《2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第二章 2．2 排序不等式含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第二章 2．2 排序不等式含解析.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、22排序不等式 对应学生用书P31 读教材填要点 1顺序和、乱序和、反序和的概念 设 a1a2a3an，b1b2b3bn是两组实数，c1，c2，c3，cn为 b1， b2，bn的任何一个排列，称 a1b1a2b2anbn 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称 a1bna2bn1anb1 为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称 a1c1a2c2ancn 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和) 2排序原理 设 a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是 b1，b2，bn的任 一排列，则有 a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn. 等
2、号成立a1a2an或 b1b2bn. 排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和 小问题大思维 1排序不等式的本质含义是什么？ 提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两 乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中 一序列为常数序列 2 已知两组数 a1a2a3a4a5， b1b2b3b4b5， 其中 a12， a27， a38， a49， a512， b13， b24， b36， b410， b511， 将 bi(i1,2,3,4,5)重新排列记为 c1， c2， c3， c4， c5， 则 a1c1a2c2a5c5的最大
3、值和最小值分别为何值？ 提示：由顺序和最大知 最大值为：a1b1a2b2a3b3a4b4a5b5304， 由反序和最小知 最小值为：a1b5a2b4a3b3a4b2a5b1212. 对应学生用书P31 用排序不等式证明不等式(所证不等式中的字母大小顺序确定) 例 1 已知 a，b，c 为正数，abc，求证： (1)； 1 bc 1 ca 1 ab (2) . a5 b3c3 b5 c3a3 c5 a3b3 1 a 1 b 1 c 思路点拨 本题考查排序不等式的直接应用，解答本题需要分析式子结构，然后通过 对比、联想公式，构造数组，利用公式求解 精解详析 (1)ab0，于是 ， 1 a 1 b
4、又 c0， 0.从而. 1 c 1 bc 1 ca 同理，bc0，于是 ， 1 b 1 c a0， 0，于是得. 1 a 1 ca 1 ab 从而. 1 bc 1 ca 1 ab (2)由(1)，于是由顺序和乱序和得， 1 bc 1 ca 1 ab a5 b3c3 b5 c3a3 c5 a3b3 b5 b3c3 c5 c3a3 a5 a3b3 b2 c3 c2 a3 a2 b3( a2 b2 c2， 1 c3 1 b3 1 a3) . c2 c3 a2 a3 b2 b3 1 c 1 a 1 b 1 a 1 b 1 c 利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组，
5、 由于本题已知 abc，所以可直接利用已知构造两个数组 1设 a，b，c 为正数，求证：a10b10c10. a12 bc b12 ac c12 ab 证明：不妨设 abc0， 则 a12b12c12，0， 1 bc 1 ac 1 ab 由顺序和乱序和，得 . a12 bc b12 ac c12 ab a12 ab b12 bc c12 ac a11 b b11 c c11 a 又a11b11c11， ， 1 c 1 b 1 a 由乱序和反序和得： a10b10c10， a11 b b11 c c11 a a11 a b11 b c11 c 由两式得：a10b10c10. a12 bc b12
6、 ac c12 ab 用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作 出假设) 例 2 设 x0，求证：1xx2xn(2n1)xn. 思路点拨 本题考查排序不等式的应用解答本题需要注意：题目中只给出了 x0， 但对于 x1，xxx2xn， 但仍然成立，于是也成立 综合(1)(2)，证毕 在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有 具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体情况分类讨论 2设 a1，a2，an是 1,2，n 的一个排列，求证： . 1 2 2 3 n1 n a1 a2 a2 a3 an1 an 证明：设 b1，b2，bn
