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1、第 65 课 通项与求和(2) 1. 等差、等比数列的前 n 项和公式(C 级要求). 2. 非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法(B 级要求). 1. 阅读：必修 5 第 4244 页、第 5557 页. 2. 解悟：等差数列和等比数列求和公式形式的联系与区别；体会课本中推出等差数列 和等比数列求和公式的方法；整理数列求和的常用方法. 3. 践习：在教材空白处，完成第 47 页第 1 题(4)、第 57 页第 4 题(2)、第 62 页第 12 题. 基础诊断 1. 设公比不为 1 的等比数列an满足 a1a2a3 ， 且 a2， a4， a3成等差数列， 则数列an 1 8 的前 4
2、项和为 . 5 8 解析 ： 设等比数列an的公比为q.因为a2， a4， a3成等差数列， 所以2a4a2a3， 所以2a2q2 a2a2q， 化为2q2q10(q1)， 解得q .因为a1a2a3 ， 所以a q3 ， 解得a11， 1 2 1 8 3 1 1 8 所以数列an的前 4 项和为 . 1(1 2) 4 1(1 2) 5 8 2. 在数列an中，an，若数列an的前 n 项和 Sn，则 n 2 017 . 1 n（n1） 2 017 2 018 解析：因为 an ，所以 Sna1a2an1 1 n（n1） 1 n 1 n1 1 2 1 2 1 3 1 n 1，所以，解得 n2
3、017. 1 n1 1 n1 n n1 n n1 2 017 2 018 3. 若数列an的通项公式为 an2n2n1， 则数列an的前 n 项和 Sn 2n12n2 . 解析：Sn2n12n2. 2（12n） 12 n（12n1） 2 4. 数列的前 n 项和 Tn 3 . （n1）( 1 2) n n3 2n 解析 ： 由 an(n1)， 得 Tn2 34(n1)， Tn2 ( 1 2) n 1 2 ( 1 2) 2 ( 1 2) 3 ( 1 2) n 1 2 34(n1)，由得 Tn1(n ( 1 2) 2 ( 1 2) 3 ( 1 2) 4 ( 1 2) n1 1 2 ( 1 2) 2
4、 ( 1 2) 3 ( 1 2) n 1)1(n1) ，所以 Tn3. ( 1 2) n1 1 41( 1 2) n1 11 2 ( 1 2) n1 3 2 n3 2n1 n3 2n 范例导航 考向 分组求和法 例 1 已知数列an的前 n 项和 Sn，nN*. n2n 2 (1) 求数列an的通项公式； (2) 设 bn2an(1)nan，求数列bn的前 2n 项和. 解析：(1) 当 n1 时，a1S11； 当 n2 时，anSnSn1n. n2n 2 （n1）2（n1） 2 因为 a11 满足上式， 故数列an的通项公式为 ann. (2) 由(1)知 ann，故 bn2n(1)nn.
5、记数列bn的前 2n 项和为 T2n， 则 T2n(212222n)(12342n). 记 A212222n，B12342n， 则 A22n12， 2（122n） 12 B(12)(34)(2n1)2nn. 故数列bn的前 2n 项和 T2n22n1n2. 已知数列an的通项公式 an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3， 求其前 n 项和 Sn. 解析：Sn2(133n1)111(1)n(ln2ln3)123 (1)nnln3. 当 n 为偶数时， Sn2 ln33n ln31； 13n 13 n 2 n 2 当 n 为奇数时， Sn2(ln2ln3)ln3 13n 13
6、( n1 2 n) 3nln3ln21. n1 2 综上所述，Sn 3nn 2ln31， n为偶数， 3nn1 2 ln 3ln21， n为奇数.) 【注】 分组转化法求和的常见类型： (1) 若 anbncn， 且bn， cn为等差或等比数列， 可采用分组求和法求数列an的前 n 项和. (2) 通项公式为 an的数列， 其中数列bn， cn是等比数列或等差数列， bn，n为奇数， cn， n为偶数) 可采用分组求和法求和. (3) 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列 的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论. 考向 错位相减法求和 例 2 已知an为等
7、差数列，前 n 项和为 Sn(nN*)，bn是首项为 2 的等比数列，且公比大 于 0，b2b312，b3a42a1，S1111b4. (1) 求an和bn的通项公式； (2) 求数列a2nb2n1的前 n 项和(nN*). 解析：(1) 设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q. 由 b2b312，得 b1(qq2)12. 因为 b12，所以 q2q60. 又因为 q0，所以 q2，所以 bn2n. 由 b3a42a1，可得 3da18， 由 S1111b4，可得 a15d16. 联立，解得 a11，d3， 所以 an3n2. 所以数列an的通项公式为 an3n2，数列bn的通项
