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1、第 68 课 直线与平面平行 1. 了解直线与平面的位置关系. 2. 理解直线与平面平行的判定定理与性质定理. 1. 阅读：必修 2 第 3234 页. 2. 解悟：直线和平面的位置关系，注意直线与平面相交也称直线在平面外；读懂线面 平行的判定定理和性质定理. 3. 践习：在教材空白处，完成第 34 页练习第 1 题；第 35 页练习第 3、4 题. 基础诊断 1. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，若 E 是 DD1的中点，则 BD1与平面 ACE 的位置关系 为 平行 . 解析：如图，连结 AC，BD 交于点 O，连结 OE.因为 OEBD1，OE平面 ACE，BD1 平面 ACE，所
2、以 BD1平面 ACE. 2. 已知两条不重合的直线 a，b 和平面 . 若 a，b，则 ab； 若 a，b，则 ab； 若 ab，b，则 a； 若 ab，a，则 b 或 b. 上述命题中正确的是 .(填序号) 解析：若 a，b，则 a，b 平行或异面，故错误；若 a，b，则 a，b 平行、相交或异面，故错误；若 ab，b，则 a或 a，故错误；正确. 3. 过三棱柱 ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线共 有 6 条. 解析：如图，各中点连线中只有平面 EFGH 与平面 ABB1A1平行，即在四边形 EFGH 中有 6 条直线符合题意. 4. 下列命题
3、中正确的是 .(填序号) 若 a，b 是两条直线，且 ab，则 a 平行于经过 b 的任何平面； 若直线 a 和平面 满足 a，则 a 与 内的任何直线平行； 平行于同一条直线的两个平面平行； 若直线 a，b 和平面 满足 ab，a，ba，则 b. 解析：直线 a 可能在经过 b 的平面内，故错误；直线 a 还可以与平面 内的直线 异面，故错误 ； 平行于同一条直线的两个平面也可能相交， 故错误 ； 过直线 a 作平面 ， 交平面 于直线 c.因为 a， 所以 ac.因为 ab， 所以 bc.因为 b， 且 c， 所以 b， 故正确. 范例导航 考向 直线与平面平行的判定 例1 如图， 在正方
4、体ABCDA1B1C1D1中， 棱长为a， M， N分别为A1B和AC上的点， 且A1M ANa. 2 3 (1) 求证：MN平面 BB1C1C； (2) 求 MN 的长. 解析：(1) 作 MPAB，NQAB，分别交 BB1，BC 于点 P，Q，连结 PQ，由作图可 得 PMQN. 因为 A1Ma，得 PM a. 2 3 PM A1B1 BM BA1 2 3 同理 QN a，所以 PMQN，PMQN， 2 3 所以四边形 PQNM 是平行四边形， 所以 MNPQ. 因为 MN平面 BB1C1C，PQ平面 BB1C1C， 所以 MN平面 BB1C1C. (2) 因为 BPPM a，CQQN a
5、， 2 3 2 3 所以 BQ a， 1 3 所以在 RtPBQ 中，PQa， 5 3 所以 MNPQa. 5 3 【注】 这里证明线面平行，就是将直线 MN 平移到平面 BB1C1C 中，要注意体会平移 的方向和距离，构造的辅助面是哪一个. 如图， 在四棱锥 PABCD 中， ADBC， BC AD， E， F 分别为 AD， PC 的中点.求证 ： AP 1 2 平面 BEF. 解析：连结 EC，AC，AC 交 BE 于点 O，连结 OF. 因为 ADBC，BC AD， 1 2 所以 BCAE 且 BCAE， 所以四边形 ABCE 是平行四边形， 所以 O 为 AC 的中点. 因为 F 是
6、 PC 的中点，所以 FOAP. 因为 FO平面 BEF，AP平面 BEF， 所以 AP平面 BEF. 【注】 这里辅助线的由来，就是将点 C 视为投影中心，构造辅助面 CPA 找到了平面 内的那条“线”. 考向 直线与平面平行的判定和性质的综合运用 例 2 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为平行四边形， N 是 PB 的中点， 过 A， N， D 三点的平面交 PC 于点 M.求证： (1) PD平面 ANC； (2) M 是 PC 的中点. 解析：(1) 连结 BD，设 BDACO，连结 NO. 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 O 是 BD 的中点. 因为
7、N 是 PB 的中点， 所以 PDNO. 又 NO平面 ANC，PD平面 ANC， 所以 PD平面 ANC. (2) 因为底面 ABCD 为平行四边形， 所以 ADBC. 因为 BC平面 ADMN，AD平面 ADMN， 所以 BC平面 ADMN. 因为平面 PBC平面 ADMNMN， 所以 BCMN. 又 N 是 PB 的中点，所以 M 是 PC 的中点. 【注】 不论是用判定定理，还是用性质定理，目光要聚焦在辅助平面上，这样，要找 的“线”才能从复杂的背景图形中凸显出来 求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么该直线与这两个相交平面的交线平行. 解析：已知：a，a，且 b. 求证：ab.
8、证明：如图，在平面 内任取一点 A，且使 Ab. 因为 a，Aa， 故点 A 和直线 a 确定一个平面 ，设 m. 同理，在平面 内任取一点 B，且使 Bb， 则点 B 和直线 a 确定一个平面 ， 设n. 因为 a，a，m， 所以 am. 同理可得 an，所以 mn. 因为 m，n， 所以 m. 因为 m，b， 所以 mb. 因为 am，所以 ab. 自测反馈 1. 已知下列命题： 若直线 l 平行于平面内的无数条直线，则 l； 若直线 a 在平面 外，则 a； 若直线 ab，直线 b，则 a； 若直线 ab，b，则直线 a 平行于平面 内的无数条直线. 其中真命题的序号为 . 解析：因为直
9、线 l 与平面内无数条直线平行，l 可能在平面 内，故错误；直线 a 在平面 外包括两种情况，a 和 a 与平面 相交，故错误 ； 若直线 ab，b，则 a 可能在平面 内，故错误 ； 因为 ab，b，所以 a或 a，所以 a 平行于平面 内的无数条直线，故正确. 2. 设 l 为直线， 是两个不同的平面.下列命题中正确的是 .(填序号) 若 l，l，则 ； 若 l，l，则 ； 若 l，l，则 ； 若 ，l，则 l. 解析 ： 若 l，l，则 ， 可能相交，故错误 ； 正确 ； 若 l，l，则 ， 故错误 ； 若 ，l，则 l 与 可能相交，可能平行，也可能直线 l 在平面 内，故 错误.故选
10、 3. 下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点， 能得出直线 AB平面 MNP 的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号) 解析：因为平面 MNP 与 AB 所在的平面平行，所以 AB平面 MNP；设下底面的 中心为 O，易知 NOAB，NO平面 MNP，所以 AB 与平面 MNP 不平行 ； 易知 ABMP， 所以 AB平面 MNP； 易知存在一直线 MCAB， 且 MC平面 MNP， 所以 AB 与平面 MNP 不平行.故填. 1. 运用线面平行的判定定理和性质定理时，都涉及“线线平行” ，即平面外的直线与平 面内的直线平行.需要思考的是：这里的“线”与“线”实质上一定是共面的！因此，用判 定定理“找线”通常要通过找平面来实现，找到了辅助面，辅助面与已知平面的“交线”必 定是要找的“线”. 2. 找(造)辅助面的方法通常有：一是平行投影法，如例 1；二是中心投影法，如例 1 的 跟踪练习，可视点 C 为投影中心.例 2 又是用什么方法找的哪一个辅助面？ 3. 你还有哪些体悟，请写下来：