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1、随堂巩固训练(63) 1. 已知 1， a1， a2， 16 成等差数列， 1， b1， b2， b3， 16 成等比数列， 则的值为 . b2 a1a2 4 17 解析 ： 因为 1，a1，a2，16 成等差数列，所以 a1a211617.因为 1，b1，b2，b3，16 成等比数列，所以 b 116 且 1，b2，16 同号，所以. 2 2 b2 a1a2 4 17 2. 已知实数 a1，a2，a3，a4构成公差不为零的等差数列，且 a1，a3，a4构成等比数列， 则此等比数列的公比 q 等于 . 1 2 解析 ： 设公差为 d(d0)，则 a a1a4， 即(a12d)2a1(a13d)
2、， 解得 a14d， 所以 q 2 3 . a3 a1 a12d a1 1 2 3. 已知数列an，bn满足 a11，且 an，an1是函数 f(x)x2bnx2n的两个零点， 则 b10 64 . 解析：依题意有 anan12n，所以 an1an22n1，两式相除得2，所以 a1，a3， an2 an a5，成等比数列， a2， a4， a6，也成等比数列.又 a11， a22， 所以 a1022432， a11 12532.因为 anan1bn，所以 b10a10a1164. 4. 已知 x0，y0，x，a1，a2，y 成等差数列，x，b1，b2，y 成等比数列，那么 （a 1a2）2 b
3、1b2 的最小值是 4 . 解析：因为 a1a2xy，b1b2xy，所以 （a 1a2）2 b1b2 （xy）2 xy x2y22xy xy x2y2 xy 2224，当且仅当 xy 时取等号. 5. 在等比数列an中，各项都是正数，且 a1， a3，2a2成等差数列，则 32 1 2 a9a10 a7a8 .2 解析：由题意得 2 a3a12a2，即 a3a12a2设等比数列an的公比为 q 且 q0， 1 2 则 a1q2a12a1q， 所以 q212q， 解得 q1或 q1(舍去)， 所以22 a9a10 a7a8 a9（1q） a7（1q） q2(1)232. 22 6. 设 Sn是等
4、比数列an的前 n 项和， S3， S9， S6成等差数列， 且 a2a52am， 则 m 8 . 解析 ： 当公比 q1 时， 29a13a16a1， 则 a10， 舍去 ； 当公比 q1 时， 2 a1（1q9） 1q ，所以 2q61q3.又 a2a2q3a2(1q3)2a2q6，即 2a8a2a5，从 a1（1q3） 1q a1（1q6） 1q 而 m8. 7. 已知等比数列an的首项为 2，公比为 3，前 n 项和为 Sn. 若 log39， 1 2a n（S4m1） 则 的最小值是 . 1 n 4 m 5 2 解析：由题设知 an23n1，S4m1134m，所以 an(S4m1)3
5、4mn1. 2（134m） 13 1 2 又 log39， 所以 4mn19， 即 4mn10， 所以 (4mn)( ) 1 2a n（S4m1） 1 n 4 m 1 10 1 n 4 m ，当且仅当，即 mn2 时等号成立. 1 10(17 4n m 4m n) 5 2 4n m 4m n 8. 设数列an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前 n 项和. 若 S1，S2，S4 成等比数列，则 a1的值为 . 1 2 解析 ： 由题意得 S S1S4， 且 S1a1， S2a1a22a1d， S4a1a2a3a44a16d， d 2 2 1，所以 a1 . 1 2 9. 在等差数列
6、an中， 已知首项a10， 公差d0.若a1a260， a2a3100， 则5a1a5 的最大值为 200 . 解析：由 a1a260，a2a3100 得 2a1d60，2a13d100，a10，d0.由线性 规划的知识得当 5a1a56a14d 过点(20，20)时取最大值 200. 10. 已知数列an满足 a1 ，2an1(nN*)，则 . 4 3 12 an6 n i1 1 ai 2 3n2n 4 解析 ： 条件化为 ， 即 3， 所以 3n1 ， 故 1 an1 3 an 1 2 1 an1 1 4 ( 1 an 1 4) 1 an 1 4 n i1 1 ai 13n 13 . n
7、4 2 3n2n 4 11. 已知数列an是公差不为零的等差数列， 其前 n 项和为 Sn， 满足 S52a225， 且 a1， a4，a13恰为等比数列bn的前三项，求数列an，bn的通项公式. 解析：设等差数列an的公差为 d(d0)， 则5a 15 4 2 d2（a1d）25， （a 13d）2a1 （a 112d），) 解得 a13，d2，所以 an2n1. 因为 b1a13，b2a49， 所以等比数列bn的公比 q3，所以 bn3n. 12. 已知数列an，bn满足 2Sn(an2)bn，其中 Sn是数列an的前 n 项和. (1) 若 bnn，a23，求数列an的通项公式； (2)
8、 在(1)的条件下，设 cn，求证：数列cn中的任意一项总可以表示成该数列其他 an bn 两项之积. 解析：(1) 若 bnn，则 2Snnan2n， 所以 2Sn1(n1)an12(n1). 由得 2an1(n1)an1nan2， 即 nan(n1)an12. 当 n2 时，(n1)an1(n2)an2， 由得(n1)an1(n1)an12(n1)an， 即 an1an12an. 又由 2S1a12 得 a12， 所以数列an是首项为 2，公差为 321 的等差数列， 故数列an的通项公式是 ann1. (2) 由(1)得 cn， n1 n 对于任意 nN*，若存在 kn，tn，kt，k，
9、tN*，使得 cnckct，只需 n1 n k1 k ，即 1 ，即 ，则 t， t1 t 1 n (1 1 k)(1 1 t) 1 n 1 k 1 t 1 kt n（k1） kn 取 kn1，则 tn(n2)， 所以对数列cn中的任意一项cn， 都存在cn1和cn22n使得cncn n1 n n2 n1 （n1）2 n22n 1cn22n. 13. (1) 若数列an是等差数列，a110，Sn是其前 n 项和，且 Sn10Sn1Sn 10(nN*)，求公差 d 的取值集合； (2) 若 b1，b2，bk成等比数列，公比 q 是大于 1 的整数，b110，b220，且 b1b2 bk2 017，求正整数 k 的最小值. 解析：(1) 由 Sn10Sn1Sn10，得10an110， 所以1010nd10， 所以d0 对任意的 nN*恒成立， 20 n 所以 d0，所以公差 d 的取值集合为0. (2) 因为 b110，b210q20，所以 q2. 又公比 q 是大于 1 的整数，所以 q2， 所以 b1b2bk10(2k1)2 017， 10（12k） 12 所以 2k202.7. 又因为 k 是正整数，所以 k8， 即正整数 k 的最小值为 8.