出现的所有中， 至少有一个 A 中的数出现 3 次， 不妨设它是 1， 就有集合1，.123 km i A ，其中，为满足题意的集合。 121 ,bmaa, 1, 1 365243 bmaabmaa61 ,iAai 必各不相同，但只能是 2，3，4，5，6 这 5 个数，这不可能，所以 i a . 4 k 20 个中，B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以。当时，如下 20 i A16n16n 个集

16、合满足要求： 1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10， 1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9， 1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11， 2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13， 3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。 例 10 集合1，2，3n可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求n,zyxzyx3 满足

17、条件的最小正整数. n 【解】 设其中第 个三元集为则 1+2+i, 2 , 1,nizyx ii n i i zn 1 ,43 所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有， n i i z nn 1 4 2 ) 13(3 nn388nn138n 所以，当时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，85n5n 满足条件，所以的最小值为 5。n 三、基础训练题 1给定三元集合，则实数的取值范围是_。, 1 2 xxxx 2若集合中只有一个元素，则=_。, 012 2 RxRaxaxxAa 3集合的非空真子集有_个。3 , 2 , 1B 4已知集合，若，则由满足条件

18、的实数01,023 2 axxNxxxMMN 组成的集合 P=_。a 5已知，且，则常数的取值范围是_。,2axxBxxABA a 6若非空集合 S 满足，且若，则，那么符合要求的集合 S 有5 , 4 , 3 , 2 , 1SSaSa6 _个。 7集合之间的关系是_。1412ZkkYZnnX与 8若集合，其中，且，若，则 A 中元素之和是1,xyxyxAZxZy0yA0 _。 9集合，且，则满足条件的值构成的01,06 2 mxxMxxxPPM m 集合为_。 10集合，则, 9, 12 2 RxxyyBRxxyxA _。BA 11 已知 S 是由实数构成的集合， 且满足 1） 若， 则。

19、如果， S2 ;1SSaS a 1 1 S 中至少含有多少个元素？说明理由。 12已知，又 C 为单元素集合，求实BACaxyyxBxayyxA,),(,),( 数的取值范围。a 四、高考水平训练题 1 已知集合， 且 A=B， 则_，_。, 0,yxByxxyxAxy 2,9 , 1)()(,2,9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 11 BCACBAIBIAI ，则_。8 , 6 , 4)( 1 BAC)( 1B CA 3 已知集合， 当时， 实数121,0310 2 mxmxBxxxABAm 的取值范围是_。 4若实数为常数，且_。a a xax xAa则,

20、1 1 1 2 5集合，若，则1, 12 , 3,3, 1, 22 mmmNmmM3NM m _。 6集合，则中的最小元素是, 27, 35 NyybbBNxxaaABA _。 7集合，且 A=B，则_。0 , 2222 yxyxBxyyxyxA yx 8已知集合，且，则的取值范围是04,0 2 1 pxxB x x xAAB p _。 9设集合,05224),(,01),( 22 yxxyxBxyyxA ，问：是否存在，使得，并证明你的结论。),(bkxyyxCNbk,CBA)( 10集合 A 和 B 各含有 12 个元素，含有 4 个元素，试求同时满足下列条件的集合 C 的BA 个数：1）

21、且 C 中含有 3 个元素；2）。BACAC 11判断以下命题是否正确：设 A，B 是平面上两个点集，若对),( 222 ryxyxCr 任何，都有，则必有，证明你的结论。0rBCAC rr BA 五、联赛一试水平训练题 1 已知集合， 则实数的取值范ABBx mx xm zzBxxA 且,2, 1 1 ,0 2 m 围是_。 2集合的子集 B 满足：对任意的，则集合 B 中12 ,2 , 3 , 2 , 1nnAByxByx, 元素个数的最大值是_。 3已知集合，其中，且，若 P=Q，则实2, 2 dadaaQaqaqaP0aRa 数_。q 4已知集合，若是平面1),(,0,),(yxxyy

22、xBaayxyxABA 上正八边形的顶点所构成的集合，则_。a 5集合，集合,4812ZnlmlnmuuM ，则集合 M 与 N 的关系是_。,121620ZrqprqpuuN 6设集合，集合 A 满足：，且当时，则 A 中1995, 3 , 2 , 1MMA AxAx15 元素最多有_个。 7 非空集合， 则使成立的所有223,5312xxBaxaxABAAa 的集合是_。 8已知集合 A，B，aC（不必相异）的并集, 则满足条件的有序三元, 2 , 1nCBA 组（A，B，C）个数是_。 9已知集合，问：1),(,1),(,1),( 22 yxyxCayxyxByaxyxA 当取何值时，为

23、恰有 2 个元素的集合？说明理由，若改为 3 个元素集合，结论aCBA)( 如何？ 10求集合 B 和 C，使得，并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。10, 2 , 1CB 11 S 是 Q 的子集且满足 ： 若， 则恰有一个成立， 并且若，Qr 0,rSrSrSbSa , 则，试确定集合 S。SbaSab , 12集合 S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至 多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？ 六、联赛二试水平训练题 1是三个非空整数集，已知对于 1，2，3 的任意一个排列，如果， 321 ,SSSkji, i Sx

24、，则。求证：中必有两个相等。 j Sy i Syx 321 ,SSS 2 求证 ： 集合1， 2， 1989可以划分为 117 个互不相交的子集， 使得 （1）)117, 2 , 1(iAi 每个恰有 17 个元素；（2）每个中各元素之和相同。 i A i A 3某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况nn 有多少种？ 4设是 20 个两两不同的整数，且整合中有 201 个不 2021 ,aaa201jiaa ji 同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值。201jiaa ji 5设 S 是由个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数

25、。n2 6对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合4n)(nfm 的任一个元子集中，均有至少 3 个两两互质的元素。1, 1,nmmm)(nf 7设集合 S=1，2，50，求最小自然数，使 S 的任意一个元子集中都存在两个不同的ks 数 a 和 b，满足。abba)( 8集合，试作出 X 的三元子集族&，满足： NkkX, 6 , , 2 , 1 （1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含； （2）。）k的元素个数表示&(6& 2 9 设集合， 求最小的正整数， 使得对 A 的任意一个 14-分划21）m）Am 1421 ,AAA ，一定存在某个集合，在中有两个元素 a 和 b 满足。)141 ( iAi i Abab 3 4