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1、第六章第六章 三角函数三角函数 一、基础知识一、基础知识 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角 为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的 圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|=,其 r L 中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合， 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y） ，到原点
2、的距离为 r,则正弦 函数 sin=,余弦函数 cos=,正切函数 tan=， 余切函数 cot=， 正割函数 sec=, r y r x x y y x x r 余割函数 csc=. y r 定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=,sin=，cos=； cot 1 csc 1 sec 1 商数关系：tan=；乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos； sin cos cot, cos sin 平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2. 定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)
3、=tan, cot(+)=cot; （）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, cos 2 2 =sin, tan=cot（奇变偶不变，符号看象限） 。 2 定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间 上为增函数， 在区间上为减函数， 最小正周期为 2 2 2 , 2 2 kk 2 3 2 , 2 2kk . 奇偶数. 有界性：当且仅当 x=2kx+时，y 取最
4、大值 1，当且仅当 x=3k-时, y 取最小 2 2 值-1。对称性：直线 x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为-1，1。 2 这里 kZ. 定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+ 上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。对称性： 直线 x=k 均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2k 时，y 取 0 , 2 k 最大值 1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 kZ. 定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(x
5、k+)在开区间(k-, k+)上为增函 2 2 2 数, 最小正周期为 ，值域为（-，+） ，点（k，0） ， （k+，0）均为其对称中心。 2 定理 6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincos cossin; tan()=. )tantan1 ( )tan(tan 定理 7 和差化积与积化和差公式: sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos, 2 2 2 2 cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin, 2 2 2 2 sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-
6、), 2 1 2 1 coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-). 2 1 2 1 定理 8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=. )tan1 ( tan2 2 定理 9 半角公式:sin=,cos=, 2 2 )cos1 ( 2 2 )cos1 ( tan= 2 )cos1 ( )cos1 ( . sin )cos1 ( )cos1 ( sin 定理 10 万能公式: , , 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 . 2 tan
7、1 2 tan2 tan 2 定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b20，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为，则 sin=,cos=，对任意的角. 22 ba b 22 ba a asin+bcos=sin(+).)( 22 ba 定理12 正弦定理 ： 在任意ABC中有， 其中a, b, c分别是角A， B，R C c B b A a 2 sinsinsin C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理 ： 在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的对边。 定理 14 图象之间的关
8、系 ： y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象 ； 经左右平移得 y=sin(x+ )的图象（相位变换） ； 纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=sin()的图象（周 1 x0 期变换） ； 横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ； y=Asin(x+ )(0)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象 （振幅变换） ； y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到 y=Asin x 的图象。 定义 4 函数 y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作 y=a
9、rcsinx(x-1, 1)，函数 2 , 2 x y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1, 1). 函数 y=tanx 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函 2 , 2 x 数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x-, +). 定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方 程 cosx=a 的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是x|x=k+arctana,
