高中数学竞赛教材讲义 第十二章 立体几何讲义.pdf

《高中数学竞赛教材讲义 第十二章 立体几何讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛教材讲义 第十二章 立体几何讲义.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第十二章 立体几何 一、基础知识 公理 1 一条直线。 上如果有两个不同的点在平面。 内 则这条直线在这个平面内， 记作 ： aa 公理 2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若 P ，则存在唯一的直线 m，使得=m,且 Pm。 公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面 推论 l 直线与直线外一点确定一个平面 推论 2 两条相交直线确定一个平面 推论 3 两条平行直线确定一个平面 公理 4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行 定义 1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线过空间任意一点 分别作两条异

2、面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过 900的角叫做两条异面直线成 角与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之 间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离 定义 2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外直线与平面相交和直 线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外 定义 3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直 定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直 定理 2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面

3、垂直，则另一条也和这个平面垂直 定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则 直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离 定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线由斜线上每一点向平面引垂 线，垂足叫这个点在平面上的射影所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平 面内的射影斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角 结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角 定理 4 (三垂线定理)若 d 为平面。的一条斜线，b 为它在平面 a 内的射影，c 为平面 a 内的一 条直线，若 cb，则 ca逆定理

4、：若 ca，则 cb 定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线，若它与平面内一条直线 b 平行，则它与平面 a 平行 定理 6 若直线。与平面平行，平面经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6，则 a/b 结论 2 若直线。与平面和平面都平行，且平面与平面相交于 b，则 a/b 定理 7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同， 则两个角相等 定义 6 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交没有公共点即平行，否则即相交 定理 8 平面 a 内有两条相交直线 a，b 都与平面平行，则/. 定理 9 平面与平面平行，平面=a，=b，则 a/b 定义 7 (二面角)，经过同

5、一条直线 m 的两个半平面,(包括直线 m，称为二面角的棱)所组 成的图形叫二面角，记作m，也可记为 Am 一 B，AB等过棱上任意一点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线 AP，BP，则APB(900)叫做二面角的平面角 它的取值范围是0， 特别地，若APB900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即. 定理 10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 定理 11 如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内 定理 12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直 定义 8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形

6、， 并且每相邻两个平行四边形的公共边 (称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱两个互相平行的面叫做底面如 果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形 的直棱柱叫做正棱柱底面是矩形的直棱柱叫做长方体棱长都相等的正四棱柱叫正方体 定义 9 有一个面是多边形(这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体 叫棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥 定理 13 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为 V，棱数为 E，面数为 F，则 V+F-E=2 定义 10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面球面

7、所围成的几何体叫 做球定长叫做球的半径，定点叫做球心 定理 14 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心 与球心的连线与截面垂直设截面半径为 r，则 d2+r2R2过球心的截面圆周叫做球大圆经 过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离 定义 11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线 纬线上 任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度用经过南极和北极的平面去截 地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平 面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经 定

8、理 15 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体， 被平行于这两个平面的任意平面所 截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 定理 16 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角 其中任 意两个角之和大于另一个，三个角之和小于 3600 定理 17 （面积公式）若一个球的半径为 R，则它的表面积为 S球面=4R2。若一个圆锥的母 线长为 l，底面半径为 r，则它的侧面积 S侧=rl. 定理 18 （体积公式）半径为 R 的球的体积为 V球=；若棱柱（或圆柱）的底面积为 s， 3 3 4 R 高 h，则它的体积为 V=sh；若棱锥（或圆锥

9、）的底面积为 s，高为 h，则它的体积为 V=. 3 1 sh 定理 19 如图 12-1 所示， 四面体 ABCD 中， 记BDC=， ADC=， ADB=， BAC=A， ABC=B， ACB=C。DH平面 ABC 于 H。 （1）射影定理：SABDcos=SABH，其中二面角 DABH 为。 （2）正弦定理：. sin sin sin sin sin sin CBA （3）余弦定理：cos=coscos+sinsincosA. cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos. （4）四面体的体积公式DHSABC 3 1 V =coscoscos2coscoscos1 6 1 222

