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1、1.1.3 四种命题间的相互关系,（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.,你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？,观察与分析,那么它们的真假性是否也有一定的关系呢？,真,假,假,真,互逆命题有： 互否命题有： 互为逆否命题有：,(1)(2); (3)(4),(1)(3); (2)(4),(1)(4); (2)(3),写出命题“到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真
2、假.,逆命题: 角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等. 否命题: 到一个角的两边距离不相等的点, 都不在这个 角的平分线上. 逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边 距离不相等.,原命题：真命题,逆命题：真命题,否命题：真命题,逆否命题：真命题,写出命题“两个三角形全等,则它们的面积相等”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.,逆命题:两个三角形的面积相等，则它们全等. 否命题:两个三角形不全等，则它们的面积不相等. 逆否命题:两个三角形的面积不相等，则它们不全等.,原命题：真命题,逆命题：假命题,否命题：假命题,逆否命题：真命题,写出命题“相等的角是对顶角”的逆命题，
3、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.,逆命题: 对顶角相等. 否命题: 不相等的角不是对顶角. 逆否命题: 不是对顶角就不相等.,原命题：假命题,逆命题：真命题,否命题：真命题,逆否命题：假命题,从三个探究可发现什么规律？你能总结出来吗？,原命题 若p,则q,逆命题 若q,则p,否命题 若 p,则 q,逆否命题 若 q,则p,互为逆否,互为逆否,四种命题的相互关系,结论一：,(1)两个命题互为逆否命题，则它们有相同真假性。,(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.,结论二：,四种命题的真假性,互否,互为逆否,互逆,练习1,写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题
4、的真假.,若ac2bc2，则ab,若a b，则ac2bc2,若ac2bc2，则ab,假,假,真,真,练习2,若x2-3x+2=0，则x=1或x=2.,若x2-3x+2 0，则x 1且x 2.,若x 1且x 2 则 x2-3x+2 0,真,真,真,真,（3）原命题：若x2y20，则x=y=0,逆命题：,否命题：,逆否命题：,若x=y =0，则 x2y2 0,若x2y20，则x 0 或y0,若x 0 或y 0，则x2y2 0,真,真,真,真,分析：,如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明. 即证明,证明：若x2+y2=0，则x=y=0.,“若x 0 或y 0，则x2y2 0
5、”,证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x0， 则x20，所以x2+y2 0，即有x2+y2 0. 因此，原命题的逆否命题为真命题， 从而原命题为真命题,这种解法叫做正难则反。,习题解答,1. 证明：若a-b=1,则 a2-b2+2a-4b-3 =(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3 =a-b-1 =0 所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原 命题也是真命题.,练习1：P8 练习,证明：若p2 q2 2，则p q 2,练习2,证明：若pq 2，则 p2q2 （p q）2（p q）2 （p q）2 所以p2 q22 这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.,在数学的证明
6、中，我们会常常用到一种方法 反证法.,通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论,此处是命题的否定，要区别于否命题.,反证法的一般步骤：,（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立; （2）从这个假设出发 , 经过推理论证 , 得出矛盾; （3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命题的结论正确,若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.,证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 a能被2整除.,练习,
7、1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A3 B2 C1 D0,C,解析：原命题是真命题，则逆否命题也是真命题；否命题是假命题，则逆命题也是假命题.,2. （2001江西、山西、天津文、理）在空间中， 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线 以上两个命题中，逆命题为真命题的是 （把符合要求的命题序号都填上）,设原命题：若a+b 2，则 中至少有一个不小于，则原命题与其逆命题的真假情况是（ ） A原命题真，逆命题假 B原命题假，逆命题真 C原命题与逆命题
8、均为真命题 D原命题与逆命题均为假命题,A,4. 命题“若ab则acbc”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A4 B3 C2 D0,D,5. 命题“已知a，b为实数，若x2axb0有非空解集，则a24b0”写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假,逆否命题：若a-4b0，则x+ax+b0解集为空集。,逆命题：若a-4b0，则x+ax+b0有非空解集；,否命题：若x+ax+b0解集为空集，则a-4b0 ；,真,真,真,6. 求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等.,证明：如果一个三角形的两边所对的角相等， 则这个三角形
9、是等腰三角形， 且这两条边是等腰三角形的两条腰， 也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题 所以原命题也是真命题.,课堂小结,1. 四种命题的相互关系：,2. 四种命题的真假性：,(1)两个命题互为逆否命题，则它们有相同真假性。,(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.,作业,习题. B组 第1题,【教学目标】 知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假 过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力 情感态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力 【重点与难点】 重点：四种命题之间的相互关系 难点：分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假,6. 设0a,b,c1 , 求证:（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a 不同时大于 .,证明：假设（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a都大于 即（1-a）b ， （1-b）c ,（1-c）a 而 得 即 ，属于自相矛盾， 所以假设不成立，原命题成立.,