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1、9.3 圆的方程 圆的方程 最新考纲 回顾确定圆的几何要素， 在平面直角坐标系中， 探索并掌握圆的标准方程与一般 方程 圆的定义与方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 圆心为(a，b) 标准式(xa)2(yb)2r2(r0) 半径为 r 充要条件：D2E24F0 圆心坐标：(D 2， E 2) 方程 一般式x2y2DxEyF0 半径 r1 2 D2E24F 概念方法微思考 1二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的条件是什么？ 提示 Error! 2已知C：x2y2DxEyF0，则“EF0 且 Dr2； (3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20.( ) 2 02
2、 0 (5)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的圆( ) 题组二 教材改编 2圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A(x1)2(y1)21 B(x1)2(y1)21 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 答案 D 解析 因为圆心为(1,1)且过原点， 所以该圆的半径 r， 则该圆的方程为(x1)212122 (y1)22. 3以点(3，1)为圆心，并且与直线 3x4y0 相切的圆的方程是( ) A(x3)2(y1)21 B(x3)2(y1)21 C(x3)2(y1)21 D(x3)2(y1)21 答案 A 4圆 C 的圆心在 x 轴上，
3、并且过点 A(1,1)和 B(1,3)，则圆 C 的方程为_ 答案 (x2)2y210 解析 设圆心坐标为 C(a,0)， 点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上， |CA|CB|，即，a121a129 解得 a2，圆心为 C(2,0)， 半径|CA|，212110 圆 C 的方程为(x2)2y210. 题组三 易错自纠 5若方程 x2y2mx2y30 表示圆，则 m 的取值范围是( ) A(，)(，)22 B(，2)(2，)22 C(，)(，)33 D(，2)(2，)33 答案 B 解析 将 x2y2mx2y30 化为圆的标准方程得 2(y1)2 2. (x m 2) m2 4 由其表
4、示圆可得20，解得 m2. m2 4 22 6若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是( ) A11 或 a0)， 又圆与直线4x3y0相切， 1，解得 a2 或 a (舍去) |4a3| 5 1 2 圆的标准方程为(x2)2(y1)21. 故选 A. 题型一 圆的方程 例 1 (1)已知圆 E 经过三点 A(0,1)，B(2,0)，C(0，1)，且圆心在 x 轴的正半轴上，则圆 E 的标准方程为( ) A. 2y2 B. 2y2 (x 3 2) 25 4 (x 3 4) 25 16 C. 2y2 D. 2y2 (x 3 4) 25 16 (x 3 4) 25
5、 4 答案 C 解析 方法一 (待定系数法) 根据题意， 设圆E的圆心坐标为(a,0)(a0)， 半径为r， 则圆E的标准方程为(xa)2y2r2(a0) 由题意得Error! 解得Error! 所以圆 E 的标准方程为 2y2 . (x 3 4) 25 16 方法二 (待定系数法) 设圆 E 的一般方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 则由题意得Error!解得Error! 所以圆 E 的一般方程为 x2y2 x10， 3 2 即 2y2 . (x 3 4) 25 16 方法三 (几何法) 因为圆 E 经过点 A(0,1)，B(2,0)， 所以圆 E 的圆心在线段 AB 的垂直平
6、分线 y 2(x1)上 1 2 又圆 E 的圆心在 x 轴的正半轴上， 所以圆 E 的圆心坐标为. ( 3 4，0) 则圆 E 的半径为|EB| ， (2 3 4) 2002 5 4 所以圆 E 的标准方程为 2y2 . (x 3 4) 25 16 (2)(2018安徽“江南十校”联考)已知圆 C 的圆心在直线 xy0 上，圆 C 与直线 xy0 相 切，且在直线 xy30 上截得的弦长为，则圆 C 的方程为_6 答案 (x1)2(y1)22 解析 方法一 所求圆的圆心在直线 xy0 上， 设所求圆的圆心为(a，a) 又所求圆与直线 xy0 相切， 半径 r|a|. 2|a| 2 2 又所求圆
7、在直线 xy30 上截得的弦长为，6 圆心(a，a)到直线 xy30 的距离 d， |2a3| 2 d2 2r2，即 2a2， ( 6 2) 2a32 2 3 2 解得 a1，圆 C 的方程为(x1)2(y1)22. 方法二 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)， 则圆心(a，b)到直线 xy30 的距离 d， |ab3| 2 r2 ，即 2r2(ab3)23. ab32 2 3 2 由于所求圆与直线 xy0 相切，(ab)22r2. 又圆心在直线 xy0 上，ab0. 联立，解得Error! 故圆 C 的方程为(x1)2(y1)22. 方法三 设所求圆的方程为 x2y2DxEyF
8、0， 则圆心为，半径 r， ( D 2， E 2) 1 2 D2E24F 圆心在直线 xy0 上， 0，即 DE0， D 2 E 2 又圆 C 与直线 xy0 相切， ， | D 2 E 2| 2 1 2 D2E24F 即(DE)22(D2E24F)， D2E22DE8F0. 又知圆心到直线 xy30 的距离 ( D 2， E 2) d， | D 2 E 23| 2 由已知得 d2 2r2， ( 6 2) (DE6)2122(D2E24F)， 联立，解得Error! 故所求圆的方程为 x2y22x2y0， 即(x1)2(y1)22. 思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程 (
9、2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a，b，r 的值； 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值 跟踪训练 1 一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y0 上，且在直线 yx 上截得的弦长为 2 ，则该圆的方程为_7 答案 x2y26x2y10 或 x2y26x2y10 解析 方法一 所求圆的圆心在直线 x3y0 上， 设所求圆的圆心为(3a，a)， 又所求圆与 y 轴相切，半径 r3|a|， 又所求圆在直线 yx 上截得的弦长为 2，圆心(3a，a)到直线 yx 的距离 d，7 |2a| 2 d2
10、()2r2，即 2a279a2，a1.7 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29， 即x2y26x2y10或x2 y26x2y10. 方法二 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 则圆心(a，b)到直线 yx 的距离为， |ab| 2 r27，即 2r2(ab)214. ab2 2 由于所求圆与 y 轴相切，r2a2， 又所求圆的圆心在直线 x3y0 上， a3b0， 联立，解得Error!或Error! 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29， 即x2y26x2y10或x2 y26x2y10. 方法三 设所求圆的方程为 x2y2DxEyF