10、 abc （其中 d 是 a1, a 之间的距离，是它们的夹角）sin 6 1 1d aa SABDSACDsin(其中为二面角 BADC 的平面角)。 a3 2 二、方法与例题 1公理的应用。 例 1 直线 a,b,c 都与直线 d 相交，且 a/b,c/b，求证：a,b,c,d 共面。 证明 设d与a,b,c分别交于A,B,C,因为b与d相交， 两者确定一个平面， 设为a.又因为a/b， 所以两者也确定一个平面， 记为。 因为 A， 所以 A， 因为 Bb， 所以 B，所以 d. 又过 b,d 的平面是唯一的，所以，是同一个平面，所以 a.同理 c.即 a,b,c,d 共 面。 例 2 长

11、方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？ 解 充要条件。先证充分性，设图 12-2 中 PQRSTK 是长方体 ABCD-A1B1C1D1的正六边形截面， 延长 PQ，SR 设交点为 O，因为直线 SR平面 CC1D1D，又 O直线 SR，所以 O平面 CC1D1D， 又因为直线 PQ平面 A1B1C1D1，又 O直线 PQ，所以 O平面 A1B1C1D1。所以 O直线 C1D1， 由正六边形性质知， ORQ=OQR=600， 所以ORQ 为正三角形， 因为 CD/C1D1， 所以 RO SR RC CR 1 =1。 所以 R 是 CC1中点， 同理 Q 是 B1C1的中点， 又ORC

12、1OQC1， 所以 C1R=C1Q， 所以 CC1=C1B1， 同理 CD=CC1，所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留给读者自己证明。 2异面直线的相关问题。 例 3 正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对？ 解 每条棱与另外的四条棱成异面直线，重复计数一共有异面直线 124=48 对，而每一对 异面直线被计算两次，因此一共有24 对。 2 48 例 4 见图 12-3，正方体，ABCDA1B1C1D1棱长为 1，求面对角线 A1C1与 AB1所成的角。 解 连结 AC， B1C， 因为 A1AB1BC1C， 所以 A1AC1C， 所以 A1ACC1为平行四边形， 所以 A1C1

13、/ / / AC。 / 所以 AC 与 AB1所成的角即为 A1C1与 AB1所成的角，由正方体的性质 AB1=B1C=AC，所以 B1AC=600。所以 A1C1与 AB1所成角为 600。 3平行与垂直的论证。 例 5 A，B，C，D 是空间四点，且四边形 ABCD 四个角都是直角，求证 ： 四边形 ABCD 是矩形。 证明 若 ABCD 是平行四边形，则它是矩形；若 ABCD 不共面，设过 A，B，C 的平面为， 过 D 作 DD1于 D1，见图 12-4，连结 AD1，CD1，因为 ABAD1，又因为 DD1平面，又 AB ，所以 DD1AB，所以 AB平面 ADD1，所以 ABAD1

14、。同理 BCCD1，所以 ABCD1为矩形， 所以AD1C=900， 但 AD1h. 证明 不妨设 A 到面 BCD 的高线长 AH=h， AC 与 BD 间的距离为 d， 作 AFBD 于点 F， CNBD 于点 N， 则 CN/HF， 在面 BCD 内作矩形 CNFE， 连 AE， 因为 BD/CE， 所以 BD/平面 ACE， 所以 BD 到面 ACE 的距离为 BD 与 AC 间的距离 d。在AEF 中，AH 为边 EF 上的高，AE 边上的高 FG=d， 作 EMAF 于 M， 则由 EC/平面 ABD 知， EM 为点 C 到面 ABD 的距离 （因 EM面 ABD） ， 于是 E

