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1、3.1 导数的概念及运算 导数的概念及运算 最新考纲 1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导 数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图象直 观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数 yc(c 为常数)，yx，yx2，y 的导数.4. 1 x 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 1导数与导函数的概念 (1)一般地，函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它lim x0 y x lim x0 fx0xfx0 x 为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或 y|，即
2、 f(x0) 0 xx lim x0 y x lim x0 . fx0xfx0 x (2)如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新 函数，这个函数称为函数 yf(x)在开区间(a，b)内的导函数记作 f(x)或 y. 2导数的几何意义 函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义， 就是曲线 yf(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率 k， 即 kf(x0) 3基本初等函数的导数公式 基本初等函数导函数 f(x)c(c 为常数)f(x)0 f(x)x(Q*)f(x)x1 f(x)sin xf(x)cos x f(x)cos xf(x
3、)sin x f(x)exf(x)ex f(x)ax(a0，a1)f(x)axln a f(x)ln xf(x)1 x f(x)logax(a0，a1)f(x) 1 xln a 4.导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有 (1)f(x)g(x)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)(g(x)0) fx gx fxgxfxgx gx2 概念方法微思考 1根据 f(x)的几何意义思考一下，|f(x)|增大，曲线 f(x)的形状有何变化？ 提示 |f(x)|越大，曲线 f(x)的形状越来越陡峭 2直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？
4、 提示 不一定 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0附近的平均变化率( ) (2)f(x0)f(x0).( ) (3)(2x)x2x1.( ) 题组二 教材改编 2若 f(x)xex，则 f(1) . 答案 2e 解析 f(x)exxex，f(1)2e. 3曲线 y1在点(1，1)处的切线方程为 2 x2 答案 2xy10 解析 y，y|x12. 2 x22 所求切线方程为 2xy10. 题组三 易错自纠 4 如图所示为函数 yf(x)， yg(x)的导函数的图象， 那么 yf(x)， yg(x)的图象可能是( ) 答
5、案 D 解析 由 yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数 yf(x)的切线的斜 率在(0，)上也单调递减，故可排除 A，C. 又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交， 说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0 处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D. 5若 f(x)，则 f_. sin x x ( 2) 答案 4 2 解析 f(x)， xcos xsin x x2 f. ( 2) 4 2 6(2017天津)已知 aR，设函数 f(x)axln x 的图象在点(1，f(1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为 答案 1 解析 f(x)a ，f(1)
6、a1. 1 x 又f(1)a，切线 l 的斜率为 a1，且过点(1，a)， 切线 l 的方程为 ya(a1)(x1) 令 x0，得 y1，故 l 在 y 轴上的截距为 1. 题型一 导数的计算 1已知 f(x)sin ，则 f(x) . x 2(12cos 2x 4) 答案 cos x 1 2 解析 因为 ysin sin x， x 2(cos x 2) 1 2 所以 y (sin x) cos x. ( 1 2sin x) 1 2 1 2 2已知 y，则 y_. cos x ex 答案 sin xcos x ex 解析 y ( cos x ex) cos xexcos xex e x2 .
