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1、第十四章 极限与导数 一、基础知识 1极限定义 ： （1）若数列un满足，对任意给定的正数，总存在正数 m，当 nm 且 nN 时， 恒有|un-A|f(a)且 f(c)=m，则 c(a,b)，且 f(c)为最大值，故，综上0)( cf 得证。 14Lagrange 中值定理：若 f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在(a,b)，使 . )()( )( ab afbf f 证明 令 F(x)=f(x)-,则 F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且)( )()( ax ab afbf F(a)=F(b)，所以由 13 知存在(a,b)使=0，即)( F. )()( )( ab
2、 afbf f 15曲线凸性的充分条件：设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数， （1）如果对任意 xI, ,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的 ； （2） 如果对任意 xI,则 y=f(x)在 I0)( xf0)( xf 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。 16琴生不等式 ： 设1,2,nR+，1+2+n=1。 （1）若 f(x)是a,b上的凸函数， 则 x1,x2,xna,b有 f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn). 二、方法与例题 1极限的求法。 例 1 求下列极限：（1）；（2）；（3） 222 21 lim n
3、 n nn n )0( 1 lim a a a n n n ；（4） nnnn n222 1 2 1 1 1 lim).1(limnnn n 解（1）=； 222 21 lim n n nn n 2 2 ) 1( lim n nn n 2 1 2 2 2 1 lim n n （2）当 a1 时， . 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 lim n n n n n n n aa a a 当 00 且)。)1ln( 2 xxy 2 1 x 解 （1）3cos(3x+1).)13() 13cos(xxy (2) 2 22 )()35()35( x xxxxxxxx y 2 2 35 2
4、1 310 x xxxx x x . 2 1 5 3 x （3）.2sin2)2()2sin(2cos)2(cos 2cos2cos xexxxexey xx （4） 1 11 1 )1( 1 1 22 2 2 x x xx xx xx y . 1 1 2 x （5）)21ln()21( )21ln()21ln( xxeexy xxxxx . 21 2 )21ln()21 ( x x xx x 5用导数讨论函数的单调性。 例 6 设 a0，求函数 f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的单调区间。x 解 ，因为 x0,a0，所以x2+(2a-4)x+a20；)0( 1 2 1 )( x ax
5、x xf 0)( xf x2+(2a-4)x+a+1 时， 对所有 x0， 有 x2+(2a-4)x+a20， 即(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增 ； （2） f 当 a=1 时，对 x1,有 x2+(2a-4)x+a20，即，所以 f(x)在（0，1）内单调递增，0)( xf 在（1，+）内递增，又 f(x)在 x=1 处连续，因此 f(x)在(0,+)内递增 ； （3）当 00， 解得x2-a+， 因此， f(x)在(0,2-0)( xfa12a12 a-)内单调递增，在(2-a+,+)内也单调递增，而当 2-a-2x.) 2 , 0( x 证 明 设f(x)=sinx+tanx-
6、2x， 则=cosx+sec2x-2， 当时 ，)( xf) 2 , 0( x （因为0f(0)=0，即 sinx+tanx2x. 2 , 0 7.利用导数讨论极值。 例 8 设 f(x)=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值，试求 a 与 b 的值，并指出这时 f(x) 在 x1与 x2处是取得极大值还是极小值。 解 因为 f(x)在(0,+)上连续，可导，又 f(x)在 x1=1，x2=2 处取得极值，所以 ，又+2bx+1，所以解得0)2( ) 1 ( ff x a xf)( , 014 2 , 012 b a ba . 6 1 , 3 2 b a 所以. x
7、xx x x xfxxxxf 3 )2)(1( 1 3 1 3 2 )( , 6 1 ln 3 2 )( 2 所以当 x(0,1)时，所以 f(x)在(0,1上递减；0)( xf 当 x(1,2)时，所以 f(x)在1，2上递增；0)( xf 当 x(2,+)时，所以 f(x)在2，+）上递减。0)( xf 综上可知 f(x)在 x1=1 处取得极小值，在 x2=2 处取得极大值。 例 9 设 x0,y0,1，试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。 解 首先，当 x0,y0,1时， f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x
8、=(1-y)2x=(1-y)2x x x y y xy xysin )1 ( 12 )1 ( )1sin( 2 ，令 g(x)=, x x y y x x xy xysin )1 ( sin )1 ( )1sin( 2 2 x xsin ), 2 ( )tan(cos )( 2 x x xxx xg 当时，因为 cosx0,tanxx，所以； 2 , 0 x0)( xg 当时，因为 cosx0，所以； , 2 x0)( xg 又因为 g(x)在(0,)上连续，所以 g(x)在(0,)上单调递减。 又因为 0g(x)，即，0 sin )1 ( )1sin( x x xy xy 又因为，所以当 x
9、(0,),y(0,1)时，f(x,y)0.0 sin )1 ( 2 2 x x y y 其次，当 x=0 时，f(x,y)=0；当 x=时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0. 当 y=1 时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当 y=1 时，f(x,y)=sinx0. 综上，当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=且 y=1 时，f(x,y)取最小值 0。 三、基础训练题 1=_. nn nn n 32 32 lim 11 2已知，则 a-b=_.2 1 1 lim 2 ban n n n 3_. 223 143 lim ) 1(2 cos1 lim 2 3 2 3 xx xx
10、n n nn 4_. 2 1 1 ) 1( ) 1( lim x nxnxn x 5计算_. )11(lim ) 1(2 lim 22 xx n x n n 6若 f(x)是定义在(-,+)上的偶函数，且存在，则_.)0( f)0( f 7函数 f(x)在(-,+)上可导，且，则_.1)2( f h hfhf h 2 )2()2( lim 0 8若曲线 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0，则点 P 坐标为_. 9函数 f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是_. 10函数的导数为_. 2 2 1 1 ln)( x x xf 11若曲线在点处的切线的斜率为，求实数
11、a. 22 )( 1 axx y ) 4 1 , 2(M 4 1 12.求 sin290的近似值。 13设 00 时，比较大小：ln(x+1) _x. 9.函数 f(x)=x5-5x4+5x3+1,x-1,2的最大值为_，最小值为_. 10 曲线y=e-x(x0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、 y轴所围成的三角形面积为S(t)， 则S(t) 的最大值为_. 11若 x0，求证：(x2-1)lnx(x-1)2. 12函数 y=f(x)在区间(0,+)内可导。导函数是减函数，且0，x0(0,+)( xf)( xf ).y=kx+m 是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程，另
12、设 g(x)=kx+m， （1）用 x0,f(x0), 表示m； （2） 证明 ： 当x(0,+)时， g(x)f(x)； （3） 若关于x的不等式x2+1ax+b)( 0 xf 在(0,+)上恒成立，其中 a,b 为实数，求 b 的取值范围及 a,b 所满足的关系。 3 2 2 3 x 13.设各项为正的无穷数列xn满足 lnxn+,证明：xn1(nN+).)( 1 1 1 Nn xn 五、联赛一试水平训练题 1设 Mn=（十进制）n 位纯小数 0只取 0 或 1（i=1,2,n-1） ，an=1，Tn in aaaa| 21 是 Mn中元素的个数，Sn是 Mn中所有元素的和，则_. n n n T S lim 2若(1-2x)9展开式的第 3 项为 288，则_. n n xxx 111 lim 2 3设 f(x),g(x)分别是定义在 R R 上的奇函数和偶函数，当 x0)， 若对任意 xln(3a),ln(4a)， 不等式|m-f-1(x)|+ln1.