15、M AH=h。在 RtEMF 与 RtAHF 中，由 EMAH 得 EFAF。又因为AEHFEG，所以 2。所以 2dh. EF EFAF EF AE FG AH d h 注：在前面例题中除用到教材中的公理、定理外，还用到了向量法、体积法、射影法，请读 者在解题中认真总结。 三、基础训练题 1正三角形 ABC 的边长为 4，到 A，B，C 的距离都是 1 的平面有_个. 2空间中有四个点 E，F，G，H，命题甲：E，F，G，H 不共面；命题乙：直线 EF 和 GH 不相交， 则甲是乙的_条件。 3动点 P 从棱长为 a 的正方体的一个顶点出发，沿棱运动，每条棱至多经过一次，则点 P 运 动的最

16、大距离为_。 4 正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是面 ADD1A1、 面 ABCD 的中心， G 为棱 CC1中点， 直线 C1E， GF 与 AB 所成的角分别是，。则+=_。 5若 a,b 为两条异面直线，过空间一点 O 与 a,b 都平行的平面有_个。 6CD 是直角ABC 斜边 AB 上的高，BD=2AD，将ACD 绕 CD 旋转使二面角 ACDB 为 600， 则异面直线 AC 与 BD 所成的角为_。 7已知 PA平面 ABC，AB 是O 的直径，C 是圆周上一点且 AC=AB，则二面角 APCB 的 2 1 大小为_。 8平面上有一个ABC，ABC=1050

17、，AC=，平面两侧各有一点 S，T，使得)26(2 SA=SB=SC=，TA=TB=TC=5，则 ST=_.41 9在三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，二面角 ASBC 为直二面角，若BSC=450，SB=a， 则经过 A，B，C，S 的球的半径为_. 10空间某点到棱长为 1 的正四面体顶点距离之和的最小值为_. 11异面直线 a,b 满足 a/,b/,b/,a/，求证：/。 12 四面体 SABC 中， SA， SB， SC 两两垂直， S0， S1， S2， S3分别表示ABC， SBC， SCA， SAB 的面积，求证：. 2 3 2 2 2 1 2 0 SSSS 13正三棱柱

18、ABCA1B1C1中，E 在棱 BB1上，截面 A1EC侧面 AA1C1C， （1）求证 ： BE=EB1； （2） 若 AA1=A1B1，求二面角 EC-A1-B1C1的平面角。 四、高考水平训练题 1 三棱柱 ABC-A1B1C1中， M 为 A1B1的中点， N 为 B1C 与 BC1的交点， 平面 AMN 交 B1C1于 P， 则 1 1 PC PB =_. 2.空间四边形 ABCD 中，AD=1，BC=，且 ADBC，BD=，AC=，则 AC 与 BD 所成的3 2 13 2 3 角为_. 3 平面平面， =直线 AB， 点 C， 点 D， BAC=450， BAD=600， 且 C

19、DAB， 则直线 AB 与平面 ACD 所成的角为_. 4单位正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 ABD1B1大小为_. 5如图 12-13 所示，平行四边形 ABCD 的顶点 A 在二面角MN的棱 MN 上，点 B，C，D 都在上，且 AB=2AD，DAN=450，BAD=600，若ABCD 在半平面上射影为为菜，则二面 角MN=_. 6 已知异面直线 a,b 成角为， 点 M， A 在 a 上， 点 N， B 在 b 上， MN 为公垂线， 且 MN=d， MA=m， NB=n。 则 AB 的长度为_. 7已知正三棱锥 SABC 侧棱长为 4，ASB=450，过点 A 作截面与侧棱

20、 SB，SC 分别交于 M，N， 则截面AMN 周长的最小值为_. 8 l1与 l2为两条异面直线， l1上两点 A， B 到 l2的距离分别为 a,b， 二面角 Al2B 大小为， 则 l1与 l2之间的距离为_. 9 在半径为 R 的球 O 上一点 P 引三条两两垂直的弦 PA， PB， PC， 则 PA2+PB2+PC2=_. 10过ABC 的顶点向平面引垂线 AA1，BB1，CC1，点 A1，B1，C1，则BAC 与B1A1C1 的大小关系是_. 11三棱锥 ABCD 中ACB=ADB=900，ABC=600，BAD=450，二面角 ACDB 为直角二 面角。 （1）求直线 AC 与平

