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1、第第 4 讲 随机事件的概率讲 随机事件的概率 一、选择题 1.有一个游戏， 其规则是甲、 乙、 丙、 丁四个人从同一地点随机地向东、 南、 西、 北四个方向前进，任意两人不能同一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南” 是( ) A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.以上都不对 解析 由于任意两人不能同一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可 能的，故是互斥事件，但不是对立事件. 答案 A 2.(2017合肥模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A抽到一等品， 事件B抽到二等品， 事件C抽到三等品， 且已知P(A)0.65， P(B)0.2， P(C)0.1，则事件
2、“抽到的不是一等品”的概率为( ) A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3 解析 事件 “抽到的产品不是一等品” 与事件 A 是对立事件， 由于 P(A)0.65， 所以由对立事件的概率公式得 “抽到的产品不是一等品” 的概率为 P1P(A) 10.650.35. 答案 C 3.在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是( ) 3 10 7 10 A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡 解析 至多有一张移动卡包含 “一张移动卡， 一张联通卡” 、 “两张全是联
3、通卡” 两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡” 的概率为. 7 10 答案 A 4.某袋中有编号为 1，2，3，4，5，6 的 6 个球(小球除编号外完全相同)，甲先 从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号， 则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( ) A. B. C. D. 1 5 1 6 5 6 35 36 解析 设 a，b 分别为甲、乙摸出球的编号.由题意，摸球试验共有 36 种不同 结果，满足 ab 的基本事件共有 6 种.所以摸出编号不同的概率 P1 . 6 36 5 6 答案 C 5.掷一个骰子的试验，事件 A 表示“出现
4、小于 5 的偶数点” ，事件 B 表示“出现 小于 5 的点数” ，若表示 B 的对立事件，则一次试验中，事件 A发生的BB 概率为( ) A. B. C. D. 1 3 1 2 2 3 5 6 解析 掷一个骰子的试验有 6 种可能结果. 依题意 P(A) ，P(B) ， 2 6 1 3 4 6 2 3 P()1P(B)1 ，B 2 3 1 3 表示“出现 5 点或 6 点”的事件，B 因此事件 A 与互斥，B 从而 P(A)P(A)P() .BB 1 3 1 3 2 3 答案 C 二、填空题 6.给出下列三个命题，其中正确命题有_个. 有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件
5、，必有 10 件是次品 ； 做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出现的概率是 ；随机 3 7 事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 解析 错，不一定是 10 件次品；错， 是频率而非概率；错，频率不等 3 7 于概率，这是两个不同的概念. 答案 0 7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法估计该 运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值 的随机数，指定 1，2，3，4 表示命中，5，6，7，8，9，0 表示不命中 ； 再以 每三个随机数为一组， 代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下 20 组随机 数： 9
6、07 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_. 解析 20 组随机数中，恰有两次命中的有 5 组，因此该运动员三次投篮恰有 两次命中的概率为 P . 5 20 1 4 答案 1 4 8.某城市 2017 年的空气质量状况如表所示： 污染指数 T3060100110130140 概率 P 1 10 1 6 1 3 7 30 2 15 1 30 其中污染指数 T50 时， 空气质量为优 ； 50T100 时， 空气质量为良， 100 T1
7、50 时，空气质量为轻微污染，则该城市 2017 年空气质量达到良或优的 概率为_. 解析 由题意可知 2017 年空气质量达到良或优的概率为 P . 1 10 1 6 1 3 3 5 答案 3 5 三、解答题 9.某班选派 5 人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下： 获奖人数012345 概率0.10.16xy0.2z (1)若获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56，求 x 的值； (2)若获奖人数最多 4 人的概率为 0.96，最少 3 人的概率为 0.44，求 y，z 的值. 解 记事件“在竞赛中，有 k 人获奖”为 Ak(kN，k5)，则事件 Ak彼此互斥. (1)获奖
8、人数不超过 2 人的概率为 0.56， P(A0)P(A1)P(A2)0.10.16x0.56. 解得 x0.3. (2)由获奖人数最多 4 人的概率为 0.96，得 P(A5)10.960.04，即 z0.04. 由获奖人数最少 3 人的概率为 0.44， 得 P(A3)P(A4)P(A5)0.44， 即 y0.2 0.040.44. 解得 y0.2. 10.(2015陕西卷)随机抽取一个年份， 对西安市该年4月份的天气情况进行统计， 结果如下： 日期123456789101112131415 天气晴 雨 阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴 日期 1 6 1 7 181920212223242526
9、27282930 天气晴 阴 雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨 (1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会， 估计运动 会期间不下雨的概率. 解 (1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份 任选一天，西安市不下雨的概率为 P. 26 30 13 15 (2)称相邻的两个日期为 “互邻日期对” (如， 1 日与 2 日， 2 日与 3 日等)， 这样， 在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率 f . 14
10、16 7 8 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为 . 7 8 11.设事件 A，B，已知 P(A) ，P(B) ，P(AB)，则 A，B 之间的关系 1 5 1 3 8 15 一定为( ) A.两个任意事件 B.互斥事件 C.非互斥事件 D.对立事件 解析 因为 P(A)P(B) P(AB)，所以 A，B 之间的关系一定为 1 5 1 3 8 15 互斥事件. 答案 B 12.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中 的成绩， 其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平 均成绩的概率是( ) A. B. C. D. 2 5 7 10 4 5 9 10 解析 设被污损的数字
11、为 x，则 甲 (8889909192)90， x 1 5 乙 (8383879990x)， x 1 5 若甲 乙，则 x8. xx 若 甲乙，则 x 可以为 0，1，2，3，4，5，6，7， xx 故 P . 8 10 4 5 答案 C 13.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字 1，2，3，4，5，6)，事件 A 表示 “朝上一面的数是奇数” ， 事件B表示 “朝上一面的数不超过2” ， 则P(AB) _. 解析 将事件 AB 分为：事件 C“朝上一面的数为 1，2”与事件 D“朝上一 面的数为 3，5”. 则 C，D 互斥，且 P(C) ，P(D) ， 1 3 1 3 P(AB)P
12、(CD)P(C)P(D) . 2 3 答案 2 3 14.(2017昆明诊断)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样， 样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000 车辆数(辆)500130100150120 (1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆 中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率. 解 (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元” ，B 表示事
13、件“赔付金额为 4 000 元” ，以频率估计概率得 P(A)0.15，P(B)0.12. 150 1 000 120 1 000 由于投保金额为 2 800 元，赔付金额大于投保金额对应的情形是 3 000 元和 4 000 元，所以其概率为 P(A)P(B)0.150.120.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元” ，由已知，样本车辆中车 主为新司机的有 0.11 000100(辆)，而赔付金额为 4 000 元的车辆中，车主 为新司机的有 0.212024(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为0.24，由频率估计概率得 P(C)0.24. 24 100