10、kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=. 2 2 定理 16 若，则 sinx-1，所以 cos， , 2 x 0 , 2 x 所以 sin(cosx) 0,又 00， 所以 cos(sinx)sin(cosx). 若，则因为 sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)= 2 , 0 x2cos 2 2 sin 2 2 2 xx 4 4 sin(x+)cos(-cosx)=sin(cosx). 2 综上，当 x(0,)时，总有 cos(sinx)0，求证： 2 . 2 sin cos sin cos x x 【证明】 若+，则 x0，由-0
11、 得 cossin(-)=cos, 所以 0cos(-)=sin0, 2 2 2 2 所以1。又 01， sin cos 2 sin cos 所以，得证。2 sin cos sin cos sin cos sin cos 0 0 x x 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2 是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx） ；其次，当 且仅当 x=k+时，y=0（因为|2cosx|20, cos0. 22 0 2 2
12、 所以 sin（1+cos）=2sincos2= 2 2 2 2 cos 2 cos 2 sin22 222 = 3 222 3 2 cos 2 cos 2 sin2 2 . 9 34 27 16 当且仅当2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan时， sin(1+cos)取得最大值。 2 2 2 2 2 2 2 2 9 34 例 7 若 A，B，C 为ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因为 sinA+sinB=2sincos, 2 BA 2 sin2 2 BABA sinC+sin, 2 3 sin2 2 3 cos 2 3 sin2 3
13、CCC 又因为， 3 sin2 4 3 cos 4 3 sin2 2 3 sin 2 sin CBACBAC BA 由，得 sinA+sinB+sinC+sin4sin, 3 3 所以 sinA+sinB+sinC3sin=, 3 2 33 当 A=B=C=时， （sinA+sinB+sinC）max=. 3 2 33 注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯 西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5换元法的使用。 例 8 求的值域。 xx xx y cossin1 cossin 【解】 设 t=sinx+cosx=). 4 si
14、n(2cos 2 2 sin 2 2 2 xxx 因为, 1) 4 sin(1 x 所以. 22t 又因为 t2=1+2sinxcosx, 所以 sinxcosx=，所以， 2 1 2 t 2 1 1 2 1 2 t t x y 所以. 2 12 2 12 y 因为 t-1，所以，所以 y-1.1 2 1 t 所以函数值域为. 2 12 , 11, 2 12 y 例 9 已知 a0=1, an=(nN+)，求证：an. 1 1 121 n n a a 2 2 n 【证明】 由题设 an0，令 an=tanan, an，则 2 , 0 an=.tan 2 tan sin cos1 tan 1se
15、c tan 1tan1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n a a a a a a a a 因为，an，所以 an=，所以 an= 2 1n a 2 , 0 1 2 1 n a. 2 1 0 a n 又因为 a0=tana1=1，所以 a0=，所以。 4 n n a 2 1 4 又因为当 0x，所以 2 . 22 tan 22 nn n a 注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当 x时，有 tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是 2 , 0 很容易的。 6图象变换：y=sinx(xR)与 y=Asin(x+)(A,
16、 , 0). 由 y=sinx 的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后再 保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=Asin(x+)的图象 ； 也可以由 y=sinx 的图象 1 先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最 1 后向左平移个单位，得到 y=Asin(x+)的图象。 例 10 例 10 已知 f(x)=sin(x+)(0, 0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间上是单调函数，求和的值。 0 , 4 3 M 2 , 0 【解】 由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin(+
17、)=sin(-x+)，所以 cossinx=0，对 任意 xR 成立。 又 0，解得=， 2 因为 f(x)图象关于对称，所以=0。 0 , 4 3 M) 4 3 () 4 3 (xfxf 取 x=0，得=0，所以 sin) 4 3 (f. 0 24 3 所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ). 24 3 k 3 2 又0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数； 2 2 取 k=1 时，=2，此时 f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数； 2 2 取 k=2 时，此时 f(x)=sin(x+)在0，上不是单调函数， 3 10 2 2 综上，=或 2。 3 2
18、7三角公式的应用。 例 11 已知 sin(-)=， sin(+)=- ， 且 -， +， 求 sin2,cos2 13 5 13 5 , 2 2 , 2 3 的值。 【解】 因为 -，所以 cos(-)=- , 2 . 13 12 )(sin1 2 又因为 +，所以 cos(+)= 2 , 2 3 . 13 12 )(sin1 2 所以 sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=, 169 120 cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1. 例 12 已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且，
19、试求 BCAcos 2 cos 1 cos 1 的值。 2 cos CA 【解】 因为 A=1200-C，所以 cos=cos(600-C)， 2 CA 又由于 )120cos(cos cos)120cos( cos 1 )120cos( 1 cos 1 cos 1 0 0 0 CC CC CCCA =，22 2 1 )2120cos( )60cos(2 )2120cos(120cos 2 1 )60cos(60cos2 0 0 00 00 C C C C 所以=0。23 2 cos2 2 cos24 2 CACA 解得或。 2 2 2 cos CA 8 23 2 cos CA 又0，所以。