21、面 ABD 所成的角；（2）若 M 为 BC 中点，E 为 BD 中点，求 AM 与 CE 所成的角；（3）二面角 MAEB 的大小。 12四棱锥 PABCD 底面是边长为 4 的正方形，PD底面 ABCD，PD=6，M，N 分别是 PB，AB 的中点， （1）求二面角 MDNC 的大小；（2）求异面直线 CD 与 MN 的距离。 13三棱锥 SABC 中，侧棱 SA，SB，SC 两两互相垂直，M 为ABC 的重心，D 为 AB 中点，作 与 SC 平行的直线 DP，证明：（1）DP 与 SM 相交；（2）设 DP 与 SM 的交点为，则为三DD 棱锥 SABC 外接球球心。 五、联赛一试水平

22、训练题 1现有边长分别为 3，4，5 的三角形两个，边长分别为 4，5，的三角形四个，边长分41 别为，4，5 的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_个四面体。2 6 5 2一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这两个多面体的 内切球的半径之比是一个既约分数，那么 mn=_。 n m 3已知三个平面，每两个平面之间的夹角都是，且=a, 2 0 ，命题甲：；命题乙：a,b,c 相交于一点。则甲是乙的_cb, 3 条件。 4棱锥 MABCD 的底面是正方形，且 MAAB，如果AMD 的面积为 1，则能放入这个棱锥的 最大球的半径为_. 5将给定的两个全等的正三棱锥

23、的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体， 并且该六面体的最短棱长为 2，则最远两个顶点间距离为_。 6空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线，那么与 a,b,c 都相交的直线有_条。 7一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体棱长为 a，这个球的体积为_。 8由曲线 x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1，满足 x2+y216,x2+(y-2)24,x2+(y+2)24 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体 积为 V2，则_。 2 1 V V 9顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆围

24、上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，ABOB，垂足为 B，OHPB，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA 的中点，则当三棱 锥 CHPC 体积最大时，OB=_。 10是三个互相垂直的单位向量， 是过点O的一个平面，分别是A， B，OCOBOA, , CBA C 在上的射影，对任意的平面，由构成的集合为_。 222 OCOBOA 11设空间被分为 5 个不交的非空集合，证明：一定有一个平面，它至少与其中的四个集合 有公共点。 12在四面体 ABCD 中，BDC=900，D 到平面 ABC 的垂线的垂足 S 是ABC 的垂心，试证： (AB+BC+CA)26(AD2+BD2+CD2)，

25、并说明等号成立时是一个什么四面体？ 13过正四面体 ABCD 的高 AH 作一平面，与四面体的三个侧面交于三条直线，这三条直线与 四面体的底面夹角为，求 tan2+tan2+tan2之值。 六、联赛二试水平训练题 1能否在棱长为 1 的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为 1 的正四 面体？ 2P，Q 是正四面体 ABCD 内任意两点，求证：. 2 1 cosPAQ 3P，A，B，C，D 是空间五个不同的点，APB=BPC=CPD=DPA=，这里为已知锐角， 试确定APC+BPD 的最大值和最小值。 4空间是否存在有限点集 M，使得对 M 中的任意两点 A，B，可以在 M 中另取两点 C，D，使直 线 AB 和 CD 互相平行但不重合。 5四面体 ABCD 的四条高 AA1，BB1，CC1，DD1相交于 H 点（A1，B1，C1，D1分别为垂足） 。三条 高上的内点 A2，B2，C2满足 AA2：AA=BB2：B2B1=CC2：C2C1=2：1。证明：H，A2，B2，C2，D1在 同一个球面上。 6设平面，与四面体 ABCD 的外接球面分别切于点 A，B，C，D。证明：如果平 面与的交线与直线 CD 共面，则与的交线与直线 AB 共面。