《2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4 第13课 矩阵的简单应用含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4 第13课 矩阵的简单应用含解析.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 13 课_矩阵的简单应用_ 1. 初步了解三阶或高阶矩阵 2. 了解矩阵的简单问题. 1. 阅读：选修 42 第 7481 页. 2. 解悟：一级路矩阵与二级路矩阵的区别在于从一个结点到另一个结点是直达，还是间 接到达 矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘， 更高次方的运算可运用矩阵的特征值与特征向量计 算 有关数列的递推关系由M得到转移矩阵 M，因此Mn，an1bn1anbnan1bn1a1b1 可利用矩阵的特征值与特征向量的性质求.an1bn1 3. 践习：在教材空白处，完成第 81 页习题第 1、2 题. 基础诊断 1. 设数列an，bn满足 an13an2bn，bn12bn，且满足M，
2、则二阶矩 an2 bn2 an bn 阵 M_ 2. 设某校午餐有 A，B 两种便当选择，经统计数据显示，今天订 A 便当的人，第二天 再订A便当的概率是 ； 今天订B便当的人， 第二天再订B便当的概率为 ， 已知星期一有40% 3 5 4 5 的同学订了 A 便当，60%的同学订了 B 便当，则星期四时订 A 便当同学的概率是多少？ 范例导航 考向 An(nN*)的求法 例 1 自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源 的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等因此，它们和周边环境是一种既相生 又相克的生存关系但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾现假设两个互
3、相影响的 种群 X， Y 随时间段变化的数量分别为an， bn， 有关系式其中 a16， b1 an1an2bn， bn13an2bn，) 4，试分析 20 个时段后，这两个种群的数量变化趋势 已知矩阵 M，. 1 1 0 2 3 1 (1) 求出矩阵 M 的特征值和特征向量； (2) 计算 M4，M10，M100； (3) 从第(2)小题的计算中，你发现了什么？ 考向 An(nN*)在具体应用题中的应用 例 2 某同学做了一个数字信号模拟传送器，经过 10 个环节，把由数字 0，1 构成 的数字信号由发生端传到接收端已知每一个环节会把 1 错转为 0 的概率为 0.3，把 0 错转 为 1
4、的概率为 0.2，若发出的数字信号中共有 10 000 个 1，5 000 个 0.问： (1) 从第 1 个环节转出的信号中 0，1 各有多少个？ (2) 最终接收端收到的信号中 0，1 个数各是多少？(精确到十位) (3) 该同学为了完善自己的仪器，决定在接收端前加一个修正器，把得到的 1 和 0 分别 以一定的概率转换为 0 和 1， 则概率分别等于多少时， 才能在理论上保证最终接收到的 0 和 1 的个数与发出的信号相同 学校餐厅每天供应 1 000 名学生用餐，每星期一有 A，B 两种菜可供选择，调查资料表 明，凡是在本周星期一选 A 菜的，下周星期一会有 20%改选 B 菜，而选
5、B 菜的，下周星期 一会有 30%改选 A 菜，若用 An，Bn分别表示在第 n 个星期一选 A，B 菜的人数 (1) 若M，请写出二阶矩阵 M； An1 Bn1 An Bn (2) 若第一周有 300 人选择 A 菜，700 人选择 B 菜，试判断其变换趋势 自测反馈 1. 已知矩阵 M，计算 M6. 1 2 2 1 1 7 2. 已知矩阵 A，向量 ，计算 A5. 12 1 4 5 3 1. 对于二阶矩阵 A，它的特征值分别为 1，2，其对应的特征向量分别为 1，2，若当 非零向量 m1n1，则 Ak_ 2. 求 An 的一般步骤为： 第一步：求矩阵 A 的特征值 和相应的特征向量 ； 第
6、二步：把向量 用特征向量 线性表示，即_； 第三步：由公式 An_计算 3. 你还有哪些体悟，写下来： 第 13 课 矩阵的简单应用 基础诊断 1. 解析 ： 由题设得， 设 A， 则 MA2， 所以 M 9 10 0 4 an1 bn1 3 2 0 2 an bn 3 2 0 2 3 2 0 2 3 2 0 2 . 9 10 0 4 2. 解析：设 M，则 M3，故星期四时订 A 便当同学的 3 5 1 5 2 5 4 5 2 5 3 5 47 125 39 125 78 125 86 125 2 5 3 5 211 625 414 625 概率是. 211 625 范例导航 例 1 解析：