20、2 cos CA 2 2 2 cos CA 例 13 求证：tan20 +4cos70 . 【解】 tan20 +4cos70 =+4sin20 20cos 20sin 20cos 40sin220sin 20cos 20cos20sin420sin 20cos 40sin10cos30sin2 20cos 40sin40sin20sin . 3 20cos 20cos60sin2 20cos 40sin80sin 三、基础训练题三、基础训练题 1已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3, -2cos3)，则 x 的弧度数为_。 2适合-2cscx 的角的集合为_。 x x x x
21、 cos1 cos1 cos1 cos1 3给出下列命题 ： （1）若 ，则 sinsin； （2）若 sinsin,则 ； （3）若 sin0， 则 为第一或第二象限角；（4）若 为第一或第二象限角，则 sin0. 上述四个命题中，正 确的命题有_个。 4已知 sinx+cosx=(x(0, )，则 cotx=_。 5 1 5简谐振动 x1=Asin和 x2=Bsin叠加后得到的合振动是 x=_。 3 t 6 t 6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+ 1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4分别 是第_象限角。 7满足 sin(sinx+x
22、)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有_个。 8已知，则=_。2 2 3 xxcos 2 1 2 1 2 1 2 1 9=_。 40cos170sin )10tan31 (50sin40cos 10cot15 cos25 cot35 cot85 =_。 11已知 ,(0, ), tan, sin(+)=，求 cos 的值。 2 1 2 13 5 12已知函数 f(x)=在区间上单调递减，试求实数 m 的取值范围。 x xm cos sin2 2 , 0 四、高考水平训练题 1已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R，若其周长为定值 c(c0)，当扇形面积最大时， a=_. 2. 函数 f(
23、x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是_. 3. 函数的值域为_. x x y cos2 sin2 4. 方程=0 的实根个数为_.xxlg 6 2sin2 5. 若 sina+cosa=tana, a，则_a（填大小关系）. 2 , 0 3 6. (1+tan1 )(1+tan2 )(1+tan44 )(1+tan45 )=_. 7. 若 00, k=-1，求 f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数 k，使得当 x 在任意两个整数（包括整 数本身）间变化时，函数 f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题（一）五、联赛一试水平训练题（一） 1若 x,
24、yR，则 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范围是_. 2 已知圆 x2+y2=k2至少盖住函数 f(x)=的一个最大值点与一个最小值点， 则实数 k 的 k x sin3 取值范围是_. 3f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为_. 4方程 sinx+cosx+a=0 在（0，2）内有相异两实根 ，则 +=_.3 5函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是_. 6设 sina0cosa, 且 sincos，则的取值范围是_. 3 a 3 a 3 a 7方程 tan5x+tan3x=0 在0，中有_个解. 8若 x, yR, 则 M=cosx+cos
25、y+2cos(x+y)的最小值为_. 9若 00)在一个最小正周期长的区间上的图象与 函数 g(x)=的图象所围成的封闭图形的面积是_.1 2 a 2若，则 y=tan-tan+cos的最大值是_. 3 , 12 5 x 3 2 x 6 x 6 x 3在ABC 中，记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0，则=_. BA C cotcot cot 4设 f(x)=x2-x, =arcsin, =arctan, =arccos, =arccot, 将 f(), f(), f(), f() 3 1 4 5 3 1 4 5 从小到大排列为_. 5 logsin1cos
26、1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。 将 a, b, c, d 从小到大排列为_. 6在锐角ABC 中，cosA=cossin, cosB=cossin, cosC=cossin，则 tantantan=_. 7已知矩形的两边长分别为 tan和 1+cos(00 恒成立，则的取值范围是_. 10已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则 cos2x+ cos2y+ cos2z=_. 11已知 a1, a2, ,an是 n 个实常数，考虑关于 x 的函数 ： f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x
27、) + 2 1 1 2 1 n cos(an+x)。求证：若实数 x1, x2满足 f(x1)=f(x2)=0，则存在整数 m，使得 x2-x1=m. 12在ABC 中，已知，求证：此三角形中有一个内角为。3 coscoscos sinsinsin CBA CBA 3 13求证：对任意自然数 n, 均有|sin1|+|sin2|+|sin(3n-1)|+|sin3n|. 5 8n 六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 1已知 x0, y0, 且 x+y0（wR）. 2. 已知 a 为锐角，n2, nN+，求证：2n-2+1. 1 cos 1 1 sin 1 aa nn 1 2 n 3.
28、 设 x1, x2, xn, y1, y2, yn,满足 x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=，求证：3 2 1 n x 2 11 n n y y 2m，求证 ： 对一切 x都有 2|sinnx-cosnx|3|sinnx-cosnx|. 2 , 0 7在ABC 中，求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。 8求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, , cos2na, 中的每一项均为负数。 9已知 i ，tan 1tan2tann=2 , nN+, 若对任意一组满足上述条件的 2 , 0 2 n 1，2，n都有 cos1+cos2+cosn，求 的最小值。