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1、随堂巩固训练(52) 1. 若直线 mxny4 与O：x2y24 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆 x2 9 1 的交点个数是 2 . y2 4 解析：由题意知2，即0)， 若直线 yx 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴 x2 16 y2 m2 2 2 上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为 2 .2 解析：设椭圆的右焦点 F(c，0)，c.由题意可得，直线 yx 与椭圆的一个16m2 2 2 交点 M，所以1.因为 c216m2，解得 m28 或 m216(舍去).因为 (c， 2 2 c) c2 16 ( 2 2 c) 2 m2 m0，所以 m2 . 2 4. 直线 yx
2、3 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，过 A，B 两点向抛物线的准线作垂 线，垂足分别为 P，Q，则梯形 APQB 的面积是 48 . 解析 ： 联立消去 x 得 y24y120， 解得 yA2， yB6， 所以点 A(1， 2)， yx3， y24x，) B(9，6)，抛物线准线方程为 x1，所以梯形 ABQP 的面积为 S (210)848. 1 2 5. 已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若 线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 x1 . 解析 ： 由题意可设直线方程 yx ， A(x1， y1)， B(x2，
3、 y2)， 代入抛物线方程得 x23px p 2 0，所以 x1x23p，故 y1y2x1x2p2p，故p2，故抛物线准线方程为 x1. p2 4 y1y2 2 6. 设 F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，直线 l 为右准线.若在椭圆上 x2 a2 y2 b2 存在点 M，使得 MF1、MF2、点 M 到直线 l 的距离 d 成等比数列，则此椭圆的离心率 e 的 取值范围是 1，1) .2 解析 ： 设点 M(x， y)， l 为右准线， 所以 MF2aex， MF12a(aex)aex.因为 MF1， MF2， d 成等比数列， 所以 MF dMF1， 即(aex)2(aex)，
4、 化简得 e(aex)aex， 2 2 aex e 所以 .因为点 M 在椭圆上，所以axa，所以1 1，11.因 x a e1 e（e1） x a e1 e（e1） 为e1b0)的离心率 e ，A，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上 x2 a2 y2 b2 1 2 不同于 A，B 的一点，直线 PA，PB 的倾斜角分别为 ，则 . cos（） cos（） 1 7 解析：由题意得点 A(a，0)，B(a，0).设点 P(x，y)，则 tan，tan，所 y xa y xa 以 tantan.因为椭圆1(ab0)的离心率 e ，所以 ， y xa y xa y2 x2a2 x2 a2 y2 b
5、2 1 2 a2b2 a2 1 4 所以 a2 b2，所以1，所以 y2b2，所以 ，即 tantan . 4 3 x2 4 3b 2 y2 b2 3x2 4 y2 x2a2 3 4 3 4 . cos（） cos（） coscossinsin coscossinsin 1tantan 1tantan 13 4 13 4 1 7 10. 双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别是 F1，F2，过点 F1作倾斜角为 30的 x2 a2 y2 b2 直线交双曲线的右支于点 M，若 MF2垂直于 x 轴，则双曲线的离心率 e .3 解析 ： 由题意易知 MF2， MF12a， 由倾角为 30可得 22
6、a， 整理得， 2a2 b2 a b2 a b2 a b2 a b2c2a2，所以 e . c a 3 11. 已知直线 l：y2xm，椭圆 C：1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C： x2 4 y2 2 (1) 有两个不重合的公共点； (2) 有且只有一个公共点； (3) 没有公共点. 解析：将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， 得方程组整理得 9x28mx2m240， y2xm， x2 4 y 2 2 1，) 方程根的判别式 (8m)249(2m24)8m2144. (1) 当 0，即33时，方程没有实数根，即直线 l 与椭圆 C 没有公22 共点. 12. 已知椭圆 C：
7、1(ab0)的离心率为，左焦点 F 的坐标为(2，0). x2 a2 y2 b2 2 2 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若直线yxm与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M关于直线yx1 的对称点 N 在圆 x2y21 上，求实数 m 的值. 解析：(1) 由题意得解得 a2，b2， c a 2 2 ， c2，) 2 所以椭圆 C 的方程为1. x2 8 y2 4 (2) 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4). 由消去 y 得 3x24mx2m280， x2 8 y 2 4 1， yxm，) 所以 968m20，解得2b0). x2 a2
8、 y2 b2 由题意得 b2，e ，3 c a 1 2 所以解得 a2c， b2a2c2，) c2， a4，) 所以椭圆 P 的方程为1. x2 16 y2 12 (2) 假设存在满足题意的直线 l.易知当直线的斜率不存在时，0 得，(32k)24(34k2)160， 解得 k2 . 1 4 因为 x1x2，x1x2， 32k 34k2 16 34k2 所以 y1y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)16， 故 x1x2y1y216，解得 k21，即 k1， 16 34k2 16k2 34k2 128k2 34k2 16 7 故存在直线 l：xy40 或 xy40 满足题意.