7、令 ，M，则M， a1 b1 6 4 1 2 3 2 an1 bn1 an bn 由此可求得矩阵 M 的特征值 14， 21， 分别对应的一个特征向量为 1， 2 2 3 . 1 1 假设 m1n2(m，nR)，解得 mn2. MM2M20. a21 b21 a20 b20 a19 b19 a1 b1 M20M20M20(2122)2M2012M202， a1 b1 即24202(1)20. a21 b21 2 3 1 1 2422 3 2412 因此，20 个时段后，种群 X，Y 的数量分别约为 2422 和 32412. 解析：(1) 矩阵 M 的特征多项式为 f()(1)(2)， | 1
8、 1 02| 令 f()0，解得 11，22. 所以它们分别对应的一个特征向量为 1， 1 0 2. 1 1 (2) 令 m1n2， 则有 mn， 1 0 1 1 3 1 解得 m2，n1，即 212， 所以 M4M4(212)2M41M422 1 221424. 4 14 2 1 0 1 1 18 16 同理可得，M10，M100. 2102 210 21002 2100 (3) 当 n 很大时，可近似的认为 MnMn(212)Mn22n. 1 1 2n 2n 例 2 解析：(1) 从第 1 个环节转出的信号中，0 的个数为 10 0000.35 0000.87 000， 1 的个数为 10
9、 0000.75 0000.28 000. (2) 数字错转的转移矩阵为 A，1 和 0 的个数对应列矩阵，于是最终 0.7 0.2 0.3 0.8 10 000 5 000 接收端收到的信号中 1，0 个数对应矩阵 A10，矩阵 A 的特征多项式为 f() 10 000 5 000 21.50.5(1)(0.5) | 0.7 0.2 0.3 0.8| 令 f()0，得到矩阵 A 的特征值为 1 或 0.5， 将 1 代入方程组 （0.7）x0.2y0， 0.3x（0.8）y0，) 解得 3x2y0，不妨设 x2，于是得到矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为. 2 3 同理， 把 0.
10、5 代入上述方程组得 xy0， 不妨设 x1， 可得矩阵 A 的属于特征值 0. 5 的一个特征向量为. 1 1 设mn， 10 000 5 000 2 3 1 1 所以解得 10 0002mn， 5 0003mn，) m3 000， n4 000，) 所以 A103 0001104 0000.510 10 000 5 000 2 3 1 1 6 0004 000 0.510 9 0004 000 0.510 6 000 9 000 ，所以最终接收端收到的信号中 0 约有 9 000 个，1 约有 6 000 个 (3) 设修正器的转移矩阵为 B(0s1，0t1)，则由题意有 1st s1t
11、1st s1t ，于是，得到 6s9t40. 6 000 9 000 10 000 5 000 因为 0s1，0t1， 所以可取 s ，t ，也就是说 1 转为 0 的概率为 ，0 转为 1 的概率为 . 1 2 7 9 1 2 7 9 注：第(3)问答案不唯一，只要满足方程 6s9t40(0s1，0t1)的 s，t 均可 解析：(1) 由 An1 AnBn，Bn1 AnBn，得 M. 4 5 3 10 1 5 7 10 4 5 3 10 1 5 7 10 (2) 由 f()2 0，得 11，2 ，属于 1，2的一个特征向量分别为 3 2 1 2 1 2 1，2， 3 2 1 1 又20013
12、002， A1 B1 300 700 所以 Mn200300. A1 B1 3 2( 1 2) n 1 1 600300 ( 1 2) n 400300 ( 1 2) n 由此说明，若干周后，选择 A，B 两菜的人数分别稳定在 600 人和 400 人左右 自测反馈 1. 解析：矩阵 M 的特征多项式为 f()223. | 1 2 2 1| 令 f()0，解得 13，21，分别对应的一个特征向量分别为 1，2. 1 1 1 1 令 m1n2，得 m4，n3. 所以 M6M6(4132)4(M61)3(M62)4363(1)6. 1 1 1 1 2 913 2 919 2. 解析：矩阵 A 的特征多项式为 f()|(1)(4)2256(2)(3)， 1 2 14 令 f()0，解得 12，23， 当 12 时，对应的一个特征向量为 e1， 2 1 当 23 时，对应的一个特征向量为 e2， 1 1 令 me1ne2，解得 m2，n1，即 2e1e2， 所以 A5A52e1A5e225235. 2 1 1 1 2735 2635 371 307