7、1是 a1，a2，an1的一个排列，且 b1 且 b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n. 1 c1 1 c2 1 cn1 利用排序不等式，有 a1 a2 a2 a3 an1 an b1 c1 b2 c2 bn1 cn1 1 2 2 3 . n1 n 原不等式成立 对 应 学 生 用 书 P32 一、选择题 1 锐角三角形中， 设 P， Qacos Cbcos Bccos A， 则 P、 Q 的关系为( ) abc 2 APQ BPQ CPQ D不能确定 解析：不妨设 ABC， 则 abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有 Qacos Cbcos Bccos Aa
8、cos Bbcos Cccos A R(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A) Rsin(AB)sin(BC)sin(AC) R(sin Csin Asin B)P. abc 2 答案：C 2已知 a，b，c 为正数，P，Qabc，则 P，Q 的大小关系是( ) b2c2c2a2a2b2 abc APQ BPQ CP0， 则 00，abc0， 于是abc，即 PQ. b2c2c2a2a2b2 abc 答案：B 3设 a1，a2，a3为正数，E，Fa1a2a3，则 E，F 的关系是( ) a1a2 a3 a2a3 a1 a1a3 a2 AEF 解析：不妨设 a1a2
9、a30，于是 0 ， ， ， 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 0， 3n1 3n2 3n 3n1 3n1 3n 所以 ABC0.所以 A3ABC. 由题意知 3n261，所以 n21. 又因为 ABC3n164，所以 A4. 答案：C 二、填空题 5若 a，b，c 均是正实数，则_abc. bc a ca b ab c 解析：不妨设 abc0，则 bccaab， . 1 a 1 b 1 c abc. bc a ca b ab c ac c ab a bc b 答案： 6设正实数 a1，a2，an的任一排列为 a1，a2，an，则 a1 a1 a2 a2
10、 的最小值为_ an an 解析：不妨设 00，则 a2b2c2， . 1 c 1 b 1 a 由排序不等式，可得 a2 b2 c2 a2 b2 c2 ， 1 c 1 a 1 b 1 a 1 b 1 c a2 b2 c2 a2 b2 c2 . 1 b 1 c 1 a 1 a 1 b 1 c 由()2，可得 abc. a2b2 2c b2c2 2a c2a2 2b 又因为 abc0，所以 a3b3c3，. 1 bc 1 ac 1 ab 由排序不等式，得 a3b3c3a3b3c3. 1 bc 1 ca 1 ab 1 ac 1 ab 1 bc a3b3c3a3b3c3. 1 bc 1 ca 1 ab
11、 1 ab 1 bc 1 ca 由()2，可得 . a3 bc b3 ca c3 ab a2b2 2c b2c2 2a c2a2 2b 综上可知原式成立 10设 a，b，c 均为正实数，求证： . 1 a 1 b 1 c a8b8c8 a3b3c3 证明：不妨设 abc0. 由不等式的单调性，知 ， 1 c 1 b 1 a 而. 1 b3c3 1 c3a3 1 a3b3 由不等式的性质，知 a5b5c5. 根据排序原理，知 a5 b3c3 b5 c3a3 c5 a3b3 a5 c3a3 b5 a3b3 c5 b3c3 . a2 c3 b2 a3 c2 b3 又由不等式的性质，知 a2b2c2，
12、 . 1 c3 1 b3 1 a3 由排序原理，得 . a2 c3 b2 a3 c2 b3 a2 a3 b2 b3 c2 c3 1 a 1 b 1 c 由不等式的传递性，知 . 1 a 1 b 1 c a5 b3c3 b5 c3a3 c5 a3b3 a8b8c8 a3b3c3 原不等式成立 11设 a，b，c 为某一个三角形的三条边，abc，求证： (1)c(abc)b(cab)a(bca)； (2)a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc. 证明：(1)用比较法： c(abc)b(cab) acbcc2bcabb2 b2c2acab (bc)(bc)a(bc) (bca)(bc)
13、因为 bc，bca0， 于是 c(abc)b(cab)0， 即 c(abc)b(cab) 同理可证 b(cab)a(bca) 综合，证毕 (2)由题设及(1)知 abc，a(bca)b(cab)c(abc)， 于是由排序不等式：反序和乱序和，得 a2(bca)b2(cab)c2(abc) ab(bca)bc(cab)ca(abc) 3abcab(ba)bc(cb)ca(ac) 再一次由反序和乱序和，得 a2(bca)b2(cab)c2(abc) ac(bca)ba(cab)cb(abc) 3abcac(ca)ab(ab)bc(bc) 将和相加再除以 2，得 a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.