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1、随堂巩固训练(53) 1. 若，则 0 . AB CD AB DC 解析：因为，所以，所以0.AB CD DC AB AB DC AB AB 2. 如图，小正方形的边长为 1，则| 3 ；| ；| 2 . AB 2CD 26EF 2 解析：|3；|；|2.AB 32322CD 15226EF 22222 3. 给出下列命题： 的长度与的长度相等；AB BA 若 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量，一定是共线向量； 若与是共线向量，则点 A、B、C、D 必在同一条直线上.AB CD 其中，正确的命题是 .(填序
2、号) 解析 ： 因为的长度是线段 AB 的长度，的长度是线段 BA 的长度， 所以正确 ； AB BA 若 a 或 b 为零向量， 则满足 a 与 b 平行， 但 a 与 b 的方向不一定相同或相反， 所以错误 ； 由相等向量的定义知正确 ； 由共线向量知错误 ； 若与是共线向量， 则 ABCD，AB CD 或 A、B、C、D 在同一条直线上，所以错误. 4. 已知在边长为 1 的菱形 ABCD 中，BAD60，则| 1 .AB AC CD 解析 ： 由题意得|.因为四边形ABCD是边长为1的菱形，AB AC CD CB CD DB BAD60，所以 BDAB1，即|1.AB AC CD 5.
3、 若点 P 为ABC 的外心，且，则ACB 120 . PA PB PC 解析：因为点 P 为ABC 的外心，所以|.由及向量加法的PA PB PC PA PB PC 平行四边形法则知， 四边形PACB为菱形， 且PAC， PCB均为正三角形， PCAPCB 60，故ACB120. 6. 已知平面上四个点 A，B，C，D 满足：()(2)0，则ABCAB AC AD BD CD 的形状是 等腰三角形 . 解析：2()，.由(AD BD CD AD DB AD DC AB AC AB AC CB AB AC )(2)0，得()，则ABC 为等腰三角形.AD BD CD CB AB AC 7. 已
4、知在OBC 中，(x1)(x2)，且 A、B、C 三点共线，则 x 1 .OA OB OC 解析：因为 A，B，C 三点共线，所以(x1)(x2)1，解得 x1. 8. 设 O 是ABC 内部一点，且2，则AOB 与AOC 的面积之比为 OA OC OB 12 . 解析：设 AC 的中点为 D，所以22，所以 O 为中线 BD 的中点，OA OC OB OD 所以AOB，AOD，COD 的面积相等，所以AOB 与AOC 的面积之比为 12. 9. 在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，3，则 .AD DB CD 1 4CA CB 3 4 解析 ： 因为3，所以 ()，所以 (AD DB
5、AD 3 4AB 3 4 CB CA CD CA AD CA 3 4 CB ).又因为，所以 .CA 1 4CA 3 4CB CD 1 4CA CB 3 4 10. 一直线过ABC 的重心 G，与边 AB，AC 分别交于点 P，Q，且m，nAP AB AQ ，则 3 .AC 1 m 1 n 解析 ： 因为G是ABC的重心， 所以 ().又因为mAG 2 3 1 2 AB AC 1 3AB 1 3AC AP AB ，n，所以.又因为 P，Q，G 三点共线，所以AQ AC AG 1 3AB 1 3AC 1 3m AP 1 3nAQ 1 3m 1，解得 3. 1 3n 1 m 1 n 11. 设两个
6、非零向量 e1与 e2不共线，且e1e2，2e18e2，3(e1e2).AB BC CD (1) 求证：A，B，D 三点共线； (2) 确定实数 k 的值，使得 ke1e2和 e1ke2共线. 解析：(1) 因为2e18e23(e1e2)5(e1e2)5，BD BC CD AB 所以 A，B，D 三点共线. (2) 若 ke1e2和 e1ke2共线，则 ke1e2(e1ke2)，即 ke1e2e1ke2， 所以解得 k1. k， k1，) 12. 在ABC 中， 点 D 在线段 BC 的延长线上， 且 BCCD， 点 O 在线段 CD 上(与点 C， D 不重合).若x(1x)，求 x 的取值
7、范围.AO AB AC 解析： 如图所示，因为BCCD，点O在线段CD上，所以存在实数(0，1)， 使得，CO CD 所以()(1).AO AC CO AC CD AC BC AC AC AB AB AC 因为x(1x)，所以 x.因为 01，所以1x0.AO AB AC 13. 如图所示，在平行四边形 OADB 中，a，b，两条对角线的交点为 C，且OA OB ，.BM 2 3BC CN 2 3CD (1) 试用 a，b 表示；MN (2) 若|，|a|2，|b|6，求平行四边形 OADB 的面积.MN 3 解析：(1) 因为，MN MC CN BM 2 3BC CN 2 3CD 所以，MC 1 3BC 1 6BA CN 1 3OD 所以 () () a b.MN 1 6BA 1 3OD 1 6 OA OB 1 3 OA OB 1 2OA 1 6OB 1 2 1 6 (2) 由(1)得|2 a2b2 ab，MN ( 1 2a 1 6b) 2 1 4 1 36 1 6 因为|a|2，|b|6，记AOB，所以|222cos3，MN 解得 cos ，所以 sin， 1 2 3 2 所以平行四边形 OADB 的面积为 S26sin126. 3 2 3