11、0，则圆心坐标为，半径 r ( D 2 ，E 2) . 1 2 D2E24F 在圆的方程中，令 x0，得 y2EyF0. 由于所求圆与 y 轴相切，0，则 E24F. 圆心到直线 yx 的距离为 ( D 2， E 2) d， | D 2 E 2| 2 由已知得 d2()2r2，7 即(DE)2562(D2E24F) 又圆心在直线 x3y0 上， ( D 2， E 2) D3E0. 联立，解得Error!或Error! 故所求圆的方程为 x2y26x2y10 或 x2y26x2y10. 题型二 与圆有关的轨迹问题 例 2 已知 RtABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)求： (1
12、)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 解 (1)方法一 设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y0. 因为 ACBC，且 BC，AC 斜率均存在， 所以 kACkBC1， 又 kAC，kBC， y x1 y x3 所以1， y x1 y x3 化简得 x2y22x30. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(y0) 方法二 设 AB 的中点为 D， 由中点坐标公式得 D(1,0)， 由直角三角形的性质知|CD| |AB|2. 1 2 由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不
13、共线， 所以应除去与 x 轴的交点) 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0) (2)设 M(x， y)， C(x0， y0)， 因为 B(3,0)， M 是线段 BC 的中点， 由中点坐标公式得 x， y x03 2 ， y00 2 所以 x02x3，y02y. 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将 x02x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24， 即(x2)2y21. 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0) 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程 定义法：根据圆、
14、直线等定义列方程 几何法：利用圆的几何性质列方程 相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 跟踪训练 2 设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM，ON 为两边作平行四 边形 MONP，求点 P 的轨迹 解 如图，设 P(x，y)，N(x0，y0)， 则线段 OP 的中点坐标为， ( x 2， y 2) 线段 MN 的中点坐标为 . ( x03 2 ，y 04 2 ) 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以 ， ， x 2 x03 2 y 2 y04 2 整理得Error! 又点 N(x0，y0)在圆 x2y24 上， 所以(x3)2(y4)24
15、. 所以点 P 的轨迹是以(3,4)为圆心，2 为半径的圆， 直线 OM 与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去， ( 9 5， 12 5) ( 21 5 ，28 5) 所以点 P 的轨迹为圆(x3)2(y4)24，除去两点和. ( 9 5， 12 5) ( 21 5 ，28 5) 题型三 与圆有关的最值问题 例 3 已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21 上，求 xy 的最大值和最小值 解 设 txy，则 yxt，t 可视为直线 yxt 在 y 轴上的截距， xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与 圆相切时在 y 轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到
16、直线的距离等于半径， 即1，解得 t1 或 t1. |23t| 2 22 xy 的最大值为1，最小值为1.22 引申探究 1在本例的条件下，求 的最大值和最小值 y x 解 可视为点(x， y)与原点连线的斜率， 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的 y x y x 直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率 设过原点的直线的方程为 ykx， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即1， |2k3| k21 解得 k2或 k2， 2 3 3 2 3 3 的最大值为2，最小值为2. y x 2 3 3 2 3 3 2在本例的条件下，求的最大值和最小值x2y22x4y5 解 ，
17、求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1,2)的距x2y22x4y5x12y22 离的最值， 可转化为求圆心(2， 3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差 又圆心到定点(1,2) 的距离为，34 的最大值为1，最小值为1.x2y22x4y53434 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几 何性质数形结合求解 (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法 形如 u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题； yb xa 形如 taxby 型的最值问题， 可转化
18、为动直线的截距的最值问题 ； 形如(xa)2(yb)2 型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题 跟踪训练 3 已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10. 求：(1) 的最大值和最小值； y x (2)yx 的最大值和最小值； (3)x2y2的最大值和最小值 解 原方程可化为(x2)2y23， 表示以(2,0)为圆心，为半径的圆3 (1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 k，即 ykx. y x y x 当直线 ykx 与圆相切时(如图)，斜率 k 取最大值和最小值，此时，解得 k. |2k0| k21 33 所以 的最大值为，最小值为. y x 33
19、 (2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，如图所示， 当直线 yxb 与圆相切时， 纵截距 b 取得最大值和最小值， 此时， 解得 b2 |20b| 2 3 .所以 yx 的最大值为2，最小值为2.666 (3)如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心 连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为2，202002 所以 x2y2的最大值是(2)274，33 x2y2的最小值是(2)274.33 1若 a，则方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示的圆的个数为( ) 2，0，1， 3 4 A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆的条件为a24a24(2a2a1)0， 即3a2 4a40，b0)对称，求 的最小值 2 a 6 b 解 由圆x2y24x12y10知， 其标准方程为(x2)2(y6)239， 圆x2y24x12y 10 关于直线 axby60(a0， b0)对称， 该直线经过圆心(2,6)， 即2a6b60， a3b3(a0，b0)， (a3b) 2 a 6 b 2 3 ( 1 a 3 b) ， 2 3(1 3a b 3b a 9) 2 3(102 3a b 3b a) 32 3 当且仅当，即 ab 时取等号 3b a 3a b