8、公式为 bn2n. (2) 设数列a2nb2n1的前 n 项和为 Tn. 由 a2n6n2，b2n124n1，得 a2nb2n1(3n1)4n， 故 Tn24542843(3n1)4n， 4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1， 上 述 两 式 相 减 得 3Tn 24 342 343 34n (3n 1)4n 1 4(3n1)4n1(3n2)4n18， 12 （14n） 14 所以 Tn4n1 ，所以数列a2nb2n1的前 n 项和为4n1 . 3n2 3 8 3 3n2 3 8 3 设等差数列an的公差为d， 前n项和为Sn， 等比数列bn的公比为q.已知b1a1， b22
9、， q d，S10100. (1) 求数列an，bn的通项公式； (2) 当 d1 时，cn，求数列cn的前 n 项和 Tn. an bn 解析：(1) 由题意得10a 110 9 2 d100， b1q2， ) 即解得或 2a19d20， a1d2，) a11， d2) a19， d2 9，) 所以 an2n1，bn2n1或 an (2n79)，bn9. 1 9 ( 2 9) n1 (2) 由 d1，知 an2n1，bn2n1，故 cn， 2n1 2n1 于是 Tn1 ， 3 2 5 22 7 23 9 24 2n1 2n1 Tn ， 1 2 1 2 3 22 5 23 7 24 9 25
10、2n1 2n 可得 Tn2 3， 1 2 1 2 1 22 1 2n2 2n1 2n 2n3 2n 所以 Tn6. 2n3 2n1 【注】 错位相减法求和时的注意点： (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列的公比为负数的情形； (2) 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确 写出“SnqSn”的表达式； (3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 考向 裂项相消法求和 例 3 已知数列bn的前 n 项和为 Tn，bn.证明：对任意的 nN*，都有 Tn. n1 4n2（n2）2 5 64 解
11、析：因为 bn， n1 4n2（n2）2 1 16 1 n2 1 （n2）2 所以 Tn1 1 16 1 32 1 22 1 42 1 32 1 52 1 （n1）2 1 （n1）2 1 n2 1 （n2）2 1， 1 16 1 22 1 （n1）2 1 （n2）2 1 16 (1 1 22) 5 64 故对任意的 nN*，都有 Tn. 5 64 已知函数 f(x)x的图象过点(4，2)，令 an，nN*.记数列an的前 n 项 1 f（n1）f（n） 和为 Sn，则 S2 017 1 .2 018 解析：由 f(4)2，可得 42，解得 ，所以 f(x)x ，所以 an 1 2 1 2 1
12、f（n1）f（n） ，所以 S2 017a1a2a3a2 017(1)()() 1 n1 n n1n23243 ()()1.2 0172 0162 0182 0172 018 【注】 (1) 用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如 ： ()， 1 n nk 1 k nkn ，裂项后可以产生连续相互抵消的项；(2) 抵消后并不一定只剩下第 1 n（nk） 1 k( 1 n 1 nk) 一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项. 自测反馈 1. 若数列an的通项公式为 anncos，其前 n 项和为 Sn，则 S2 017 1 008 . n 2 解析：因为 anncos，当 n2k1，
13、kN*时，ana2k1(2k1)cos0； n 2 （2k1） 2 当 n2k 时， ana2k2kcosk2k(1)k， 所以 S2 017(a1a3a2 017)(a2a4a2 016)0(2462 0142 016)1 008. 2. 若数列an的通项公式为 an(1)n1(4n3)，则它的前 100 项和 S100 200 . 解析：S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34) (99100)4(50)200. 3. 在等比数列an中，a1 ，a44，则数列a 的前 n 项和 Sn . 1 2 2 n 4n1 12 解析：因为 a4a1q34，a1 ，所以 q2，所以 an 2n12n2，所以 a 4n2， 1 2 1 2 2 n 所以数列a 是以 为首项，4 为公比的等比数列，所以 Sn. 2 n 1 4 1 4（14 n） 14 4n1 12 4. 1 . 1 1 2 1 2 3 1 n n1 n1 解析：原式(1)()()1.232n1nn1 1. 数列求和先看通项公式，根据通项公式的特点选择相应的方法. 2. 在利用等差、等比数列的求和公式时，要数清项数，公比如果是字母，需对它进行 分类讨论. 3. 你还有那些体悟，写下来：