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1、第 62 课 等 比 数 列 1. 等比数列的概念(B 级要求). 2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式(C 级要求). 3. 根据具体的问题情境中的等比关系解决相应的问题(B 级要求). 4. 等比数列与指数函数的关系(A 级要求). 1. 阅读：必修 5 第 4962 页. 2. 解悟：理解等比数列、等比中项的定义及符号语言；写出等比数列的常用性质； 体会课本中推出等比数列通项公式和求和公式的方法. 3. 践习：在教材空白处，完成第 61、62 页习题第 3、4、5、9 题. 基础诊断 1. 已知数列an为正项等比数列， a29， a44， 则数列an的通项公式为 an 9( )n
2、2 3 2 . 解析：设等比数列an的公比为 q，则 q2 .又因为 q0，所以 q ，所以 an9 a4 a2 4 9 2 3 . ( 2 3) n2 2. 已知等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若 S22a23， S32a33， 则公比 q 的值为 2 . 解析 ： 因为 S22a23， S32a33， 所以 a1a1q3， a1(1q)a1q23， 所以 q22q0. 因为 q0，所以 q2. 3. 若等比数列an的通项公式为 an431n，则数列an是 递减 数列.(填“递增” 或“递减”) 解析：因为对nN*，an0， 1，所以 an1an，所以数列an是 an1 an 4 3n
3、 4 31n 1 3 递减数列. 4. 设an是等比数列，下列四个命题中正确的命题是 .(填序号) a 是等比数列；anan1是等比数列； 2 n 是等比数列；lg|an|是等比数列. 1 an 解析 ： 因为an是等比数列， 所以q(q 为定值). q2， 故正确 ； an an1 a a ( an an1) 2 anan1 an1an q2，故正确； ，故正确；不一定是常数，故不正确. an1 an1 1 an 1 an1 an1 an 1 q lg|an| lg|an1| 范例导航 考向 等比数列基本量的计算 例1 设an是由正数组成的等比数列， Sn为其前n项和.已知a2a41， S3
4、7， 则S5 . 31 4 解析 ： 显然公比 q1， 由题意得解得或(舍去)， 所以 S5 a1qa1q31， a1（1q3） 1q 7，) a14， q1 2) a19， q1 3) . a1（1q5） 1q 4 (1 1 25) 11 2 31 4 等比数列an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，已知 S3 ，S6，则 a8 32 . 7 4 63 4 解析：设数列an的公比为 q(q1)， 则由题意得解得所以 a8a1q7 2732. S3a 1（1q3） 1q 7 4， S6a 1（1q6） 1q 63 4 ，) a11 4， q2，) 1 4 【注】 等比数列基本量的计算是等比
5、数列中的一类基本问题， 数列中有五个量 a1， n， q， an，Sn，一般可以“知三求二” ，通过列方程(组)可迎刃而解. 考向 等比数列的判定与证明 例 2 设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，Sn14an2. (1) 设 bnan12an，证明：数列bn是等比数列； (2) 求数列an的通项公式. 解析 ： (1) 由 a11 及 Sn14an2， 得 a1a2S24a12， 所以 a25， 所以 b1a22a1 3. 又Error! Sn14an2， Sn4an12（n 2），) 由，得 an14an4an1(n2)， 所以 an12an2(an2an1)(n2). 因为
6、bnan12an，所以 bn2bn1(n2)， 故数列bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列. (2) 由(1)知 bnan12an32n1， 所以 ， an1 2n1 an 2n 3 4 故数列是首项为 ，公差为 的等差数列， an 2n 1 2 3 4 所以 (n1) ， an 2n 1 2 3 4 3n1 4 故 an(3n1)2n2. 已知数列an的前 n 项和 Sn1an，其中 0. (1) 证明：an是等比数列，并求其通项公式； (2) 若 S5，求的值. 31 32 解析：(1) 由题意得 a1S11a1， 所以 a1，1，a10. 1 1 由 Sn1an，Sn11an1，得
7、an1an1an，即(1)an1an. 由 a10，0 得 an0， 所以， an1 an 1 因此an是首项为，公比为的等比数列， 1 1 1 所以 an. 1 1( 1) n1 (2) 由(1)得 Sn1. ( 1) n 由 S5得 1，即， 31 32 ( 1) 5 31 32 ( 1) 5 1 32 解得 1. 【注】 (1) 证明一个数列为等比数列常用定义法(作比代入得结论)与等比中项法， 其他方法只用于填空题中的判定 ； 若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不 成等比数列即可. (2) 利用递推关系时要注意对 n1 时的情况进行验证. 考向 等比数列性质的应用 例 3
