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1、第第 2 课时 数列的综合问题课时 数列的综合问题 题型一 数列与函数 例 1 (2018四川三台中学模拟)数列an的前 n 项和为 Sn，2Snan12n11， nN*， 且 a1， a2 5，19 成等差数列 (1)求 a1的值； (2)证明为等比数列，并求数列an的通项公式； an 2n1 (3)设 bnlog3(an2n)，若对任意的 nN*，不等式 bn(1n)n(bn2)61 时，由于对称轴 n1 满足条件， 综上所述，实数 的取值范围是1，) 思维升华 数列与函数的交汇问题 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决
2、函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的 常见解法 跟踪训练1 (2018辽南协作校模拟)已知数列an满足a11， 2an1an， 数列bn满足bn2 log2a2n1. (1)求数列an，bn的通项公式； (2)设数列bn的前 n 项和为 Tn，求使得 2Tn4n2m 对任意正整数 n 都成立的实数 m 的取 值范围 解 (1)由 a11， ，an0， an1 an 1 2 an是首项为 1，公比为 的等比数列， 1 2 an n1. ( 1 2) bn2log2 2n2n2. ( 1 2) (2)由(1)得，Tnn23n， m2n26n 对任意正整数 n 都成立 设 f(
3、n)2n26n， f(n)2n26n2 2 ， (n 3 2) 9 2 当 n1 或 2 时，f(n)的最大值为 4， m4. 即 m 的取值范围是4，) 题型二 数列与不等式 例 2 已知数列an中，a1 ，其前 n 项的和为 Sn，且满足 an(n2) 1 2 2S2 n 2Sn1 (1)求证：数列是等差数列； 1 Sn (2)证明：S1 S2 S3 Sn0，所以 Tn0， 所以 q2，x11. 因此数列xn的通项公式为 xn2n1. (2)过 P1，P2，Pn1向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q1，Q2，Qn1. 由(1)得 xn1xn2n2n12n1， 记梯形 PnPn1Qn1Qn的面积
4、为 bn， 由题意得 bn2n1(2n1)2n2， nn1 2 所以 Tnb1b2bn 321520721(2n1)2n3(2n1)2n2， 则 2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1， 由，得 Tn321(2222n1)(2n1)2n1 (2n1)2n1. 3 2 212n1 12 所以 Tn. 2n1 2n1 2 5 (2019张掖模拟)若正项数列an的前n项和为Sn， 首项a11， 点P(， Sn1)在曲线y(xSn 1)2上 (1)求数列an的通项公式 an； (2)设 bn，Tn表示数列bn的前 n 项和，若 Tna 恒成立，求 Tn及实数 a 的取值范围 1 an
5、an1 解 (1)由 Sn1(1)2，得1，SnSn1Sn 所以数列是以为首项，1 为公差的等差数列，SnS1 所以(n1)1，即 Snn2，SnS1 由公式 anError! 得 anError!所以 an2n1. (2)因为 bn 1 anan1 1 2n12n1 ， 1 2( 1 2n1 1 2n1) 所以 Tnb1b2bn 1 2(1 1 3)( 1 3 1 5)( 1 2n1 1 2n1) ， 1 2(1 1 2n1) 显然 Tn是关于 n 的增函数， 所以 Tn有最小值(Tn)minT1 . 1 2 (1 1 3) 1 3 由于 Tna 恒成立，所以 a ， 1 3 于是 a 的取
6、值范围是. (， 1 3 6已知各项均不相等的等差数列an的前三项和为 9，且 a1，a3，a7恰为等比数列bn的前 三项 (1)分别求数列an，bn的前 n 项和 Sn，Tn； (2)记数列anbn的前 n 项和为 Kn，设 cn，求证：cn1cn(nN*) SnTn Kn (1)解 设数列an的公差为 d， 则Error! 解得Error!或Error!(舍去)， 所以 ann1，Sn. nn3 2 又 b1a12，b2a34， 所以 bn2n，Tn2n12. (2)证明 因为 anbn(n1)2n， 所以 Kn221322(n1)2n， 所以 2Kn222323n2n(n1)2n1， 得Kn22122232n(n1)2n1， 所以 Knn2n1. 则 cn， SnTn Kn n32n 1 2n1 cn1cn n42n1 1 2n2 n32n 1 2n1 0， 2n1n2 2n2 所以 cn1cn(nN*)