7、sin xcos x ex 3f(x)x(2 019ln x)，若 f(x0)2 020，则 x0 . 答案 1 解析 f(x)2 019ln xx 2 020ln x， 1 x 由 f(x0)2 020，得 2 020ln x02 020，x01. 4若 f(x)x22xf(1)，则 f(0) . 答案 4 解析 f(x)2x2f(1)， f(1)22f(1)，即 f(1)2， f(x)2x4，f(0)4. 思维升华 1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避 免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错 2(1)若函数为根式形式，可先化为
8、分数指数幂，再求导 (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元 题型二 导数的几何意义 命题点 1 求切线方程 例 1 (1)(2018湖北百所重点高中联考)已知函数 f(x1)， 则曲线 yf(x)在点(1， f(1)处 2x1 x1 切线的斜率为( ) A1 B1 C2 D2 答案 A 解析 由 f(x1)，知 f(x)2 . 2x1 x1 2x1 x 1 x f(x) ，f(1)1. 1 x2 由导数的几何意义知，所求切线的斜率 k1. (2)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线 l 的方程 为 答案 xy10 解析
9、点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上， 设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x， 直线 l 的方程为 y1(1ln x0)x. 由Error!解得 x01，y00. 直线 l 的方程为 yx1，即 xy10. 命题点 2 求参数的值 例 2 (1)直线 ykx1 与曲线 yx3axb 相切于点 A(1，3)，则 2ab . 答案 1 解析 由题意知，yx3axb 的导数为 y3x2a， 则Error! 由此解得 k2，a1，b3，2ab1. (2)已知 f(x)ln x，g(x) x2mx (m0，所以 2 0 时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增， 故当 x0；当 x0 时，
10、f(x)的符号变化依次为，.故选 C. 5 已知点 P 在曲线 y上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角， 则 的取值范围是( ) 4 ex1 A. B. 3 4 ，) 4， 2) C. D. ( 2， 3 4 0， 4) 答案 A 解析 求导可得 y， 4 exex2 exex2224，当且仅当 x0 时，等号成立，exex y1,0)，得 tan 1,0)， 又 0，)，0)， 对 y x23ln x 求导得 y x ， 可令切线的斜率为 m 1 4 1 2 3 x 1 2 ，解方程可得 m2(舍去负值). 3 m 1 2 9若曲线 yln x 的一条切线是直线 y xb，则实数 b 的值
11、为 1 2 答案 1ln 2 解析 由 yln x，可得 y ，设切点坐标为(x0，y0)，由曲线 yln x 的一条切线是直线 y 1 x xb，可得 ，解得 x02，则切点坐标为(2，ln 2)，所以 ln 21b，b1ln 2. 1 2 1 x0 1 2 10(2018云南红河州检测)已知曲线 f(x)xln x 在点(e，f(e)处的切线与曲线 yx2a 相切， 则 a_. 答案 1e 解析 因为 f(x)ln x1， 所以曲线 f(x)xln x 在 xe 处的切线斜率为 k2， 则曲线 f(x)xln x 在点(e，f(e)处的切线方程为 y2xe. 由于切线与曲线 yx2a 相切
12、， 故 yx2a 可联立 y2xe， 得 x22xae0， 所以由 44(ae)0，解得 a1e. 11.已知 f(x)，g(x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的导函数，且它们在同一平面直角 坐标系内的图象如图所示 (1)若 f(1)1，则 f(1) ； (2)设函数 h(x)f(x)g(x)，则 h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为 (用“0，即 m 即可，故选 B. 1 e 1 e 14(2018泰安模拟)若曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x)x2bx1 在交点(0，m)处有公切线， 求 ab 的值 解 依题意得， f(x)asin x， g(x)2xb， f(0
13、)g(0)， 即asin 020b， 得 b0. 又 mf(0)g(0)，即 ma1，因此 ab1. 15 给出定义 ： 设 f(x)是函数 yf(x)的导函数， f(x)是函数 f(x)的导函数， 若方程 f(x)0 有实数解x0， 则称点(x0， f(x0)为函数yf(x)的 “拐点” 已知函数f(x)5x4sin xcos x 的 “拐点” 是 M(x0，f(x0)，则点 M( ) A在直线 y5x 上 B在直线 y5x 上 C在直线 y4x 上 D在直线 y4x 上 答案 B 解析 由题意，知 f(x)54cos xsin x， f(x)4sin xcos x， 由 f(x0)0，知
14、4sin x0cos x00， 所以 f(x0)5x0， 故点 M(x0，f(x0)在直线 y5x 上 16已知函数 f(x)x . 3 x (1)求曲线 f(x)过点(0，3)的切线方程； (2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定 值，并求此定值 解 (1)f(x)1 ， 3 x2 设切点为(x0，y0)，则曲线 yf(x)在点(x0，y0)处的切线方程为 yy0(xx0)， (1 3 x2 0) 切线过(0，3)， 3(x0)， (x 03 x0)(1 3 x2 0) 解得 x02，y0 ， 1 2 所求切线方程为 y (x2)， 1 2 7 4 即 y x3. 7 4 (2)设 P(m，n)为曲线 f(x)上任一点，由(1)知过 P 点的切线方程为 yn(xm)， (1 3 m2) 即 y(xm)， (m 3 m) (1 3 m2) 令 x0，得 y ， 6 m 从而切线与直线 x0 的交点为， (0， 6 m) 令 yx，得 yx2m， 从而切线与直线 yx 的交点为(2m,2m)， 点 P(m，n)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积 S |2m|6，为定值 1 2| 6 m|