8、设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q(q1)的等比数列，记 cnanbn. (1) 求证：数列cn1cnd为等比数列； (2) 已知数列cn的前 4 项分别为 4，10，19，34，求数列an和bn的通项公式. 解析 ： (1) 由题意得 cn1cnd(an1bn1)(anbn)d(an1an)d(bn1bn) bn(q1)0， 所以q. cn2cn1d cn1cnd bn1（q1） bn（q1） 因为 c2c1db1(q1)0， 所以cn1cnd是首项为 b1(q1)，公比为 q 的等比数列. (2) 方法一：由题意得数列cn1cnd的前 3 项分别为 6d，9d，15d， 则(
9、9d)2(6d)(15d)，解得 d3， 所以 q2. 又因为解得 a11，b13， a1b14， a132b110，) 所以 an3n2，bn32n1. 方法二：由题意得 a1b14， a1db1q10， a12db1q219， a13db1q334，) 消去 a1得 db1qb16， db1q2b1q9， db1q3b1q215，) 消去 d 得 b1q22b1qb13， b1q32b1q2b1q6，) 消去 b1得 q2， 从而解得 a11，b13，d3， 所以 an3n2，bn32n1. 设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 ，则 . S6 S3 1 2 S9 S3 3 4 解析：
10、方法一：因为 S6S312，所以数列an的公比 q1.由 a1（1q6） 1q a1（1q3） 1q ，得 q3 ，所以 . 1 2 1 2 S9 S3 1q9 1q3 3 4 方法二：因为an是等比数列，且 ，所以公比 q1，所以 S3，S6S3，S9S6 S6 S3 1 2 也成等比数列，即(S6S3)2S3(S9S6)，将 S6 S3代入得 . 1 2 S9 S3 3 4 【注】 (1) 在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前 n 项和公式，建立 方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若 mnpq，则有 amanapaq” ，可以 减少运算量. (2) 等比数列的项经过适
11、当的组合后构成的新数列也具有某种性质， 例如数列 Sk， S2k Sk，S3kS2k，成等比数列，公比为 qk(q1). 自测反馈 1. 设等比数列an满足 a1a21，a1a33，则 a4 8 . 解析：设数列an的公比为 q，由题意得显然 q1，a10，由 a1a1q1 ， a1a1q23 ，) 得 1q3，即 q2，代入式可得 a11，所以 a4a1q31(2)38. 2. 设等比数列an满足 a1a310，a2a45，则 a1a2an的最大值为 64 . 解析：设等比数列an的公比为 q，由题意得 解得所以 a1a2ana q12(n1)2.记 t a1a1q210， a1qa1q35
12、，) a18， q1 2，) n 1 n2 2 7n 2 n2 2 7n 2 (n27n)，结合 nN*，可知当 n3 或 4 时，t 有最大值 6.又 y2t为增函数，所以 1 2 a1a2an的最大值为 64. 3. 若等比数列an的各项均为正数，且 a10a11a9a122e5，则 ln a1ln a2ln a20 50 . 解析 ： 因为an是等比数列， 所以 a10a11a9a122a10a112e5， 所以 a10a11e5， 所以 lna1 lna2 lna20 ln(a1a2a20) ln(a1a20)(a2a19)(a10a11) ln(a10a11)10 10ln(a10a
13、11) 10lne550lne50. 4. 设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S23，S415，则 S6的值为 63 . 解析：方法一：由等比数列的性质，得 q24，所以 q2.又因为 S23，所以 S4S2 S2 或所 以S6 63 或S6 q2， a11) q2， a13，) a1（1q6） 1q 1 （126） 12 a1（1q6） 1q 63，即 S663. （3） 1（2）6 1（2） 方法二 ： 由 S2， S4S2， S6S4成等比数列可得(S4S2)2S2(S6S4)， 即(153)23(S6 15)，解得 S663. 1. 等比数列的通项公式与前 n 项和公式中的五个基本量：a1，q，n，an，Sn，知三求二. 2. 等比数列是一种特殊的数列，要注意和等差数列类比学习，但也要注意区别. 3. 你还有那些体悟，写下来：